Модели фазовых переходов с учетом особенностей критических флуктуаций и границы устойчивости фаз

Проблема фазовых переходов и связанных с ними критических явлений в системах многих частиц занимает центральное место в физике конденсированного состояния. В периодической печати постоянно публикуются результаты теоретических и экспериментальных исследований критических явлений, по этой теме опубликованы многочисленные обзоры и монографии, например [1−37]. Такой интерес, проявляемый к данной области науки, где, казалось бы, все ясно и закончено, и материал излагается в любом учебнике по статистической физике, вызван обновлением, которое произошло в статистическо-термодинамической теории фазовых переходов второго рода, связанных с нарушением симметрии. Наблюдаемые здесь физические явления характеризуются крупномасштабными флуктуа-циями, которые в современной теории определяются корреляционной длиной? При приближении к критической точке корреляционная длина растет и в этой точке становится бесконечной. Сингулярность критических точек фазовых переходов непрерывного типа делает проблему трудной, но вместе с тем и чрезвычайно увлекательной как в физическом, так и в математическом плане. В критическом состоянии мы имеем дело с переходом из более упорядоченного состояния в менее упорядоченное (и обратно). При этом взаимодействие между частицами уже достаточно велико, чтобы объединить систему в целом, но из-за статистически независимых флук-туаций нарушается классическое термодинамическое описание системы. Различные физические величины (теплоемкость, сжимаемость, магнитная и электрическая восприимчивости и т. п.) имеют в критической области особенности, которые во многих случаях имеют вид простой степенной зависимости от «температурного расстояния» до критической точки. Целью экспериментальных и теоретических исследований является изучение аномальных особенностей физических величин в критических точках.

Представление о фазах и фазовых переходах исторически сложилось при рассмотрении агрегатных состояний чистого вещества. Хорошо известна фазовая диаграмма в плоскости р, т (давление, температура), на которой твердое, жидкое и газообразное состояния разделены кривыми фазовых переходов. Фазовые переходы первого рода, например конденсация (кипение) и отвердевание (плавление), сопровождаются поглощением (выделением) тепла. Характерными признаками являются скачки, которые испытывают первые производные термодинамического потенциала на кривой фазового перехода — энергия, энтропия, объем и т. п. Кривая равновесного фазового перехода жидкость-газ заканчивается в критической точке, в которой исчезает различие между фазами. В этой точке первые производные термодинамического потенциала непрерывны, но испытывают скачки производные второго порядкаобращаются в бесконечность теплоемкость и сжимаемость. Такие переходы, как в критической точке наблюдаются во многих системах: магнетиках, сегнетоэлектриках, твердых растворах, жидком гелии и даже органических молекулах. Фазовые переходы, при которых испытывают скачки производные второго и более высоких порядков, согласно классификации, предложенной М. Фишером, следует считать непрерывными. Они, как правило, связаны с изменением симметрии и относятся к теории неупорядоченных систем. Критические явления для разных систем имеют общие черты, критические индексы, характеризующие сингулярность вторых производных термодинамического потенциала в критической точке имеют близкие числовые значения в тех случаях, когда можно установить аналогию для этих систем. Наиболее детально исследованы магнитные системы, для описания которых используются простые модели обменного взаимодействия спинов: модели Изинга и Гей-зенберга. В большой мере теория флуктуаций, в том числе критических флуктуаций, развивалась на основе модельного гамильтониана Гинзбурга-Ландау. Результаты, полученные для магнитных систем в большинстве случаев можно обобщить и на фазовые переходы в других системах. Поэтому в дальнейшем в основном рассматриваются критические явления в ферромагнетике.

Развитие представлений о фазовых переходах.

Теория среднего поля, предложенная в 1907 г. П. Вейссом — простейшая и самая первая попытка теоретического описания критических явлений. При всех своих недостатках этот метод логичен в принципе и очень полезен на практике. Основное нереалистическое приближение теории среднего поля состоит в том, что из рассмотрения исключены неоднородные спиновые конфигурации. Эффекты флуктуаций во внимание не принимаются. Понять и математически проанализировать эффект флуктуаций оказывается крайне трудно. Эта проблема и является главной в теории критических явлений.

Развитие представлений молекулярного поля является так называемое квазихимическое приближение, предложенное Бете и Пайерлсом [7]. Здесь учитывается взаимодействие выделенной «частицы» с ближайшими соседямивлияние среды описывается введением параметра, играющего роль химпотенциала, величина которого определяется из условий самосогласования. Квазихимический метод дает значение критической точки (КТ) фазового перехода более близкое к точному решению, полученному для модели Изинга, чем в методе среднего поля, но при этом широкомасштабные флуктуации тоже не учитываются. Развитием представлений Бете и Пайерлса можно считать кластерные методы, которые используются для численных расчетов.

Идеи расчета флуктуаций в критической точке (КТ) были предложены Орнштейном и Цернике, согласно которым в гауссовом приближении (или приближении свободного поля) корреляционная функция в КТ обращается в бесконечность [6, 7, 9]. В КТ радиус корреляции^{ставится} больше любого линейного размера, характеризующего силы взаимодействия частиц в системе. В такой ситуации можно ожидать, что детали поведения межатомных сил несущественных для описания поведения ансамбля флук-туаций, то есть разные по природе системы ведут себя в КТ одинаковым образом.

Огромную роль в создании теории фазовых переходов сыграли работы Л. Д. Ландау [36]. Он впервые ввел общее описание фазовых переходов как изменение симметрии вещества. При всех фазовых переходах второго рода в точке перехода возникает новый элемент симметрии, характеризующийся параметром 77. В магнитных системах в упорядоченной фазе существует спонтанный магнитный момент, приводящий к анизотропии физических свойств. Конденсат описывается волновой функцией у/(х), когерентной во всем объеме жидкостиградиент фазы волновой функции определяет скорость сверхтекучей компоненты. В случаях, связанных с переходами в кристаллах задача определения параметров порядка и их связи с представлениями кристаллографических групп решена Е. М. Лифшицем [32]. Важную роль в теории играет модель, гамильтониан которой предложен Л. Ландау и В. Гинзбургом. Теория Ландау справедлива для малых флуктуаций, область применения теории определяется условием т: хт-1.

