Прогнозное обоснование инвестиционных решений на фондовом рынке: математические методы и инструментальные средства

И модель с наименьшей величиной остаточной дисперсии (или с бОльшим коэффициентом детерминации) признать лучшей из предложенных. При этом следует реализовать известные процедуры проверки статистической гипотезы о равенстве дисперсий или коэффициентов детерминации (их расхождение для сравниваемых моделей может быть обусловлено конечностью объёма выборки). При непротиворечивости гипотезы о равенстве статистических мер точности сравниваемых моделей выбор следует сделать в пользу более простой модели, с меньшим количеством параметров. Точность модели регрессии определяет и статистический анализ остатков, в ходе которого проверяются некоторые из условий Гаусса-Маркова: независимость, случайность и нормальность закона распределения.

Их нарушения свидетельствуют о неверной спецификации модели регрессии, во всяком случае, при применении метода наименьших квадратов МНК. Автокорреляция остатков означает, что существуют такие и, при которых. Чаще рассматривают корреляцию между остатками уровней исходного ряда и остатками, сдвинутыми на один шаг во времени, т. е. .Известно несколько тестов, определяющих автокорреляцию остатков: серий, Льюинга-Бокса и, чаще всего, Дарбина-Уотсона [3], согласно которому рассчитывается статистика. Статистика Дарбина-Уотсона имеет определенные ограничения: выявляет лишь корреляцию между соседними значениями остатка, в то время как может быть корреляция на других интервалах. Кроме того, для её применения в регрессии должен присутствовать свободный (без факторных переменных) член; регрессоры должны быть нестохастическими; необходимо использовать выборки не менее чем из пятнадцати наблюдений; имеется область неопределенности, в которой вопрос о наличии автокорреляции остаётся открытым. Положительную и отрицательную автокорреляцию остатков можно продемонстрировать на примере ряда последовательных значений курса ценной бумаги. Если в какой-то момент времени курс окажется завышенным по сравнению с реальным курсом, то, скорее всего, курс будет завышен и на следующих торгах, т. е. имеет место положительная автокорреляция. Она встречается чаще. При отрицательной автокорреляции наблюдения действуют друг на друга по принципу «маятника» — завышенные значения в предыдущих наблюдениях приводят к занижению их в последующих наблюдениях.

Известно несколько методов исключения или уменьшения автокорреляции остатков, например, включение времени в качестве дополнительной факторной переменной; переход к моделированию не уровней ряда динамики, а их разностей (первых, вторых и т. д.); метод авторегрессионных преобразований [7]. Практическая ценность разработанных методов моделирования и прогнозирования рядов динамики определяется сравнением с известными методами по точности моделирования и прогнозирования на одних и тех же реальных и модельных выборках. Для оценки уменьшения погрешности из-за возможной нестационарности вида и параметров модели, для расширения области применения методов моделирования и прогнозирования на «молодые» экономические процессы и явления предметом сравнения явился и объём выборки, при котором достигается одинаковая точность. Для определения области применения разработанных методов точностные характеристики предлагаемых методов моделирования и прогнозирования целесообразно определить в широком диапазоне сочетаний параметров моделей и стохастической компоненты в форме тестовых экспериментов. Необходимым условием сравнения точности предложенных методов моделирования и прогнозирования рядов динамики (с известными методами) явилась разработка соответствующего программного обеспечения, реализующего предложенные методы на тестовых и реальных данных. Созданный программный комплекс позволил исследовать точность предложенного метода моделирования и прогнозирования модели (4.1) на модельных выборках. Численный эксперимент заключался в использовании программы генерации случайной выборки (стохастической компоненты) с нормальным законом распределения вероятностей значений с нулевым математическим ожиданием и регулируемой (назначаемой) дисперсией.

