Логарифмически нормальное распределение

Логарифмически нормальная функция распределения нашла широкое применение при анализе надежности объектов техники, биологии, экономики и др. Например, функцию успешно применяют для описания наработки до отказа подшипников, электронных приборов и других изделий.

Неотрицательные случайные значения некоторого параметра распределены логарифмически нормально, если его логарифм распределен нормально. Плотность распределения для различных значений? приведена на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Плотность логарифмически нормального распределения.

Плотность распределения описывается зависимостью.

где Мх и? — параметры, оцениваемые по результатам п испытаний до отказа:

(4.4).

Для логарифмически нормального закона распределения функция надежности.

(4.5).

Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения (см. табл. П6.1 приложения 6) в зависимости от значения квантиля.

Математическое ожидание наработки до отказа.

Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации соответственно будут равны.

и.

Если vx ? 0,3, то полагают, что ?x = ?, при этом ошибка составляет не более 1%.

Часто применяют запись зависимостей для логарифмически нормального закона распределения в десятичных логарифмах. В соответствии с этим законом плотность распределения.

Оценки параметров lg x0 и? определяют по результатам испытаний:

Математическое ожидание Мх, среднее квадратическое отклонение ?x и коэффициент вариации ?x наработки до отказа соответственно равны.

Пример 4.6.

Определить вероятность безотказной работы редуктора в течение t = 103 ч, если ресурс распределен логарифмически нормально с параметрами lg t0 = 3,6;? = 0,3.

Решение

Найдем значение квантиля и определим вероятность безотказной работы:

Ответ: R(t) = 0,0228.

Распределение Вейбулла

Функция распределения Вейбулла представляет собой двухпараметрическое распределение. Описываемый ею закон является универсальным, так как при соответствующих значениях параметров превращается в нормальное, экспоненциальное и другие виды распределений. Автор данного закона распределения В. Вейбулл использовал его при описании и анализе экспериментально наблюдавшихся разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости. Закон Вейбулла удовлетворительно описывает наработку до отказа подшипников, элементов электронной аппаратуры, его используют для оценки надежности деталей и узлов машин, в том числе автомобилей, а также для оценки надежности машин в процессе их приработки. Плотность распределения описывается зависимостью.

где? — параметр формы кривой распределения;? — параметр масштаба кривой распределения.

График функции плотности распределения приведен на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Функция плотности распределения Вейбулла для? = 1.

Функция распределения Вейбулла.

Функция надежности для этого закона распределения.

Математическое ожидание случайной величины х равно.

где Г (x) — гамма-функция.

Для непрерывных значений х

Для целочисленных значений х гамма-функцию вычисляют по формуле.

также верны формулы.

Дисперсия случайной величины равна.

Широкое применение при анализе и расчетах надежности изделий закона распределения Вейбулла объясняется тем, что этот закон, обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр ?.

Подбирая нужным образом параметры, а и ?, можно получить лучшее соответствие расчетных значений опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который является однопараметрическим (параметр ?).

Так, для изделий, у которых имеются скрытые дефекты, но которые длительное время не используются (а значит, медленнее стареют), опасность отказа имеет наибольшее значение в начальный период, а потом быстро падает. Функция надежности для такого изделия хорошо описывается законом Вейбулла с параметром? < 1.

Наоборот, если изделие хорошо контролируется при изготовлении и почти не имеет скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, то функция надежности описывается законом Вейбулла с параметром? > 1. При? = 3,3 распределение Вейбулла близко к нормальному.