Золотое сечение в природе

Возьмем равносторонний треугольник и разделим каждую сторону на три равных отрезка. Затем удалим центральную часть на каждой стороне и построим извнеравносторонний треугольник со сторонами, равными центральному отрезку, который мы удалили.Рис. 12. Процесс построения «снежинки Коха"Будем повторять этот процесс для каждого построенного маленького равностороннего треугольника. Вскоре станет слишком трудно делать построения спомощьюкарандаша и бумаги, но компьютер может продолжать процесс очень долго.Рис. 13. Процесс построения «снежинки Коха"Можно посчитать периметр и площадь «снежинки Коха». При каждом шагемы заменяем отрезок длины 3 (3 части) на 4 отрезка общей длины 4. Таким образом, при каждом шаге начальная длина умножается на 4/3. Еслиизначальный периметр равностороннего треугольника был равен Lпосле n шаговдлина кривой будет.

Так как 4/3 больше 1, то значение этого выражения может быть сколь: угоднобольшим! Или в математических терминах, длина кривой Коха, Ln, стремится к бесконечности. Мы можем удлинять ее неограниченно. Предположим, что исходныйтреугольник имеет площадь, А = 1. Разобьем его на треугольники, сторона которых в три раза меньше исходной, то есть получим девять маленьких треугольников. Еще три треугольника были добавлены после первого шага, их общая площадь составляет 1/3 от первоначальнойплощади. Таким образом, мы имеем:

Вокруг каждого маленького треугольника Т2 мы добавляем четыре еще болеемаленьких треугольника при следующем шаге, Т3 что составляет 4/9 площади трехтреугольников Т2 которая, как мы видели, равняется трети от общей площади А1. Таким образом, при втором шаге мы добавили. Рассуждая аналогичным образом, видно, что при каждом из следующих шагов добавляется 4/9 от площади, добавленной при предыдущем шаге, так чтообщая площадь выражается так: Упрощая выражение и применяя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, получаем:

Таким образом, после бесконечного числа шагов получится кривая бесконечной длины, однако эта кривая ограничивает площадь, которая всего лишьв 1,6 раза больше площади исходного треугольника. Размерность «снежинки» больше 1 и меньше 2. Первый шаг заключался в том, что перешли от отрезка длины 3 к отрезку длины 4. Если бы осталисьна прямой, ее размерность была бы равна 1, потому что 31 = 3. Если бы построили квадрат со стороной 3, он бы имел площадь 9, потому что 32 = 9, и размерность2. При переходе к длине 4 размерность является числом d, таким, что 3d = 4. Чтобынайти d, используем логарифмы. Как видим, размерность является дробным числом. Вот почему Мандельбротиспользовал латинское слово fractus. Существует другой вариант этой кривой, который очень знаком: антиснежинка Коха.

Она строится аналогично снежинке, только при каждом шаге треугольники добавляются внутри исходного треугольника. Эта антиснежинка используется в качестве логотипа японской марки автомобилей.Рис. 14. Антиснежинка Коха.

Но фракталы представляют собой нечто большее, чем забавный математическийпарадокс: сама природа имеет фрактальную структуру. Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть на деревья: рост ветвей можно с поразительной точностьюсмоделировать с помощью фракталов. Существует много фрактальных моделей деревьев, где из каждого сучка под определенным углом растут ветви, длина которыхравняется длине предыдущей ветки, умноженной на коэффициент f. В зависимостиот значения этого множителя ветки могут пересекаться и даже расти друг на друге. Эта проблема должна быть решена, если хотим иметь корректную модель реальности. Нужно определить предельные значения множителя f. Исследованияпоказывают, что он связан с Ф, потому что его значение равняется 1/Ф.Если начнем строить дерево не с прямой линии, а с фигуры, например, с равностороннего треугольника, и в каждой вершине треугольника поместим другой равносторонний треугольник, длина стороны которого равна исходной, умноженной на коэффициент f (на нашем рисунке f = ½), так чтобы ветви не пересекались, а лишькасались, максимальное значение f также будет 1/Ф.Рис. 15. Построенное дерево.

Романеско (один из культурных сортов капусты Brassicaoleracea) являетсясамым красивым примером фракталов в природе, потому что ее структура виднаневооруженным глазом, без вычислений и математических формул. Если отрезатьлюбой кусок, его форма всегда будет такой же, как и у целого кочана. Можно проверить связь с Ф, посчитав спирали в обоих направлениях. В результате получим два числа из последовательности фибоначчи: 8 и 13 спиралей. Количества спиралей в кочане цветной капусты романеско являются числами из последовательности Фибоначчи. [1, 3−5, 7]Рис. 16. Спирали в кочане капусты романеско.

Заключение

«Золотое сечение», «золоток число» является древним и прославленным числом, котороевозникло в математике более 20 веков назад и до сих пор встречается в новых областях современной наукии продолжает играть важную роль. В рамках данной работы золотое сечение и его примеры были рассмотрены применительно к природе, а именно:

для лучшего понимания примеров сначала рассмотрели понятие золотого сечения в математике;

затем рассмотрели понятие и примеры растущих форм;

рассмотрели примеры золотого сечения у живых существ;

рассмотрели филлотаксис и золотое сечение;

рассмотрели примеры золотого сечения в цветах и лепестках;

рассмотрели наутилус;

рассмотрели понятие фракталов и их взаимное проявление с золотым сечением в природе (на примере фрактальных снежинок).Безусловно в наше времявозникнет еще немало новых открытий, которые связанны с золотым сечением. Будут предприниматься попытки найти ответы на такие вопросы: Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика позволяет дать утвердительный ответ на многие подобные вопросы. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве.

Список использованных источников

.

Азевич А. И. Двадцать уроков гармонии. — М.: Школа-Пресс, 1998. — 159 с. Большой энциклопедический словарь: математика. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1988. -.

847 с. Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238 с. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. -.

М.: Мир, 1971. — 760 с. Мир математики: в 40 т. Т. 1: Фернандо Корбалан. Золотое сечение. Математический язык красоты. /.

Пер. с англ. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с. Прохоров Ю. В. Математический энциклопедический словарь. М., Советская энциклопедия, 1988.

— 847 с. Тимердинг Г. Е. Золотое сечение. — М.: Либроком, 2009. — 112 с.