Данная компонента суммировалась с генерируемой детерминированной компонентой, с известными назначаемыми параметрами, и мощностью (дисперсией), определяемой по известным формулам [3]. Исследовалась точность определения в условиях воздействия стохастической компоненты генерируемых параметров модели при различных соотношениях мощностей стохастической и детерминированной компонент (соотношениях «шум/сигнал»). Данная методология исследования точности широко применяется в теории и практике измерений, позволяя оценить диапазон, в котором обеспечивается удовлетворительная точность анализируемого метода обработки данных — в нашем случае предложенного метода моделирования и прогнозирования. Обычно метод обработки данных считают помехозащищенным, если он обеспечивает удовлетворительную точность при отношении мощностей шума и сигнала в диапазоне 0,1−0,2.Результаты проведенного исследования по критерию коэффициента детерминации при различных значениях выборки (числа наблюдений) в функции соотношения мощностей «шум/сигнал» представлены на рис. 17. Для обеспечения независимости исследований от конкретной выборки расчет проводился на пяти различных выборках и результаты усреднялись. Сколь либо ощутимых изменений результата исследований при большем количестве выборок не наблюдалось.Рис. 17. Результаты исследования точности метода параметризации модели (4.1) по критерию R2 в функции числа наблюдений и соотношений мощностей «шум/ сигнал"Из рис.

17 видим, что предложенный способ параметризации модели (4.1) имеет высокую помехозащищенность (устойчивость к помехе) в определении параметров модели даже при значительном соотношении «шум/сигнал». Уменьшение значений не более чем на 10% предложенный метод обеспечивает в диапазоне отношения мощностей «шум/сигнал» до 0,3, причём устойчивость параметризации возрастает с увеличением числа наблюдений.Рис. 18. Результаты исследования точности MAPE-ошибки прогноза для модели (4.1) в функции числа наблюдений и соотношений мощностей «шум/сигнал"Рис.18 показывает изменение MAPE-ошибок прогноза на период равный 10% от числа наблюдений в функции тех же параметров. Ошибка прогноза, представленная на рис. 18, оказывается более чувствительной к действию помехи, но также укладывается в категорию высокой точности [8].

3.2 Апробация выбранного комплекса методов.

Проведём апробацию выбранных нами моделей на примере оценки некоторого портфеля ценных бумаг. На рис. 19 показаны фактические значения выбранного портфеля ценных бумаг помесячно с января 2002 года по декабрь 2005 года.Рис.

19. Динамика цен.

Проводя сглаживание различными способами, можно увидеть, что колеблемость носит выраженный «пилообразный» характер, что и показано на рис. 20. Налицо плавный рост стоимости портфеля в первые месяцы года. Затем наступает резкий сезонный спад (потери до 4 тысяч у.е.) при летней «полугодовой» кампании с 1 июля, последующий рост аналогичный росту 1-го полугодия и менее значительный (до 1000 у.е.) спад при зимних торгах. Предположим и параметризируем на реальных данных самую простую модель (4.1) динамики стоимости портфеля: сумму линейного тренда и гармонической колеблемости и стохастической компоненты Рис. 20. Стационарная сезонная компонента стоимости портфеля.

Осуществим моделирование динамики стоимости известным непараметрическим методом классической сезонной декомпозиции и сравним результаты. Таблица 10Коэффициент детерминации, ошибка прогноза и аналитические выражения моделей в функции объёма выборки в методе параметрической авторегрессии.