Gj, где Gi — критерии Гинзбурга [32]. Для сверхпроводников GrlО" 14 [3], вследствие этого гамильтониан Гинзбурга-Ландау играет очень важную роль в теории сверхпроводимости.

Для теории сверхпроводимости и фазовых переходов вообще принципиальное значение имеет развитие квантово-полевой статистики. H.H. Боголюбов в классической работе показал, что конденсация Бозе-Эйнштейна происходит в случае слабого взаимодействия [38]. В дальнейшем полевые методы развивались в работах H.H. Боголюбова, С. Т. Беляева, обобщены в монографии [39], а также [30, 40, 43].

В теории магнетизма можно сослаться на энциклопедический труд C.B. Вонсовского [68], в котором обобщены многие работы ученых отечественной школы в этом направлении. Большое значение для развития кван-товополевых представлений имеют работы C.B. Тябликова [30],.

A.И. Ахиезера, В. Г. Барьяхтара, C.B. Пелетминского, И. Е. Дзялошинского, Ю. А. Изюмова, В. Г. Вакса, А. И. Ларкина, С. А. Пикина, А. Е. Боровика,.

B.А. Попова, А. Г. Гуревича и многих других [22, 23, 27, 30, 40−43, 71−79]. В настоящее время эти методы составляют основу статистической физики и применяются также в разделах не относящихся к фазовым переходам [44−67, 78−81].

Особое место в теории критических явлений занимают конкретные модели, для которых можно получить аналитические решения или достаточно точные численные решения. Прежде всего — это модель Изинга, которую используют не только для описания магнетиков, но и для жидкостей и сплавов. Точное решение для двухмерной решетки Изинга, полученное Онзагером [82], показало, что в КТ принципиальную роль играют широкомасштабные флуктуации, известные в то время теории неприменимы в КТ — необходимы иные методы исследования критических явлений.

Критические показатели, полученные экспериментально для магнитных систем и жидкостей имеют иные значения, чем полученные из классической теории. Численные методы, использующие кластерные разложения и метод апроксимант Паде [10] дают результаты, согласующиеся с экспериментом. В связи с этим остро возникла необходимость в адекватной теории критических явлений. Существует очень большое число работ переходного периода, в которых исследуются математические модели. Это развитие общих теоретических представлений, связанных с устойчивостью вещества в КТ [12]- связь дальнего порядка с асимптотическим вырождением главного собственного значения матрицы статистической суммыодномерные и двухмерные модели с характерным потенциалом взаимодействия типа потенциала Каца [83] и другие. Отметим сферическую модель Берлинга и Каца [32] для модели Изинга, которая имеет точное решение. Она обнаруживает фазовый переход для трехмерной решетки, но отсутствует переход для .

В условиях, когда в КТ нельзя использовать разложение термодинамического потенциала в виде ряда, важным шагом в развитии теории является гипотеза подобия. Основная идея состоит в том, что единственным масштабным параметром в КТ является корреляционная длина? все остальные параметры флуктуирующих величин могут быть выражены как степени? Соотношения между критическими показателями можно получить из условия однородности соответствующих функций. В работах А. З. Паташинского, В. Л. Покровского [1−2] и Л. Каданова [84−86] был развит феноменологический подход, приводящий к гипотезе подобия. Понятие масштабной размерности наиболее прямо сформулировано в работе Л. Каданова [85]. Обсуждению теории подобия посвящено большое количество работ. Критические индексы — важнейшие характеристики фазового перехода. Гипотеза подобия позволяет выделить независимые критические индексы, через которые выражаются все остальные. Вычисление индексов является задачей микротеории.

К. Вильсон предложил новую формулировку теории Каданова, ему удалось обобщить теорию и получить эффективный формализм, позволяющий производить явное вычисление критических индексов (показателей) [88−95]. Дальнейшее развитие идей К. Вильсона в работах [90−95] привело к созданию метода ренормализационной группы (РГ), который составляет основу современной теории критических явлений.

Современная теория критических явлений.

Теория критических явлений в настоящее время представляет собой с точки зрения фундаментальной науки теоретически вполне обоснованный подтвержденный экспериментально раздел физики. Ее основные положения становятся классическими и включены в учебники теоретической физики. Решение одних проблем ставит новые еще более многочисленные задачи, теория активно развивается в различных направлениях.

Существует проблема более глубокого теоретического обоснования метода РГ и его конкретных реализаций [1]. Широкомасштабные флуктуации в КТ не являются равновесными, они играют решающую роль в поведении системы, соответственно возникает вопрос об определении основного и возбужденных состояний. Возможно, следует рассматривать КТ с точки зрения неравновесной статфизики [44]. Очень важны в этом отношении работы Вакса, Ларкина и Пикина [76, 77], в которых указывается, что с микроскопической точки зрения поправки к нулевому феноменологическому приближению тем более законны, чем больше отношение радиуса взаимодействия гс к среднему расстоянию между частицами. Используя более высокие приближения, авторы указали область применимости теории самосогласованного поля. Для фазовых переходов в рамках модели.

Изинга эта теория применима в области температур 1 «/ «г ~6. Предположения о большом радиусе взаимодействия гс «1, по-видимому, хорошо выполняются, поскольку отклонения от феноменологической теории наблюдаются обычно в узком интервале | / [.

