Анализ динамики временных рядов на примере ВВП Российской Федерации

где m = 1 — количество влияющих факторов в модели тренда. По таблице Стьюдента находим Tтабл Tтабл (n-m-1;α/2) = (14;0.025) = 2.145 Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 9 (12 696.

14 + 77.95*9 — 2.145*9617.

66; 12 696.

14 + 77.95*9 — 2.145*9617.

66) (3780.

02;23 015.

34) 3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда. 1) t-статистика. Критерий Стьюдента. Статистическая значимость коэффициента b не подтверждается Статистическая значимость коэффициента a подтверждается Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда. Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими: (b — tнабл Sb; b + tнабл Sb) (77.949 — 2.145•235.

82; 77.949 + 2.145•235.

82) (-427.

89;583.

79) Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически незначима. (a — tнабл Sa; a + tнабл Sa) (12 696.

14 — 2.145•2280.

31; 12 696.

14 + 2.145•2280.

31) (7804.

88;17 587.

4) 2) F-статистика. Критерий Фишера. Находим из таблицы Fkp (1;14;0.05) = 4.6 где m — количество факторов в уравнении тренда (m=1). Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически не значим (приложение 2) Проверка наличия гетероскедастичности. 1) Методом графического анализа остатков.

В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X, а по оси ординат либо отклонения ei, либо их квадраты e2i. Если имеется определенная связь между отклонениями, то гетероскедастичность имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии гетероскедастичности. 2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Присвоим ранги признаку ei и фактору X. Таблица 2.

5.Расчетные данныеXeiранг X, dxранг ei, dy12778.

2 911 221 875.

4 293 843.

49 344 241.

364 251 160.

48 556 184.

376 171 403.

827 782 560.

678 119 404.

1 293 101 537.

77 108 112 795.

921 113 123 802.

771 214 131 278.

22 136 142 323.

371 410 154 068.

2 315 151 613 943.

Таблица 2.

6.Матрица ранговранг X, dxранг ei, dy (dx — dy)2112121294934142455061257708119933610841113412144136491410161515016160136136322.

Проверка правильности составления матрицы на основе исчисления контрольной суммы: Сумма по столбцам матрицы равны между собой и контрольной суммы, значит, матрица составлена правильно. По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Связь между признаком ei и фактором X умеренная и прямая Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе Hi. p ≠ 0, надо вычислить критическую точку: где n — объем выборки; p — выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена: t (α, к) — критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n-2. Еслиp- < Тkp — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. Еслиp- > Tkp — нулевую гипотезу отвергают.

Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь. По таблице Стьюдента находим t (α/2, k) = (0.05/2;14) = 2.145 Поскольку Tkp < p, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически — значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам значимая. Проверим гипотезу H0: гетероскедастичность отсутсвует.

Поскольку 2.145 > 0.49, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается. 3. Тест Голдфелда-Квандта. В данном случае предполагается, что стандартное отклонение σi = σ(εi) пропорционально значению xi переменной X в этом наблюдении, т. е. σ2i = σ2x2i, i = 1,2,…, n. Тест Голдфелда-Квандта состоит в следующем: 1. Все n наблюдений упорядочиваются по величине X. 2. Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на три подвыборки размерностей k,(n-2k), k. 3. Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений).

4. Для сравнения соответствующих дисперсий строится соответствующая F-статистика: F = S3/S1Построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы v1 = v2 = n — m — 1. 5. Если F > Fkp, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. Этот же тест может использоваться при предположении об обратной пропорциональности между σi и значениями объясняющей переменной. При этом статистика Фишера имеет вид: F = S1/S31. Упорядочим все значения по величине X. 2.

Находим размер подвыборки k = 16/3 = 6. 3. Оценим регрессию для первой подвыборки. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Система уравнений МНК: a0n + a1∑t = ∑ya0∑t + a1∑t2 = ∑y•tДля наших данных система уравнений имеет вид: 6a0 + 21a1 = 71 582.

2 21a0 + 91a1 = 260 922.

7 Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение Получаем a0 = 593.

43, a1 = 9853.

37 Таблица 2.

7.Расчетные данныеxyx2y2x yy (x)(y-y (x))219995.

8 199 916 017.

649 995.

810 446.

8 203 396.

721 097 741 204 945 259 517 181 952.

223 997.

25 312 086.

59 146 083 482.

2 536 259.

511 633.

65 205 070.

97 413 249.

316 175 543 950.

4 952 997.

212 227.

81 044 931.

78 511 925.

425 142 215 165.

165 962 712 820.

51 801 221.

6 613 348.

236 178 174 443.

2 480 089.

213 413.

944 321.

52 171 582.

291 862 427 587.

78 260 922.

771 582.

22 262 939.26Здесь S1 = 2 262 939.

26 Оценим регрессию для третьей подвыборки. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Система уравнений МНК: a0n + a1∑t = ∑ya0∑t + a1∑t2 = ∑y•tДля наших данных система уравнений имеет вид: 6a0 + 81a1 = 82 815.