Кол-во наблюденийR2Ошибка прогноза %Аналитическое выражение модели120,913 864,60y (t)=39 765,07−2997,38t+7448,17cos (0,52t+3,68)150,866 117,65y (t)=30 907,15+84,62t+3522,06cos (0,52t-1,08)180,870 111,40y (t)=32 106,08−193,26t+2627,09cos (0,52t-1,24)210,87 585,69y (t)=33 473,48−466,08t+1440,58cos (0,52t-1,34)240,89 456,77y (t)=33 244,68−423,08t+1538,66cos (0,52t-1,5)270,90 113,78y (t)=33 560,55−488,85t+1725,11cos (0,52t-1,28)300,92 354,89y (t)=33 472,01−474,85t+1684,14cos (0,52t-1,23)330,93 624,60y (t)=33 747,24−505,91t+1474,71cos (0,52t-1,3)360,94 217,65y (t)=33 606,79−491,2t+1528,77cos (0,52t-1,39)390,95 316,56y (t)=33 595,62−489,81t+1465,35cos (0,52t-1,37)420,95 523,55y (t)=33 380,33−468,79t+1335,36cos (0,52t-1,24)450,96 247,27y (t)=33 399,96−470,36t+1323,24cos (0,52t-1,24)480,964 612,92y (t)=33 256,23−459,88t+1393,07cos (0,52t-1,33)Графическая иллюстрация сравнения точности моделирования с использованием предложенного метода авторегрессий и метода классической сезонной декомпозиции по критерию адекватности модели и точности прогноза приведена, соответственно, на рис. 21 и 22. Из рис. 21 видно, что метод авторегрессии на короткой выборке в 24 наблюдения уже обеспечивает высокую точность моделирования, причём, в принципе, нет необходимости в увеличении этого объёма. При одинаковой точности выигрыш по объёму выборки предложенного метода в сравнении с известным — более чем в два раза. Рис. 21. Сравнение значений R2 от числа наблюдений для методов классической сезонной декомпозиции и авторегрессии.

Рис. 22 показывает, что имеется и выигрыш в точности прогнозирования — в полтора-два раза. Достаточно нагляден и пример внедрения более точных методов моделирования и прогнозирования при оценке стоимости портфелей ценных бумаг. По данным за 2012−2013 ггпредложенными методами параметризирована модель (4.1) суммарного (на внутренних и внешних финансовых рынках) (в тыс. у.е.): где — месяц.Рис. 22. Сравнение относительных ошибок прогноза в функции количества наблюдений для методов классической сезонной декомпозиции и авторегрессии.

При этом оказалось, что R2=0,8216, а MAPE-оценка 17,51% при полугодовом прогнозе. Реальная выборка, модельные и прогнозные значения представлены на рис.

23. Учитывая масштабы данного рынка и высокие потери из-за возможных необоснованных управленческих решений можно утверждать, что предложенный метод моделирования на малом числе наблюдений дает прогноз высокой точности на достаточно большом периоде упреждения.Рис. 23. Моделирование динамики цен.

Там же детально показано применение метода сезонной декомпозиции и определен коэффициент детерминации. Осуществлена по той же выборке параметризация предложенным методом модели (4.1)с коэффициентом детерминации 0,92. Из рис. 24, на котором представлены реальные и модельные значения, видим, что параметрическое моделирование обеспечило несколько лучшее значение коэффициента детерминации, но, главное — возможность аналитического прогнозирования и визуальную близость уровней. Приведем теперь исследования более сложной модели (4.11), состоящей из суммы линейного тренда, двух гармоник и стохастической компоненты. Рис. 24. Моделирование выражением (4.1) При помощи вычислительного комплекса выполнен анализ помехозащищенности предложенного метода параметризации модели (4.11) на тестовых выборках.

Для этого генерировались выборки рядов детерминированных компонент, с которыми суммировалась также генерируемая программой случайных чисел стохастическая компонента с нормальным законом распределения и регулируемой мощностью. Расчёты при различных соотношениях мощностей помехи (стохастической компоненты) и полезного сигнала (ряда уровней детерминированных компонентов модели (4.11)) для различных объёмов выборки, приведенные на рис. 25 и 26, показали высокую помехозащищенность предложенного способа моделирования при различных объёмах выборки. До отношения шум/сигнал в 20% уменьшение коэффициента детерминации незначительно при выборке в 12−18 наблюдений. Для обеспечения независимости результатов моделирования от конкретных выборок результаты усреднялись для пяти различных генерируемых выборок помехи. Рис. 25. Зависимость коэффициента детерминации от отношения мощностей шум/сигнал при = 24, 36, 48Рис.