При построении блоков Каданова и последующем масштабном преобразовании, используемых в РГ в неявной форме используется гипотеза об увеличении гс вблизи КТ. Необходимое огрубление картины в методе РГ не позволяет сделать заключение о деталях поведения системы в маештабах меньших корреляционной длины? В связи с этим большое внимание уделяется реализациям РГ для конкретных моделей, например [1−5, 15, 19, 20, 24]. Сам Вильсон получил первые результаты численными методами [88, 89], а затем вывел очень удачную рекурсивную формулу. Улучшение приближений, сделанных Вильсоном, к сожалению, даег худшие результаты [103, 108]. Таким образом, сам метод РГ является эффективным методом исследования критических явлений, но его применение к конкретным моделям требует большого искусства.

В работах [99−108] рассмотрено применение РГ для дискретных спинов в двухмерной модели Изинга. Устойчивая, то есть неподвижная точка РГ определялась численными методами для различных типов решеток и взаимодействий между спинами. Для трехмерной решетки вычисления проведены в работах [110−112]. Численные расчеты связаны с огрублением точных дифференциальных уравнений РГ типа уравнений РГ Вильсона и Когута [8] и имеют свои особенности. Например, если работать с конечным числом спинов, то трудно определить, насколько точны вычисления, при включении в рассмотрение нескольких дополнительных спинов. Разработка практического критерия выбора правильных значений неподвижных точек привела к разным подходам в оптимизации вычислений [1−3, 113−115, 125].

В аналитических исследованиях используют чаще всего флуктуаци-онный гамильтониан Гинзбурга-Ландау. В гауссовом приближении неподвижная точка РГ существует для сЬ>4. Приближение с1 — 4 — ?, предложенное Вильсоном и Фишером [126], дает возможность применить технику возмущений, развитую для решения полевых задач, которая изложена в многочисленных монографиях. Наиболее полное изложение теории в применении к РГ представлено в монографии Паташинского и Покровского [3]. Существуют многочисленные работы по этому вопросу [1−5, 121−131, 132−146]. Критические показатели неподвижной точки для изотропной системы «-компонентных спинов, получены в рамках е-разложения, вычислены с точностью 0(s3), 0{еА) [1].

Используется также приближение /п", которое также дает возможность получить аналитические выражения для критических показателей [144−146, 147]. Стенли [151, 152] показал, что в пределе я—К© приближение 1/и"1 эквивалентно сферической модели. Очевидно, поэтому в данном приближении для d- 2 для показателей получаются расходящиеся значения [1], так как в сферической модели отсутствует фазовый переход в решетке Изинга для d — 2 [13]. Скейлинг и метод РГ широко используется для анализа поведения достаточно сложных систем. Исследуется влияние случайно распределенных примесей на устойчивость неподвижной точки [1, 4, 6, 153, 154]. Примеси понижают размерность параметра порядка, при котором существует устойчивая неподвижная точка РГтак при d<4, п>2 ферромагнитного фазового перехода вовсе не существует.

Задача о случайных блужданиях на решетке без самопересечения интересна с математической точки зрения как задача теории вероятностей, и в то же время тесно связана с критическими явлениями фазовых переходов [155, 156]. Здесь тоже найдены значения соответствующих критических показателей с точностью до 0(s) [157, 158]. Исследуются и другие неидеальные черты реальных систем: дипольное взаимодействие [27, 140 146, 158, 159] колебания решетки [142−146, 166−170].

В настоящее время проблему вычисления статических критических показателей методом РГ можно считать решенной. Сложнее обстоит дело с определением динамических критических показателей. Фундаментальная теория неравновесных процессов достаточно хорошо разработана как с термодинамической, так и статической точек зрения [6, 32−35, 43, 44, 54, 55, 136−140, 171, 172], но ее применение в данном случае вызывает трудности.

Информацию о зависящих от времени характеристиках критических явлений дает зависящая от времени парная корреляционная функция g (r, t), фурье-образ которой g (k, a?) непосредственно связан с поперечным сечением неупругого рассеяния. С теоретической точки зрения проблема состоит в том, что получить решение кинетических уравнений удается в гидродинамическом линеаризованном приближении (для неупругого рассеяния это уравнение Ландау-Плачека [13]), которое нельзя считать верным в самой КТ. С экспериментальной точки зрения трудности исследования связаны с высокой точностью и сложностью экспериментов по неупругому рассеянию [13, 173]. Вблизи КТ существенным оказывается взаимодействие разных мод. В случае жидкости — это взаимодействие звуковой, вязкой и тепловой мод, в случае ферромагнетика — взаимодействие спиновой и звуковой мод. Вследствие разной природы дисперсионные характеристики нормальных мод для разных систем различны. Поэтому динамические критические индексы не носят того универсального характера, как в случае статических явлений.

Гипотеза динамического подобия дает определенные соотношения для критических показателей, но не определяет их конкретных значений. Состояние теории динамических явлений в критической области с точки зрения РГ достаточно полно характеризуется в широко известных монографиях [3, 13], поведение корреляционной функции при рассеянии света в КТ анализируется в [35]. Применение метода РГ имеет специфические особенности для конкретного типа систем в зависимости от справедливости для них законов сохранения. РГ-преобразование ¡-л'-RsjU включает дополнительно к статическим параметрам параметры, характеризующие взаимодействие мод. Гальперин и Хохберг применили теорию подобия к анализу динамических критических индексов [175−178]. Оригинальный подход к определению динамических критических индексов методом РГ с учетом межмодовой связи предлагает в своих работах Ш. Ма, аналогичная точка зрения в этом вопросе излагается Паташинским и Покровским в монографии [3]. В результате, как показывает анализ простых моделей, с учетом динамики появляются новые неподвижные точки в параметрическом пространстве. Устойчивость таких точек и критические показатели следует исследовать для конкретных случаев.