9 81a0 + 1111a1 = 1 078 451.

4 Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение Получаем a0 = -2260.

76, a1 = 44 322.

87 Таблица 2.

8.Расчетные данныеxyx2y2x yy (x)(y-y (x))21116349.

5 121 267 306 150.

25 179 844.

519 454.

549 641 291.

141 217 434.

3 144 303 954 816.

49 209 211.

617 193.

7 957 847.

121 314 987.

7 169 224 631 151.

29 194 840.

114 933.

32 988.

971 416 110.

8 196 259 557 876.

64 225 551.

212 672.

2 711 823 478.

741 517 933.

6 225 321 614 008.

9 626 900 410 411.

5 156 581 773.

4 916 256 008 150.

76 664 348 428 182 816.

911 111 377 064 003.

631 078 451.

482 815.

9 144 542 221.

46Здесь S3 = 144 542 221.

46 Число степеней свободы v1 = v2 = n — m — 1 = 16 — 1 — 1 = 14 Fkp (1,14) = 4.6 Строим F-статистику: F = 144 542 221.

46/2 262 939.

26 = 63.87 Поскольку F > Fkp = 4.6, то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По проделанной работе можно сделать ряд важных выводов. Прежде всего, рассматривая значение исследуемого показателя, можно отметить о его исключительной важности для экономической системы страны. Соответственно, анализ ВВП является также чрезвычайно важным вопросом. В данной работе мы, в учебных целях, выполнили количественный анализ временного ряда данных ВВП Российской Федерации. Все данные для анализа были взяты из открытых информационных источников, в частности количественные значения ВВП мы взяли из материалов Росстат. Анализируя рассматриваемый временной ряд, самое первое, что можно отметить, это наличие восходящего направления движения. При этом, как мы определили, первоначально с помощью линейного тренда, имеется тенденция положительного характера. Также, мы выяснили, что более подходящей для графического анализа является полиномиальная тенденция второго порядка.

Позднее, расчетным методом было определено, что тенденция действительно присутствует. Это было установлено с помощью анализа автокорреляции. Кроме того, нами был произведен расчет ряда других алгоритмов. Их результаты приведены в работе. В целом, следует отметить, что посредством анализа временных рядов можно получить значительное количество важных характеристик, которые при поверхностном изучении не могут быть получены. СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВБородич С. А.

Эконометрика. Минск: ООО «Новое знание», 2010.

Введение

в макроэкономику: учеб.

пособие/Т. Ю. Матвеева; Гос. Ун-т-Высшая школа экономики.-3-е изд.-М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2005.

Гусаров В. М. Теория статистики. — М.: Аудит, 2011. — 248 с. Елисеева И. И. Юзбашев М.М. Общая теория статистики. Москва, «Финансы и статиска» 2009.

Кильдишев Г. С., Овсиенко В. Е., Рабинович П. М., Рябушкин Т. В. Общая теория статистики. — М.: Статистика, 2010. — 423 с. Илларионов А.

Значимые закономерности экономического развития // Вестник финансовой академии. 2009. № 1. — с.

21.Теория статистики. Учебник./Под ред. Шмойлова Р. А. 3-е изд., перераб.

М.: Финансы и статистика, 2011.

Практикум по статистике: Учебное пособие для вузов (Под ред. В.М. Симчеры). ВЗФЭИ. — М.: ЗАО «Финстатинформ», 2009. — 259 с. Шмойлова Р.

А. Теория статистики, М.: Финансы и статистика, 2008 г. электронный ресурс] http: //www.gks.ruПРИЛОЖЕНИЯПриложение 1. Данные для трендового анализаyiΔ1tΔ2tТемп роста9995.

8—-10 977 981.

2−1.

112 086.

51 109.

5128.

31.

113 249.

31 162.

853.

31.

111 925.

4−1323.

9−2486.

70.913 348.

21 422.

82 746.

71.1 214 645.

61 297.

4−125.

41.115 880.

41 234.

8−62.

61.813 801.

8−2078.

6−3313.

40.8 715 013.

41 211.

63 290.

21.916 349.

51 336.

1124.

51.917 434.

31 084.

8−251.

31.714 987.

7−2446.

6−3531.

40.8 616 110.

81 123.

13 569.

71.717 933.

61 822.

8699.

71.11−17 933.

6−19 756.

40Приложение 2. Данные для трендового анализаtyy (t)-y — y (t)-19 995.

812 774.

92 778.

2 921 097 712 852.

41 875.

4 312 086.

512 929.

99 843.

49 413 249.

313 007.

94 241.

36 511 925.

413 085.

881 160.

48 613 348.

213 163.

83 184.

37 714 645.

613 241.

781 403.

82 815 880.

413 319.

732 560.

67 913 801.

813 397.

68 404.

121 015 013.

413 475.

631 537.

771 116 349.

513 553.

582 795.

921 217 434.

313 631.

533 802.

771 314 987.

713 709.

481 278.

221 416 110.

813 787.

432 323.

371 517 933.

613 865.

374 068.

231 613 943.

3 213 943.