26. Зависимость коэффициента детерминации от отношения мощностей шум/сигнал при = 12, 18, 24Ещё одной положительной характеристикой данного метода моделирования явились результаты исследований точности при изменении диапазона значений параметров модели (4.11): соотношения амплитуд гармоник и соотношения частот (при соблюдении условий Котельникова-Шеннона). В целях исключения влияния других параметров на результаты для них выставлялись фиксированные (для фаз гармоник — нулевые) значения. Для каждой пары значений рассматривались три выборки — 24, 36 и 48 наблюдений.

На каждом из указанных объёмов выборки помеха генерировалась пять раз и результаты усреднялись. Результаты представлены на рис. 27−29. Рис. 27. Зависимость коэффициента детерминации при параметризации модели (4.11) предложенным методом от соотношения мощностей помеха/ полезный сигнал при отношении амплитуд гармоник 10 и отношении частот гармоник 5Рис.

28. Зависимость коэффициента детерминации при параметризации модели (4.11) предложенным методом от соотношения мощностей помеха/ полезный сигнал при отношении амплитуд гармоник 3 и отношении частот гармоник 2Оказалось, что при изменении указанных величин в 5−25 раз точностные характеристики почти не меняются, что означает возможность применения данного метода моделирования и прогнозирования Рис. 29. Зависимость коэффициента детерминации при параметризации модели (4.11) предложенным методом от соотношения мощностей помеха/ полезный сигнал при отношении амплитуд гармоник 3 и отношении частот гармоник 25Перейдём теперь к тестированию предложенного метода параметризации на реальной выборке. Модель (4.11) визуально близка динамике стоимости портфеля ценных бумаг в тыс. у.е. (рис.

30) и, в силу этого, рассмотрим возможность использования её для моделирования и прогнозирования итоговой стоимости портфеля. Следует отдавать себе отчёт в том, что данный объект моделирования весьма сложен: модель определяемого показателя существенно эволюционирует − зависит от комплекса финансовых условий, от управленческих воздействий и т. д. Отметим, что, как правило, наиболее высокую эволюцию имеет высокочастотная гармоника: например, статистика говорит о чередовании высоких уровней цен сериями — то по два, то по три года. При моделировании использовались разные выборки годовых колебаний стоимости: от 8 до 20 годовых наблюдений. Напомним, что выборки, используемые в известных методах многомасштабной параметризации, требуют анализа от 4 до 12 периодов самой низкочастотной из двух гармоник, что с учётом теоремы Котельникова-Шеннона предполагает выборки от 24 до 100 наблюдений, т. е. от 24 до 100 лет. Рис. 30. Динамика стоимости в 1953 — 2005 гг. Естественно, что применение известной методики неоправданно, так как такие статистические данные просто отсутствуют, но, главное, за такой интервал времени могут (и должны) существенно измениться финансовые условия, методы торговли и т. д.В качестве оценки точности моделирования принималось значение коэффициента согласия, а в качестве оценки точности прогнозирования — среднее значение модуля разности реальных и прогнозных значений, отнесенных к реальным значениям, т. е. MAPE-оценка.Для каждого объёма выборки решалась соответствующая система нормальных СЛАУ. Для снижения размерности и уменьшения тем самым вычислительных погрешностей и мультиколлинеарности использовался прием вариации параметра. В данном случае для различных объёмов выборки осуществлялся перебор значений одной из идентифицируемых частот и выбор того из них, которое обеспечивает максимальное значение коэффициента детерминации — Max.