Динамические критические индексы связаны со статическими, но ведут себя различно не только для различных систем, но и для одной системы в зависимости от температурного расстояния до КТ [13, 173, 177].

Идеи скейлинга и ренормгруппового анализа в той или иной мере применяются в большинстве вопросов, относящихся к критическим явлениям. Но круг проблем, связанных с фазовыми переходами очень разнообразен [178−202]. Это микроскопическое рассмотрение фазовых превращений, связанных с бозе конденсацией, статистические методы исследования фазовых переходов, ориентационные фазовые переходы в феррои антиферромагнетиках и многие другие вопросы. Для флуктуаций в большинстве таких случаев справедлива теория Ландау-Гинзбурга. Особое место занимает кинетика зародышеобразования и коалесценция при неравновесном фазовом переходе. Здесь в основном применяются идеи, предложенные Зельдовичем и Лифшицем [34].

Основные идеи и цели работы.

1. В преобразовании Каданова-Вильсона РГ применяется к гамильтониану флуктуаций, который имеет один вид как вдали, так и вблизи КТ, причем с классической точки зрения гамильтониан типа гамильтониана Гинзбурга-Ландау заведомо нельзя применять в КТ, где нарушается условие | t | «Gl: .

Представляется логичной задача — вблизи КТ учесть специфику широкомасштабных флуктуаций и построить гамильтониан, адекватно описывающий критические флуктуации при условии [ г11^, то есть противоположном условию Гинзбурга. С этой целью предложена гипотеза о том, что вблизи КТ блоки Каданова состоят из сильно коррелированных субблоков, размеры которых Е, много меньше корреляционной длины .

Для подтверждения гипотезы проведено микроскопическое рассмотрение модели Изинга для <Л — 2,3 вблизи КТ в рамках предложенной модели. Показано, что в КТ возрастает роль градиентного члена в гамильтониане флуктуаций, что приводит к подавлению флуктуаций малых масштабов, много меньших ?

Введение

в теорию параметра дает возможность использовать малый параметр ~ ^Г'О Для реализации РГ без использования приближения с/ = 4 — е. В этом случае можно получить трансформационные формулы и устойчивую неподвижную точку преобразования РГ непосредственно для ?/= 2,3,4.

Такой метод снимает ограничение, которое имеет место для <3=4−8 на конкретное значение коэффициента II в разложении гамильтониана флуктуаций при сг4. При этом t~v где показатель ц определяется в процессе преобразования РГ. В данной модели вычисление критических показателей с использованием ряда теории возмущений провести проще, чем в традиционном приближении с! = 4 — е.

Так как модифицированный гамильтониан флуктуации получен непосредственно вблизи КТ, при условии i^:Gi, то для многих случаев хорошие результаты можно получить и в гауссовом приближении.

2. Модель сильно коррелированных субблоков используется для анализа динамических критических показателей. В работе рассматриваются некоторые вопросы динамических явлений вблизи КТ, относящиеся в основном к неупругому рассеянию света. Анализируется значение критических индексов с применением метода РГ для модели сильно коррелированных субблоков. Рассматриваются два подхода.

Первый — это метод РГ в динамике, предложенный Ш. Ма с учетом эффекта медленной теплопроводности [1]. Здесь решается ограниченная задача — проверить возможности предложенной модели. Результаты не могут существенно отличаться от случая с1 = 4 — г .

Второй подход основан на линеаризованных уравнениях гидродинамики. Эти уравнения, конечно, нельзя применять непосредственно в КТ. Здесь они используются за неимением другой достаточно простой альтернативы, чтобы выявить основные черты взаимодействия мод и определить характер возбуждений вблизи КТ. Для анализа широкомасштабных флуктуаций рассматриваются некоторые результаты применения теории флуктуаций к выводу уравнения Ландау-Плачека. С этой же целью анализируется полная система гидродинамических уравнений вблизи КТ.

Для корреляционных функций получена система уравнений типа уравнений Ландау-Плачека, но с учетом эффекта сильной корреляции вблизи КТ.

В рамках модели рассматривается система из 8 уравнений гидродинамики [6].

Результаты исследования в обоих случаях: непосредственно из уравнений гидродинамики и из анализа уравнений Ландау-Плачека одинаковы и согласуются с известными результатами. В работе рассмотрены особенности термодинамики фазового перехода первого и второго рода.

В теории критических явлений для описания критической точки фазового перехода первого рода часто используется аналогия с фазовым переходом второго рода. В этом случае можно исследовать модель решеточного газа и ввести параметр порядка. Эксперимент подтверждает, что критические индексы вблизи КТ1 для простых жидкостей хорошо согласуются с теоретическими результатами модели Изинга, полученными методом РГ. Но существуют и принципиальные отличия критической точки фазового перехода первого рода (КТ1) от критической точки фазового перехода второго рода (КТ).

Фазовый переход первого рода сопровождается выделением или поглощением скрытой теплоты. Даже вблизи КТ1 он не происходит мгновенно, время и кинетика фазового превращения определяется подведением или отводом тепла. По этой же причине существенную роль играет граница раздела фаз.

Термодинамика фазовых переходов I и II рода рассматривается с единой точки зрения. Из феноменологического потенциала выводятся уравнения состояния системы для определения критических точек, границ устойчивости фаз, уравнение кривой равновесного фазового перехода в случае фазового перехода I рода. Исходя из полученных решений, анализируется поведение системы вблизи критической точки, при этом достаточно ограничиться кубическим уравнением вблизи КТ1 или КТ. Используется подход, изложенный в классических работах Ландау, а также результаты метода, предложенного в работе [221].

Существенное значение имеет то обстоятельство, что термодинамический потенциал для ферромагнетика симметричен относительно изменения знака параметра г}, то есть намагниченности при изменении знака магнитного поля /г. Такое вырождение связано с дальним порядком ниже КТ. Для системы жидкость-газ такое вырождение имеет место только в КТ1.

