При введении понятия определенного интеграла, а также при рассмотрении задач, связанных с ним, все время делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна. Если интервал интегрирования бесконечен или функция в этом интервале имеет точки разрыва, то введенное выше понятие определенного интеграла неприменимо. Однако существует целый ряд задач, когда возникает необходимость распространить понятие определенного интеграла на случаи бесконечных интервалов интегрирования и разрывных функций.
Рассмотрим вначале случай интегралов с бесконечными пределами. Пусть функция непрерывна на промежутке. Следовательно, можно вычислить любой определенный интеграл с верхним пределом. Величина этого интеграла будет меняться в процессе изменения, но его можно будет вычислить до тех пор, пока конечное число. Как только верхний предел станет равным бесконечности, -ая интегральная сумма, приводящая в пределе к определенному интегралу, потеряет смысл. Действительно, в этом случае уже нельзя будет ни задать, ни вычислить. Иначе говоря, последняя частичная трапеция при записиой интегральной суммы будет всегда иметь бесконечно большое основание и ее площадь вычислить обычными методами не удастся. В этом случае выход из положения заключается в том, что находится не на бесконечности, а стремится к ней.
Определение 1. Если существует конечный предел, то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции и обозначается .
Итак, по определению. В этом и заключается метод вычисления таких интегралов. Очевидно, что поскольку данное вычисление связано с нахождением предела, то ответ может существовать или нет.
Определение 2. Если в несобственном интеграле предел существует, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
Очевидно, с геометрической точки зрения несобственный интеграл с бесконечными пределами равен площади неограниченной области, лежащей между осью, кривой и прямой .
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:
