Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

1. Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения, где — алгебраическая или трансцендентная функция.

Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).

В общем случае решение данного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:

1) отделение (локализация) корня;

2) приближённое вычисление корня до заданной точности.

2. Отделение корня. Отделение действительного корня уравнения — это нахождение отрезка, в котором лежит только один корень данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции (локализации) корня.

Наиболее удобным и наглядным является графический метод отделения корней:

1) строится график функции, и определяются абсциссы точек пересечения этого графика с осью, которые и являются корнями уравнения ;

2) если — сложная функция, то её надо представить в виде так, чтобы легко строились графики функций и. Так как, то. Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения .

Пример.Графически отделить корень уравнения .

Решение. Представим левую часть уравнения в виде. Получим: Построим графики функций и .

Абсцисса точки пересечения графиков находится на отрезке, значит корень уравнения .

3. Уточнение корня.

Если искомый корень уравнения отделён, т. е. определён отрезок, на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближённое значение корня с заданной точностью.

Такая задача называется задачей уточнения корня.

Уточнение корня можно производить различными методами:

1) метод половинного деления (бисекции);

2) метод итераций;

3) метод хорд (секущих);

4) метод касательных (Ньютона);

5) комбинированные методы.

4. Метод половинного деления (бисекции).

Отрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.

Такой метод можно применять, если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, т. е. выполняется условие (1).

Разделим отрезок пополам точкой, которая будет приближённым значением корня .

Для уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.

Из отрезков и выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).

В нашем случае это отрезок, где .

Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т. е. находим и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Т. е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства .

Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).

Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.

Пример. Решить уравнение методом половинного деления с точностью до 0,001.

Решение.Известен отрезок изоляции корня и заданная точность. По уравнению составим функцию .

Найдём значения функции на концах отрезка:

, .

Проверим выполнение неравенства (1): — условие выполняется, значит можно применить метод половинного деления.

Найдём середину отрезка и вычислим значение функции в полученной точке:

.

Среди значений и выберем два значения разных знаков, но близких друг к другу. Это и. Следовательно, из отрезков и выбираем тот, на концах которого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок и опять находим середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке:

, , — заданная точность результата не достигнута, продолжим вычисления.

, , .

, , .

, , .

, , .

, , .

, , .

, , .

, , .

 — заданная точность результата достигнута, значит, нашли приближённое значение корня .

Ответ: корень уравнения с точностью до 0,001.

5. Метод хорд (секущих).

Этот метод применяется при решении уравнений вида, если корень уравнения отделён, т. е. и выполняются условия:

1) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка);

2) производная сохраняет знак на отрезке (функция либо возрастает, либо убывает на отрезке).

Первое приближение корня находится по формуле: .

Для следующего приближения из отрезков и выбирается тот, на концах которого функция имеет значения разных знаков.

Тогда второе приближение вычисляется по формуле:

если или, если .

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.

6. Метод касательных (Ньютона).

Этот метод применяется, если уравнение имеет корень, и выполняются условия:

1) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка);

2) производные и сохраняют знак на отрезке (т.е. функция либо возрастает, либо убывает на отрезке, сохраняя при этом направление выпуклости).

На отрезке выбирается такое число, при котором имеет тот же знак, что и, т. е. выполняется условие. Таким образом, выбирается точка с абсциссой, в которой касательная к кривой на отрезке пересекает ось. За точку сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Первое приближение корня определяется по формуле: .

Второе приближение корня определяется по формуле: .

Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности — до выполнения неравенства .

Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.

Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.

7. Комбинированный метод хорд и касательных.

Если выполняются условия:

1) ,

2) и сохраняют знак на отрезке ,

то приближения корня уравнения по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой — с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.

Схема решения уравнения методом хорд и касательных

1. Вычислить значения функции и .

2. Проверить выполнение условия. Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок .

3. Найти производные и .

4. Проверить постоянство знака производных на отрезке. Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок .

5. Для метода касательных выбирается за тот из концов отрезка, в котором выполняется условие, т. е. и одного знака.

6. Приближения корней находятся:

а) по методу касательных: ,

б) по методу хорд: .

7. Вычисляется первое приближение корня: .

8. Проверяется выполнение условия:, где — заданная точность.

Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1−8.

В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид. Приближённые значения корня находятся по формулам:

и .

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение, при котором и совпадут с точностью .

Пример. Решить уравнение методом хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения .

Решение.

1. Вычислим значения функции на концах отрезка:, .

2. Проверим выполнение условия: — условие выполняется.

3. Найдём производные: и .

4. На отрезке производные и, т. е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.

5. Выберем значение для метода касательных. Т.к. и, то .

6. Найдём приближения корня:

а) по методу касательных:

б) по методу хорд: .

7. Найдём первое приближение корня: .

8. Проверим выполнение условия: — условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.

9. Отрезок изоляции корня имеет вид: .

10. Продолжим уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:

.

11. Проверим условие: — выполняется, значит можно продолжить применение метода.

12. Так как и на отрезке, то для метода касательных: .

13. Вычислим значение производной: .

14. Найдём новые значения концов отрезка изоляции:

.

15. Найдём второе приближение корня: .

16. Проверим выполнение условия: — неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.

17. Отрезок изоляции корня имеет вид: .

18. Вычислим значения функции:

.

19. Условие — выполняется.

20. Так как и на, то для метода касательных .

21. Вычислим производную: .

22. Вычислим: ,

.

23. Найдём третье приближение корня: .

24. Проверим выполнение неравенства: — условие выполняется, значит, цель достигнута.

25. Следовательно, или — приближённое значение корня с точностью до 0,001.

Ответ: .

9. Задания для расчётных работ.

Решить уравнение методами:

а) бисекции, б) хорд и касательных.