При фазовом переходе первого рода изменяется ближний порядок (атомный фактор), дальний порядок может и не изменятся. При переходе жидкость-газ обе фазы не обладают дальним порядком. Последний имеет место в одной точке — КТ1, в которой флуктуации становятся бесконечными. В этом случае корреляционная длина —>¦ оо, так же как и в случае КТ в ферромагнетике. Этим, очевидно, можно объяснить применимость модели Изинга для вычисления критических индексов методом РГ в КТ1.

Рассматриваются конкретные модели: жидкость Ван-дер-Ваальса (ВдВ), ориентационные переходы в антиферромагнетике. Различие между жидкой и газообразной фазами более глубокое, чем между состояниями ферромагнетика с намагниченностями разных знаков. В работе анализируется различие в поведении между системами вблизи КТ1 и КТ.

Принципиальное отличие фазового перехода I рода от фазового перехода II рода проявляется при достаточной удаленности от КТ1, где вполне применима классическая теория. В этом случае для реализации фазового перехода необходимо подвести (или отвести) энергию к системе извне. Систему следует считать открытой, фазовый переход рассматривается с учетом кинетики.

Рассмотрен механизм кипения чистой жидкости с учетом перенапряжения по температуре, необходимого для образования устойчивых зародышей новой фазы. Динамика процесса зависит от соотношения между конкурирующими факторами, которыми являются: интенсивность подвода тепла, теплопроводность среды, критический размер зародышей. Численные расчеты показывают, что в зависимости от интенсивности подвода тепла возможны различные сценарии фазового превращения.

В ряде случаев приходится иметь дело с фазовыми переходами, которые определяются не изменениями температуры, а связаны с изменением других внешних параметров, когда температурные флуктуации не играют существенной роли. Примером такого перехода является изменение симметрии антиферромагнетика (опрокидывание магнитных моментов подрешеток) при изменении внешнего магнитного поля. Аналогичная ситуация имеет место, если рассматривать изменение субструктуры реальных кристаллов при деформационных процессах. Сюда следует отнести сложные особенности пространственной структуры жидких кристаллов, процессы в растворах и т. п.

Ориентационные переходы в двухосном антиферромагнетике при низких температурах рассматриваются как пример фазовых переходов для системы, характеризующейся несколькими параметрами симметрии (п-4).

Отмечена аналогия в поведении некоторых простых систем, имеющих одну или несколько степеней свободы с фазовыми переходами в системах многих частиц. Такие переходы в простых с точки зрения модельных представлений системах назовем «неправильными» фазовыми переходами.

Результаты, полученные для ограниченных систем, имеющих определенную структуру, нельзя непосредственно обобщить для объектов космического масштаба, тем более для вселенной, если даже в последнем случае иметь в виду только модельные представления. Тем не менее, пространство в общей теории относительности характеризуется определенной симметрией, в качестве параметра последней можно считать тензор кривизны. Представляется правомерной постановка задачи — выяснить возможность изменения кривизны пространства с точки зрения теории фазовых переходов и определить условия и характер такого превращения. Наиболее простым примером является изотропная модель расширяющейся вселенной, предложенная Фридманом, хорошо известная и подробно исследованная [233].

В этом случае параметр симметрии имеет размерность п — 1 — это скалярная кривизна пространства. В работе вводится параметр, который может изменяться непрерывно, включая отрицательные и положительные значения кривизны. Фазовый переход интерпретируется как изменение знака кривизны.

Показано, что переход связанный с изменением знака кривизны пространства, мог иметь место на ранней стадии развития вселенной, когда плотности излучения и вещества — величины одного порядка.

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, шести глав, выводов и трех приложений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ.

1. Результаты, полученные в первой главе, дают основания сделать следующие выводы о поведении критических флуктуаций в модели Изин-га.

В области | t модель сильно коррелированных субблоков исследуется для решетки Изинга при 3=2,3. Вычисление критической температуры, а также построение гамильтониана широкомасштабных флуктуаций, на основе которого вычислены верные значения критических индексов при 77=0, а= 0 является подтверждением выдвинутой гипотезы.

Флуктуации в коррелированной области разделяются на медленные, имеющие энергию много больше тепловой, и быстрые, имеющие энергию порядка тепловой. Время релаксаций флуктуаций определяется упругими взаимодействиями. Коррелированная область разбивается на субблоки, размеры которых определяются временем релаксации быстрых флуктуаций. Построен гамильтониан флуктуаций, в котором учтен вклад осциллирующей составляющей тепловых флуктуаций. Результаты можно обобщить на случай 2 .

Вычисление статистической суммы блоков при «со дает при сделанных выше приближениях точные результаты для критической температуры для 3=2. Точное решение модели Изинга для 3=2 дает значение коэффициента корреляции рп = 1 в КТ, такое же значение р2 = 1 получаем и в предложенной модели. Для 3=Ъ получено значение критической температуры, согласующееся с известными результатами. Эти результаты являются основанием для использования представления о сильно коррелированных субблоках.

Существенную роль играет размерность решетки. При 3—2 У = V, ?, 1- величина того же порядка, что и? размер сильно коррелированных блоков порядка При с≠3 у «х/2 у, ^ хотя и стремится к бесконечности в КТ, но является величиной меньшего порядка чем ¿-гпри ?/=4, У= 0 — представление о субблоках «вырождается», ^ является постоянной величиной.

В гауссовом приближении получены зависимости г0~| | для с≠ 2, У г0~| /1/3 для й=3 и только для ?/= 4 получили Го~| ^ | в соответствии с традиционными представлениями.