Шаг перебора частоты обеспечивал 100 оценок параметров модели, из которых выбирались лучшие по принятому критерию. Набор параметров модели, при котором достигался Max использовался для прогноза на один шаг (на один год) и при этом рассчитывалась MAPE-ошибка прогноза. Результаты моделирования и прогнозирования ряда динамики наблюдений цен для различных объемов выборки при горизонте прогноза в один год приведены в таблице 12. Таблица 12Результаты моделирования и прогнозирования стоимости портфеля на 2006 г. Кроме указанных критериев точности (максимального значения и MAPE-ошибка прогноза) здесь же приведены значения и предложенного комплексного критерия, заключающегося в расчёте максимального значения для каждой исследуемой модели ((- MAPE)/100).Комплексный критерий позволяет выбирать тот набор значений параметров модели (4.11), который обеспечивает его максимальное значение, т. е. даёт и лучшее моделирование, и лучшее прогнозирование.Рис. 31. Реальная выборка валового стоимости = 8, её моделирование выражением (4.11) и ошибка прогноза на один шаг.

Рис. 32. Реальная выборка стоимости портфеля= 10, её моделирование выражением (4.11) и ошибка прогноза на один шаг.

На рис. 31−32 приведены некоторые результаты моделирования в функции объёма выборки: от минимально возможных 8 наблюдений до 20. Анализ данных, приведенных в таблице 4, и графиков на рис. 31−33 позволяет утверждать, что модель (4.11) и предложенный метод её параметризации с приемлемой точностью осуществляют моделирование и прогнозирование. При этом точность моделирования и прогнозирования оказалась выше на малых выборках (8−10 наблюдений), что обусловлено, видимо, высокой эволюцией ряда динамики. Исследования позволили сделать еще один вывод — комплексный критерий качества моделирования обладает высокой точностью и моделирования и прогноза.Рис. 33. Реальная выборка стоимости портфеля ценных бумаг объёмом = 12, её моделирование выражением (4.11) и ошибка прогноза на один шаг.

Обобщая результаты эксперимента по тестированию предложенного метода параметризации модели (4.11) и прогнозирования с её помощью на модельных и реальных данных, можем заключить, что предложенный метод имеет преимущества перед известными методами по объёму требуемой выборки и точности, обладает практической ценностью. Спецификация одним моделированием, как правило, не заканчивается: другая модель может дать лучшие показатели точности: например, при моделировании стоимости портфеля ценных бумаг альтернативой предложенной модели вполне может быть «пилообразная» колебательная компонента, а при моделировании его динамики целесообразно рассмотреть и «куполообразную» компоненту. Известно применение и других моделей динамики фондовых рынков, для которых актуальна разработка методов параметризации на коротких выборках ряда динамики.

3.3 Логический тренд Верхулста и оценки его точности.

Проблема определения параметров столь популярного, имеющего многочисленные приложения вида логистического тренда, как Верхулста, не нашла до настоящего времени эффективного решения по точности. Так, в [13] предлагается осуществлять логарифмирование обратных величин уровней ряда динамики для того, чтобы свести задачу к идентификации моделей, линейных по параметрам, а затем применить МНК. При этом стохастическая компонента не рассматривается аддитивной или мультипликативной с детерминированной моделью Верхулста, как это требует эконометрика, а делаются «искусственные» предположения о том, что стохастическая компонента с нормальным распределением является аргументом экспоненциальной функции, которая, свою очередь, умножается на экспоненциальную функцию в знаменателе функции Верхулста. Предполагается также априорное знание (обоснование) уровня насыщения из некоторых физических или общих экономических соображений [64], хотя именно этот параметр зачастую представляет интерес для идентификации, последующее логарифмирование экспоненциальной модели уровней ряда для сведения задачи параметризации к линейной по параметрам модели и применения МНК. Данный метод может быть проиллюстрирован следующей цепочкой формулгде — «новый» ряд динамики, рассчитываемый по исходному ряду и «известному значению» .Другие методы, описанные в [3], предлагают некоторые эвристические разностные схемы для решения уравнения (5.2) и последующей идентификации с применением МНК. К достоинствам этих методов можно отнести лишь то, что стохастическая компонента входит в структуру ряда в соответствии с одной из теоретических структур эконометрики — аддитивно. Достаточно очевидным путём обеспечения линейности модели Верхулста по параметрам с принятием аддитивной или мультипликативной структур вхождения стохастической компоненты является разложение её в ряд, например, Тейлора или Маклорена [5].

При этом коэффициенты разложения будут связаны (нелинейно) с параметрами модели Верхулста. Определив, например, по МНК оценки коэффициентов ряда можно через них параметризировать модель Верхулста. Недостатком данного метода является возможность применения лишь на локальном участке логистической кривой. На длительных интервалах значений определяющей переменной он дает значительные погрешности. Покажем, что повышение точности моделирования и прогнозирования логистической динамики можно достичь путём конструирования соответствующих обобщенных параметрических моделей авторегрессии-скользящего среднего с помощьюпреобразования. Примем аддитивной стохастическую компоненту в уровнях ряда динамики, моделируемого трендом Верхулста.

Тогда.(5.3)Перейдя в (5.3) к обратным величинам отсчетов, получим ,(5.4)где — стохастическая компонента, которая обладает принципиально гетероскедастическим свойством, даже при гомоскедастичности, так как зависит от номера наблюдения. Вместе с тем следует ожидать, что значения стохастической компоненты будут невелики, так как сомножитель существенно меньше. Детерминированная часть выражения (5.4) представляет собой обобщенную экспоненциальную функцию с аддитивной стохастической компонентой, к которой можно применитьпреобразование для конструирования разностной схемы и последующего перехода к модели авторегрессии. Используя Z-преобразования для (соответствующие изображения для приведены в разделе 3.2) и свойство линейности, получим ,(5.5)где введен коэффициент и выполнены действия по приведению к общему знаменателю и группировки подобных членов. После обратного Z-преобразования при получим .(5.6)Выражая через (с учётом соотношения), получим при для ряда (5.4) следующую авторегрессию первых разностей уровней, (5.7)где , — новая стохастическая гетероскедастическая (в силу гетероскедастичности в (5.4)) компонента. Здесь символ использован для взятия разности, чтобы не путать с шагом дискретизации. Значения компоненты малы в силу малости значений и соответствующих действий вычитания, но её дисперсия переменна из-за гетероскедастичности .На первом этапе идентификации определим оценку параметра, реализуя условие.(5.8)На втором этапе идентификации, используя полученную оценку, проведём расчёт параметров и .(5.9)Заметим, что в (5.9), как и в (5.8), минимизируется гетероскедастическая невязка, что является недостатком метода и требует реализации специальных операторов сглаживания. Для нахождения оценки необходимо решать СЛАУ первого порядка, а оценки, являются решением соответствующей СЛАУ второго порядка. Оценка координаты точки перегиба исходной логистической тенденции по статистическим данным будет равна,(5.10)а оценку момента достижения практического насыщения определит соотношение.(5.11)В качестве, следует принимать номера наблюдений ряда динамики, т. е. целые значения после округления. Можно по выборке рассчитать помехозащищенную оценку начального значения функции Верхулста и спрогнозировать оценку уровня насыщения при: .Недостатками предложенного метода является гетероскедастический характер стохастической компоненты и нелинейное преобразование исходной выборки (переход к обратным значениям), которое приводит к параметризации (5.7) сглаживанием не по значениям выборки, а по их обратным значениям. Дело в том, что в общем случае статистические характеристики оценок выборок после нелинейного преобразования отличны от характеристик оценок исходной выборки. Для уменьшения указанных недостатков можно предложить другой метод параметризации модели Верхулста (5.3).

