Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

В идеальной жидкости, в отличие от реальной, отсутствуют силы внутреннего трения (отсутствует вязкость). Благодаря вязкости в реальной жидкости происходят потери механической энергии потока на трение внутри жидкости и о стенки канала. При этом происходит рассеивание (диссипация) энергии. Энергия, потерянная на трение, превращается в теплоту и идет на пополнение запаса внутренней энергии жидкости, а часть ее отводится в виде тепла через стенки канала.

Внутренняя энергия жидкости не может быть непосредственно использована для приведения жидкости в движение и поэтому в гидравлике рассматривается как потеря механической энергии (потеря напора).

Для реальной жидкости равенство нарушается, и вместо него имеем , где - потеря напора на участке 1−2. Тогда для элементарной струйки реальной жидкости уравнение Бернулли примет вид.

Таким образом, полный напор вдоль струйки реальной жидкости уменьшается. Для характеристики относительного изменения полного напора на единицу длины вводится понятие о гидравлическом уклоне.

Например, на участке трубопровода 1−2 (см. рис. 4.26).

где l1−2 — длина участка 1−2.

Таким образом, гидравлическим уклоном называется отношение потери напора к длине, на которой она происходит.

Кроме того, вводится еще понятие о пьезометрическом уклоне

Пьезометрический уклон может быть положительным, равным нулю и отрицательным.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Применение уравнения Бернулли, выведенного для отдельной струйки, для потока жидкости затрудняется неравномерностью распределения скоростей по живому сечению потока, наличием поперечных составляющих продольной скорости и влиянием центробежных сил. В связи с этим необходимо установить характеристику потоков, для которых можно применять уравнение Бернулли, а также предложить способ учета неравномерности скоростей в живых сечениях потока.

Для решения этих вопросов в гидравлике выделяется так называемое плавно изменяющееся движение (рис. 4.27, 4.28), которое характеризуется следующими особенностями.

Рис. 4.27. Схема плавно изменяющегося движения.

Рис. 4.28. Схема криволинейного плавно изменяющегося движения.

• 1. Угол расхождения соседних струек, а следовательно, и поперечные составляющие скоростей в живых сечениях потока настолько малы, что ими можно пренебречь и рассматривать течение как происходящее только с продольной скоростью.
• 2. Кривизна линий тока настолько мала, а радиусы закруглений настолько велики, что центробежными силами в таких потоках можно пренебречь.
• 3. Кривизна живых сечений при неравномерном распределении скорости настолько невелика, что их можно рассматривать как плоские.
• 4. Гидродинамическое давление в живых сечениях распределяется по законам гидростатики, т. е. сумма для всех точек данного живого сечения. Следовательно, уровень в пьезометрах при плавно изменяющемся движении во всех точках живого сечения потока будет одним и тем же (рис. 4.29).

Рис. 4.29. Схема к определению величины гидродинамического давления.

В случае плавноизменяющегося движения уравнение Бернулли для элементарной струйки можно распространить и на поток с поперечным сечением конечных размеров, скорости в различных точках которого различны. Однако в гидравлике обычно расчеты ведутся по средним скоростям. Для приведения результатов расчетов по средним скоростям в соответствие с расчетами по действительным скоростям вводятся некоторые поправочные коэффициенты (коэффициент Кориолиса, см. ниже).

Таким образом, плавно изменяющееся движение можно считать практически одномерным, т. е. положить , направив ось х параллельно потоку. Отсюда . Отсюда из уравнения неразрывности . Тогда система уравнений Навье — Стокса примет вид.

Производные от скорости по переменным у и z означают, что скорость изменяется по этим переменным, тогда как

Последние два уравнения переходят в уравнения гидростатики Эйлера, а это означает, что в плоскости yOz давления распределяются по закону гидростатики.

Распространим уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости в виде.

(4.22).

на поток реальной жидкости.

Правая и левая части этого уравнения есть удельная энергия жидкости, т. е. энергия, отнесенная к единице веса. Весовой расход элементарной струйки определяется по формуле.

где - сечение элементарной струйки; - объемный расход.

Умножая обе части уравнения (4.22) на , получим не удельную, а полную энергию элементарной струйки в сечениях 1 и 2 и полную потерю этой энергии между сечениями 1 и 2 в единицу времени, т. е. , где - энергия струйки в 1-м сечении;  — энергия струйки во 2-м сечении; - потеря энергии между 1-м и 2-м сечениями.

Тогда.

Для того чтобы получить подобные соотношения мощностей для всего потока.

необходимо произвести интегрирование:

(4.23).

Преобразуем эти интегралы:

Так как при плавноизменяющемся движении то во всех точках данного сечения и .

Аналогично.

Запишем третье слагаемое в левой части соотношения (4.23) в виде.

т. е. выразим его как произведение некоторого коэффициента, а на скоростной напор, подсчитанный по средней скорости потока й, и на весовой расход жидкости

Коэффициент, а называют коэффициентом кинетической энергии потока, или коэффициентом Кориолиса. Таким образом, а представляет отношение кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной в предположении, что скорости всех точек живого сечения потока равны средней скорости потока:

(4.24).

Кроме того, из формулы (4.24) следует.

Отсюда заключаем, что коэффициент, а характеризует неравномерность распределения скоростей по сечению потока. Для ламинарного режима , для турбулентного режима

Существенно большее значение, а для ламинарного режима течения по сравнению с турбулентным объясняется большей неравномерностью скорости в поперечном сечении потока при ламинарном режиме (см. профили скоростей ламинарного и турбулентного режимов течения, приведенные на рис. 6.17).

Последний интеграл в соотношении (4.23) будет равен.

Тогда уравнение Бернулли для потока примет вид.

Поделив на весовой расход жидкости G = ?Q обе части уравнения, получим соотношение для удельных энергий потока.

Обычно для упрощения гидравлических расчетов трубопроводов для турбулентных потоков принимают , и уравнение Бернулли для потока будет иметь вид.

Рассмотрим распределение напоров в жидкости, движущейся в трубопроводе, имеющем сужение в средней его части (рис. 4.30). Выделим три характерных сечения, в которых расположим пьезометры и трубки Пито (описание трубок см. в параграфе 4.14).

На рис. 4.30 при течении жидкости в трубопроводе могут быть выделены следующие характерные линии:

I — линия геометрических напоров;

II — пьезометрическая линия;

III — линия полного напора.

Рис. 4.30. Графическая иллюстрация уравнения Бернулли.

Через обозначены потери напора соответственно на участках между первым и вторым, а также вторым и третьим сечениями.

Применительно к рис. 4.30 уравнение Бернулли запишется в виде.

На рис. 4.30 отмечены все напоры, входящие в уравнение Бернулли. В частности, ясно, что пьезометрический напор в узком сечении уменьшается, а скоростной напор возрастает. Максимальная потеря напора имеет место в третьем сечении (, потери на трение и в местных сопротивлениях см. в гл. 6).