Принципиальное значение имеет форма Ну (1.4.28), которую можно было бы постулировать, если исходить из разбиения области корреляций на сильно коррелированные субблоки. Результаты, полученные на конкретной модели, дают уверенность, что предлагаемый метод рассмотрения задачи дает верные результаты. Очевидно, что вследствие применимости гамильтониана Гинзбурга-Ландау к широкому классу моделей полученные результаты будут верны и в общем случае, когда параметр порядка имеет размерность п.

Дополнительным аргументом, иллюстрирующим эффективность применения модели сильно коррелированных субблоков, является анализ простой модели, предложенной Бете. И в этом случае для ?=2 получено точное значение для Тс, а для ?/= 3 значение Тс близкое к точному.

2. Модель, основанная на разбиении крупномасштабных флуктуа-ций на сильно коррелированные субблоки, дает положительные результаты с точки зрения РГ. Для 2<^/<4 существует неподвижная устойчивая точка в параметрическом пространстве ¡-л (г0, щ, с, () при условии (2.6.1). Точка не является гауссовой даже при ?/=4. Р.

Малым параметром теории является величина — «1. С увеличени ем размер субблоков уменьшается, показатель У уменьшается: у}=у для а?=2, У — У для с1=3, 1/1=0 для ?/=4. ^ увеличивается с увеличением ?/0 отклонения исходного гамильтониана от гауссовой формы. Случаи ?/=2, с1=4 являются предельными: при ?/<2 а при с!>4 КТ становится гауссовой. Если ?/=2, то существуют жесткие ограничения на системы, имеющие КТ. Если с/=4, то при £—>со (¿-—"О) КТ асимптотически стремится к гауссовой. В любой сколь угодно малой окрестности этой точки £=1п~1£"1 критические индексы должны отличаться от гауссовых (они вычисляются по 8 приближению аналогично случаю с1=4-£).

Оценки критических индексов, полученных в достаточно грубом приближении методом РГ, хорошо согласуются с известными результатами. В первом порядке теории возмущения (г/ = 0) результаты вычисления критических индексов в точности совпадают с результатами приближения с1=4—£ традиционной РГ при 8=1. Во втором порядке теории возмущения значения порядка Г] = 0,03 значительно ближе к точным результатам г] = 0,041, чем результат приближения ?=4−8. Это обстоятельство может свидетельствовать о том, что в диаграммной технике вычислений в данной модели «хорошие» результаты получить проще, чем в ¿-'-разложении.

Существенно, что в рассматриваемой модели нет жесткого ограни* * чения на 17 0, тогда как в модели а=4—8 170 имеет конкретное значение.

Модель сильно коррелированных субблоков дает возможность не использовать искусственного, с физической точки зрения, представления об изменении размерности пространства за счет введения (71=4−8. Здесь интересна, конечно, не методологическая сторона вопроса — разработанные методы РГ достаточно убедительны и красивы с математической точки зрения, а то обстоятельство, что в предложенной модели нет необходимости применять разложение интегралов, возникающих в теории возмущения по е. Последнее упрощает технику вычислений. Приближения, сделанные при выводе трансформационных формул РГ, имеют не большее, но и не меньшее обоснование, чем известное приближение (2.3.39), принятое в РГ.

3. Модифицированный гамильтониан Гинзбурга-Ландау дает ряд в теории возмущений, в котором параметром разложения фактически является величина ~ кАс~с1. Так как в каждом следующем члене ряда в ре.

7 с1−4 зультате интегрирования появляется множитель порядка кс, то члены ряда имеют одинаковый порядок малости и его можно суммировать.

Критические показатели вычисляются технически просто для 2<б/<4. В важном для эксперимента случае для с1=Ъ значения критических показателей согласуются с известными экспериментальными и теоретическими результатами. В первом порядке теории возмущений значения /и у совпадают с результатами, полученными в приближении с1 = 4—8 для практически интересного случая 8=1. Для ?/=2 уже в первом порядке теории возмущения получены результаты, лучшие, чем при ¿-" -разложениипоследнее вряд ли применимо при 8=2.

Во втором порядке теории возмущения результаты для исследуемой модели существенно ближе к точным значениях, чем полученные модели в ¿-•-разложении. Для й=Ъ значения г] = 0,03, /=1,23, в то время как для случая с1 = 4−8 77 = 0,011, ^=1,185. Для 3=2, п= 1 результаты 77= 0,30, у= 1,70 хорошо согласуются с точными значениями критических индексов модели Изинга.

Результаты вычисления критических индексов показывают, что для их оценки во многих случаях, связанных с конкретными приложениями, при использовании модели сильно коррелированных субблоков можно ограничиться вторым порядком теории возмущений.

Хорошие результаты, полученные для данной модели, объясняются тем, что при вычислениях интегрирование проведено для реального пространства ?/=3, в то время как в приближении с1= 4−8 интегрирование ведется для с1= 4.

4. Критические динамические явления крайне сложны для исследования с точки зрения фундаментальных представленийздесь теория подобия дает возможность для более или менее системного подхода. Предложенная модель дает некоторые новые результаты при исследовании динамики вблизи КТ.

Анализ применения РГ для определения динамических критических индексов показывает, что результаты не так убедительны как при вычислении критических индексов, по меньшей мере, при использовании методики преобразования, предложенной в [1]. Из модельного гамильтониана флуктуаций, предложенного автором, получены, в общем, те же результаты, что и для традиционного гамильтониана Гинзбурга-Ландау [1−5]. Учет взаимодействующих мод в наиболее простой, но реализуемой в методе РГ форме показывает, что при этом возникают дополнительные ограничения на устойчивость критической точки РГ, в частности на размерность параметра п, например, на размерность п<2 в формуле (4.2.36). Вычисленные значения критического индекса функции формы 2 вполне согласуются с представлениями о характере поведения 2 вблизи КТ, но числовые значения имеют отличия от результатов других методом исследования. Значение 2=2,33 в соответствии с формулой (4.1.30) дает значение индекса теплопроводности 1, тогда как более вероятным было бы а" 1⁰, 6^-0,7.