Для этого вновь воспользуемся разностным уравнением (5.6) для и сделаем в нём подстановку из (5.3):(5.12) где, как и в (5.7), .После приведения преобразований по разделению детерминированной и стохастической компонент в (5.12) (аналогичным тем, что выполнены в разделе 4.3), будем иметь авторегрессию второго порядка где (5.13) — стохастическая компонента, представляющая собой модель скользящего среднего и обладающая свойством гетероскедастичности, так как включает в себя наблюдения. К полученному выражению (5.13) можно, в принципе, привести и (5.7), но оно более конструктивно, так как раскрывает структуру стохастической компоненты и позволяет предложить способ компенсации её гетероскедастичности. Разделив, для уменьшения гетероскедастичности стохастической компоненты, почленно (5.13) на, будем иметь где (5.14) — стохастическая компонента. Из (5.14) можно определить из условия (5.15)приводящего к линейному нормальному алгебраическому уравнению для оценки и последующего расчёта. Видим, что выражение (5.15) с точностью до множителя во втором слагаемом совпадает с (5.8), но оперирует с уровнями ряда динамики, а не с их обратными значениями. Рассмотрим теперь стохастическую компоненту в (5.14). Изменение величин первых трёх слагаемых в выражении для зависит не от абсолютных значений уровней ряда, а от относительных значений и, следовательно, диапазон их вариации в этом случае существенно меньше. При осуществлении декомпозиции ряда динамики уровни стохастической компоненты принимают, как уже указывалось, существенно меньшими уровней наблюдений.

Поэтому четвертое слагаемое () в выражении для мало, а пятым слагаемым, содержащим алгебраическую сумму произведений малых величин, деленную на существенно большую величину, можно пренебречь. Таким образом, гетероскедастичность не исключена полностью, но существенно уменьшена. Подставив найденную оценку в (5.3) преобразуем полученное выражение к виду.

Группируя, получим (5.16)Вновь учтем то обстоятельство, что одним из условий декомпозиции ряда динамики на детерминированную и стохастическую компоненту было их различие по величинам уровней, поэтому в (5.16) можно принять. Тогда стохастическую компоненту в (5.16) можно считать гомоскедастической. Запишем следующее условие для оценки параметров: приводящее к нормальной СЛАУ второго порядка. Итак, второй метод идентификации модели Верхулста реализуется через уровни ряда динамики, а не через их обратные величины, а стохастическая компонента на первом и на втором этапах практически гомоскедастична, необходимый объём выборки тот же, что и в первом методе — от 6 до 8 наблюдений. Некоторым недостатком второго метода является то, что стохастическая компонента на втором этапе идентификации пропорциональна значениям, а это может снизить точность идентификации при малых уровнях насыщения в логистической тенденции. Рассмотрим теперь случай мультипликативной структуры стохастической компоненты с логистической тенденцией Верхулста (5.17)В этом случае детерминированная компонента, для которой справедливо разностное уравнение (5.6), будет выражаться через уровни ряда динамики следующим образом.

Тогда, в соответствии с приведенной выше методикой, получим следующую модель авторегрессии второго порядка:(5.18)где, как и в (5.7),, а гетероскедастическая стохастическая компонента имеет перед значениями стохастической компоненты множители из произведений двух наблюдений ряда динамики соответственно. Это приводит к мысли, что для обеспечения гомоскедастичности стохастической компоненты при идентификации модели (5.17) следует рассматривать в качестве модели авторегрессии результат почленного деления (5.18) на один из этих множителей, например, на, т. е. (5.19)где — стохастическая компонента, гетероскедастичность которой существенно уменьшена, так как её дисперсия зависит уже не от абсолютных значений уровней ряда динамики, а от отношений диапазон изменения которых существенно меньше. Из (5.19) найдем оценку, реализуя условие (5.20)которое приводит к линейному алгебраическому уравнению. Определив затем, представим (5.17) в виде.

Выполнив преобразование получим метод параметризации путём реализации условия:

с гомоскедастической стохастической компонентой. Искомые оценки являются решением нормальной СЛАУ второго порядка. Необходимый объём выборки для параметризации модели (5.17) — от 6 до 8 наблюдений ряда динамики. Итак, можем заключить, что и для логистического тренда Верхулста подход на основе обобщенных параметрических моделей авторегрессии-скользящего среднего позволил предложить новые методы параметризации на коротких выборках, не требующие априорных знаний о параметрах тенденций, допускающие классические структуры вхождения стохастической компоненты (аддитивные и мультипликативные по отношению к детерминированной компоненте).Тестирование предложенных методов целесообразно осуществлять в сравнении как с известными методами, так и с методами параметризации логистических тенденций других моделей.