Гидродинамическое приближение дает верные результаты даже в области КТ, где условия его применения нарушены. В условиях когда применима модель сильно коррелированных субблоков ситуация принципиально иная по сравнению со стандартной гидродинамикой. Вблизи КТ теплопроводность и вязкость резко возрастают, а температуропроводность стремится к нулю: флуктуации энтропии и давления становятся независимыми [33]. Для этого случая получены поправки к ширине пика Рэлея для уравнения Ландау-Плачека. Результаты согласуются с экспериментом, а также с теоретическими вычислениями в работах Хохберга, Гальперина и других авторов. Значения 2=3, в самой КТ интенсивность неупругого рассеяния остается постоянной.

Применение представлений исследуемой модели в уравнениях гидродинамики дают возможность сделать ряд выводов о характере возбуждений при учете взаимодействия мод. Кроме взаимодействия между звуковыми, тепловыми и вязкими модами могут оказаться существенными вблизи КТ и другие возбуждения релаксационного характера. Это вязкие моды вихревого и колебательного движения, дающие свой вклад в результирующий коэффициент поглощения. Релаксационные движения колебательного типа возникают в модели сильно коррелированных субблоков, которые можно рассматривать в этом случае как самостоятельные объекты.

5. Исходя из представлений о фазовых переходах теории Ландау, дан анализ поведения системы, характеризующейся двумя внешними и двумя внутренними параметрами вблизи КТ1. Особенностью подхода является формально одинаковая роль параметров, в соответствии с этим зависимость поведения внутренних параметров, играющих роль параметра симметрии (п=2) от внешних симметрично по отношению к последним. Получено уравнение состояния, которое можно применить для анализа фазовых переходов I и II родов для разных систем: ферромагнетика, переход жидкость-газ, антиферромагнетика и других. В большинстве случаев для определения характера фазового перехода, границ сосуществования двух фаз и кривой равновесного фазового перехода для фазового перехода I рода, исследования поведения вблизи КТ1 и КТ достаточно получить кубическое уравнение для одного из внутренних параметров.

Показано, что модифицированная модель Гинзбурга-Ландау применима в области критических точек, где для обычного гамильтониана флук-туаций не выполняется условие, налагаемое на критерий Гинзбурга. Получены формулы для границ области сосуществования двух фаз для фазового перехода I рода, кривой равновесного фазового перехода в форме, согласующейся с теорией подобия в гауссовом приближении. Кривая равновесного фазового перехода сохраняет свой вид, а кривые, определяющие область устойчивости фаз изменяются, по сравнению с результатами классической теории: формально в (5.2.10) следует сделать замену показателей степени ½—"2/3, чтобы получить формулы (5.2.26). Последнее обстоятельство связано с заменой значений критического индекса к Так же получаются и другие формулы заменой индексов: для /3 (½—>1/3), для 8 (3->5).

Критические индексы для КТ и КТ1 одинаковы для соответствующих условий. Но аналогия между КТ и КТ1 — формальная: фазовый переход II рода принципиально связан с изменением симметрии — в ферромагнитном состоянии существует дальний порядок, а в парамагнитном его нетпри фазовом переходе I рода параметр порядка в обеих фазах имеет конечное значение, он изменяется скачком. Например, для жидкости и газа вблизи КТ существует ближний порядок, но дальнего порядка нет. Ближний порядок изменяется скачком при фазовом переходе I рода. Дальний порядок возникает в КТ1 за счет того, что для флуктуаций «со.

Принципиальное отличие фазового перехода I рода от фазового перехода II рода проявляется при достаточной удаленности от КТ 1, где вполне применима классическая теория. В этом случае для реализации фазового перехода необходимо подвести (или отвести) энергию к системе извне.

Систему следует считать открытой, фазовый переход рассматривается с учетом кинетики.

Рассмотрен механизм кипения чистой жидкости с учетом перенапряжения по температуре, необходимого для образования устойчивых зародышей новой фазы. Динамика процесса зависит от соотношения между конкурирующими факторами, которыми являются: интенсивность подвода тепла, теплопроводность среды, критический размер зародышей. Численные расчеты показывают, что в зависимости от интенсивности подвода тепла возможны различные сценарии фазового превращения.

Ориентационные переходы в двухосном антиферромагнетике при низких температурах рассматриваются как пример фазовых переходов для системы, характеризующейся несколькими параметрами симметрии (п=4).

Если внешнее поле к направлено в «легкой» плоскости ХУ, то два фазовых перехода II рода исчезают в строгом смысле, но для углов у вблизи точек фазового перехода имеет место острый максимум магнитной восприимчивости — система «помнит» о состоянии, существующем для 1//=0. Фазовый переход I рода сохраняется для углов цг< щ. При 1//= щ, к=кк существует КТ1. Фазовый переход I рода вблизи КТ1 в антиферромагнетике в этом случае формально полностью аналогичен фазовому переходу в модели ВдВ.

При отклонении к от направления в «легкой» плоскости фазовый переход I рода сохраняется, но угол, определяющий КТ1 уменьшается. Если к направлено в «трудной» плоскости 2Х, то фазовый переход I рода исчезает. Точка у/=0, к=ки является особой точкой, в которой область фазового перехода I рода переходит в линию фазового перехода II рода, лежащую в плоскости 7Х (5.4.48). На этой кривой происходит фазовый переход.

II рода между состояниями: 1±, в котором векторы I || ОУ, т к и состоянием, в котором векторы т || к, а / лежит в плоскости 2Х.

В точке цмщ, к=кз (5.4.9) линия антиферромагнитного фазового перехода (/±) ^ (/ /) переходит в линии фазовых переходов антиферромагнетик^{ферромагнетик} для состояний (/±) при у/<�щ и (//) при уУ>у/ соответственно. Из примера ориентационных переходов в антиферромагнетике видно, что при фазовом переходе II рода изменяется тип симметриипри фазовом переходе I рода изменяются скачком значения параметров симметрии, но тип симметрии сохраняется.

6. Рассматривается применение теории фазовых переходов для решения экспериментальных задач. Исследованы два примера.

Модель начального этапа электрокристаллизации меди на индифферентных подложках.

Рост кристаллов при электрокристаллизации меди на индифферентных подложках начинается из трехмерных зародышей — кластеров, из которых на начальных этапах образуются островки роста, имеющие сферическую или полусферическую форму и некристаллическое строение. При достижении определенных размеров (для меди ~ 1 мкм) сферические островки приобретают огранку, и из них образуются микрокристаллы разнообразной формы. Если плотность тока мала, то из микрокристаллов возникают совершенные кристаллы и кристаллы с пятерной симметрией.

При описании кинетики электрокристаллизации нужно решать систему уравнений теплои массообмена, причем учитывать, что в определенный момент времени на подложке фактически образуется новый электрод, состоящий из дискретных участков осаждаемого материала. Начиная о с размеров ё>10 а кластеры превращаются в островки роста, к ним вполне применима известная теория теплои массопереноса в условиях фазового превращения.

При рассмотрении теплообмена используем квазиравновесное приближение, то есть считаем, что в островке роста устанавливается равновесное распределение температуры. Это справедливо, если характерное время теплообмена Тт много меньше Т) — времени, за которое температура зародыша изменится на величину АТ, существенную для теплообмена. При этом получим условие для минимального размера зародыша. Механизмы образования микрокристаллов, особенности их роста, направление развития дефектов структуры кристаллов закладываются, в основном, на узком участке падения температуры от максимальной до температуры кристаллизации бкр. На практике это означает, что появление кристаллов разной формы, дефектов в них определяется процессами, происходящими в островках роста, конкретно для меди. Варьируя параметры, характеризующие теплообмен, можно получить совершенные и дефектные кристаллы меди с ГЦК-решеткой, кристаллы с пятерной симметрией. Предлагаемая модель объясняет установленные экспериментальные факты и позволяет управлять процессом выращивания кристаллов.

Релаксация остаточных напряжений в упрочненных деталях под действием упругих колебаний Для понижения уровня остаточных напряжений можно использовать виброакустическое воздействие на деталь. Такой метод создания равномерного распределения напряжений сохраняет наклеп поверхности детали и имеет ряд преимуществ по сравнению с другими способами создания. В работе анализируются физические процессы, результатом которых является понижение уровня остаточных напряжений.

Эволюцию дефектной структуры можно описать в модели взаимодействующих дислокаций и дисклинаций. Уравнения динамики дислокаций и дисклинаций при отсутствии внешнего воздействия представим в виде уравнений типа Лотка-Вольтерра. Стационарная точка исходных уравнений является точкой установившейся дефектной структуры материала после обработки.

В случае внешнего воздействия уравнения следует видоизменить, добавив в их правые части слагаемые, отвечающие за это воздействие.

Можно проследить за эволюцией дефектов, численно решая систему уравнений динамики для дефектов кристаллической решетки. Результаты вычислений показывают, что можно подобрать параметры внешнего воздействия так чтобы система находилась вблизи критической точки. В этом случае «восприимчивость» системы резко возрастаетна практике это соответствует повышению эффективности воздействия виброобработки на распределение остаточных напряжений в детали.

7. Результаты, полученные для ограниченных систем, имеющих определенную структуру, нельзя непосредственно обобщить для объектов космического масштаба, тем более для вселенной, если даже в последнем случае иметь в виду только модельные представления. Тем не менее, пространство в общей теории относительности характеризуется определенной симметрией, в качестве параметра последней можно считать тензор кривизны. Представляется правомерной постановка задачи — выяснить возможность изменения кривизны пространства с точки зрения теории фазовых переходов и определить условия и характер такого превращения. Наиболее простым примером является изотропная модель расширяющейся вселенной, предложенная Фридманом, хорошо известная и подробно исследованная.

В этом случае параметр симметрии имеет размерность п= 1 — это скалярная кривизна пространства. В работе вводится параметр, который может изменяться непрерывно, включая отрицательные и положительные значения кривизны. Фазовый переход интерпретируется как изменение знака кривизны.

Показано, что переход >Ь, связанный с изменением знака кривизны пространства, мог иметь место на ранней стадии развития вселенной, когда плотности излучения и вещества — величины одного порядка. В классической физике мы имели бы фазовый переход первого рода. В области т^<�т<�Г5 сосуществуют оба состояния & и Ь, равновесный переход реализуется при т=тя~ ситуация аналогична переходу в системе жидкость-газ.

Логичным представляется сценарий, при котором пространство-время разбивается на «домены», то есть становится неоднородным в малых частях, но однородным в целомпри этом знак кривизны меняется. Дело в том, что полная энергия наблюдаемого пространства, размеры которого увеличиваются со скоростью с, не может измениться скачком при изменении кривизны. Следовательно, в точке т=ть появляются зародыши фазы Ь, одновременно несколько возрастает кривизна и плотность фазы 5. В дальнейшем в области Т^<�Т<�Т5 этот процесс развивается: пространство-время разбивается на области 5 и Ь, но так как фаза Ь расширяется быстрее за счет более быстрого течения времени, то в результате эволюции кривизна в целом уменьшается. «Домены», на которые разбилось пространство, расширяются неодинаково: размеры областей с 0 относительно увеличиваются по сравнению с областями 0. Таким образом, кривизна пространства уменьшается и, в принципе, может стать отрицательной. Принципиально важно, что не может быть достигнут момент времени, при котором расширение сменяется сжатием.