Заключение

.

Итогом проведенных исследований, нашедших отражение в данномисследовании, явилась апробация новых методов анализа и прогнозирования динамики фондового рынка, а также краткосрочного и среднесрочного прогнозирования ряда моделей экономических показателей, исследование проблемы точности таких прогнозов. Данные модели достаточно хорошо подходят для исследования фондовых рынков, что обусловлено как разнообразием используемых аналитических выражений, так и многокомпонентностью моделей — в частности, возможностью практически важного случая учета сезонной и циклической компоненты в отсчётах динамических рядов. Предложенные методы идентификации многокомпонентных динамических рядов реализуются на одной и той же выборке, как правило, в два этапа, на каждом из которых статистическое сглаживание обуславливает решение систем линейных алгебраических уравнений до 5 — 6 — го порядков, что позволило обеспечить малые вычислительные погрешности. В большинстве случаев структурная идентификация осуществляется на первом этапе. На широкое приложение методов в динамично развивающихся фондовых рынках позволяют рассчитывать возможность их реализации на коротких выборках, т. е. на малых интервалах стационарности идентифицируемых моделей. Необходимые априорные сведения для проведения идентификации существенно меньше, чем у известных методов.

Как показали количественные расчеты, предлагаемые методы обеспечивают более высокую точность, чем известные, «тоньше» чувствуют структуру динамических рядов: например, обосновывают переход от гладких трендов к моделям, содержащим гармоническую компоненту. Исследована программная реализация ряда методов, включающая в себя частичное использование известных методов, например, определения порядка авторегрессии, для реализации ОМНК, для моделирования стохастической компоненты, для построения графиков моделей и т. д. Итак, поставленная задача обеспечения повышения точности, быстродействия, функциональных возможностей идентификации и прогнозирования широкого класса моделей экономической динамики показателей фондовых рынков частично решена в рамках единого подхода на основе моделей авторегрессии. Практически все предложенные методы анализа и прогнозирования являются недавно предложенными, в ряде случаев они выступают как обобщение известных частных эвристических. Задача создания нового пакета программ для идентификации рассмотренного выше класса моделей или встраиваемых подпрограмм в известные пакеты ещё ждет своего решения.

Литература

1.Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. — М., 20 112.

Семёнычев В. К. Комплекс методов прогнозирования экономической динамики. Труды международной научно — практической конференции «Теория активных систем». — М.: ИПУ РАН. 2003. Т.

2. — С.103 — 104.

3.Семёнычев В. К. Математическое и инструментальное обеспечение экономической безопасности предприятий и отраслей. Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени С. П. Королева. — Самара.: СГАУ. 2004. № 3 (5). — С.35 — 41.

4.Семёнычев В. К. Общий подход к идентификации экономической динамики моделями авторегрессии. Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени С. П. Королева. — Самара. СГАУ. 2004. № 4 (6). — С.63 — 68.

5. Старостин Г. В. Мировые фондовые рынки. Проблемы функционирования. — Ижевск, 19 996.

Схетидзе А. Ценные бумаги. — Владикавказ, 20 097.

Таборов Е.Ш.

Введение

в биржевую торговлю. — М., 20 018.

Теглов Р. Д. Методы математической статистики. — СПб., 20 139.

Трепавлов Е. Г. Задачи прогнозирования будущего. — Владимир, 200 710.

Туск П. Критерии оценивания и прогнозирования. — М., 201 011.

Уфимцев П. Э. Основы экономической статистики. — Тверь, 200 712.

Яковлев И., Сыч В. Экономика и статистика. — М., 2005.