ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π» ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ, Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Ρ ΠΈ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡ ΠΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΈΠΉ ΠΠ΅ΡΠ³ΡΠΊΠΈΠΉ, ΠΆΠΈΠ²ΡΠΈΠΉ Π² 3 Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎ Π½.Ρ. ΠΠ½ ΠΆΠ΅ Π΄Π°Π» ΡΡΠΈΠΌ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠΌ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π», ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ (Π²Π΅Π΄Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»-ΡΠΎ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ!). Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ x2 — 2x — 3 = 0 Π½Π° x, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ x — 2 — 3/x = 0, ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΡΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: y = x — 2, y = 3/x. ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π Π°ΡΡΠ²Π΅Ρ, 2009
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΅ΡΠ΅ Π² Π΄ΡΠ΅Π²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π±ΡΠ»Π° Π²ΡΠ·Π²Π°Π½Π° ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ Π·Π΅ΠΌΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠΎΠ² ΠΈ Ρ Π·Π΅ΠΌΠ»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ°, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΠ΅ΠΌ Π°ΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠ½ΡΠ½Π΅ ΡΠΌΠ΅Π»ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 2000 Π»Π΅Ρ Π΄ΠΎ Π½.Ρ. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΠΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠ½ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ°Ρ , ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Ρ Ρ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΡΠ»ΠΈ Π²Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠ½ΡΠ½Π΅ Π΄ΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΠ²ΡΠΎΠΏΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΈ Π²ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ Π² «ΠΠ½ΠΈΠ³Π΅ Π°Π±Π°ΠΊΠ°», Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² 1202 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΡΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΠ΅ΠΎΠ½Π°ΡΠ΄ΠΎ Π€ΠΈΠ±ΠΎΠ½Π°ΡΡΠΈ. ΠΠ³ΠΎ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π»Π° ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΠΡΠ°Π»ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΠ΅ΡΠΌΠ°Π½ΠΈΠΈ, Π€ΡΠ°Π½ΡΠΈΠΈ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΡΠ°Π½Π°Ρ ΠΠ²ΡΠΎΠΏΡ.
ΠΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² b ΠΈ c Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π² ΠΠ²ΡΠΎΠΏΠ΅ Π»ΠΈΡΡ Π² 1544 Π³ΠΎΠ΄Ρ Π. Π¨ΡΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ.
Π 1591 Π³ΠΎΠ΄Ρ Π€ΡΠ°Π½ΡΡΠ° ΠΠΈΠ΅Ρ Π²Π²Π΅Π» ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Π Π΄ΡΠ΅Π²Π½Π΅ΠΌ ΠΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠ½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠΈΠΎΡΠ°Π½Ρ ΠΠ»Π΅ΠΊΡΠ°Π½Π΄ΡΠΈΠΉΡΠΊΠΈΠΉ ΠΈ ΠΠ²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄, ΠΠ»Ρ-Π₯ΠΎΡΠ΅Π·ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΠΌΠ°Ρ Π₯Π°ΠΉΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ°Π»ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ.
Π 7 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ = Π‘, Ρ = kx, Ρ = kx+m, Ρ = x2, Ρ = — x2, Π² 8 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ — Ρ = vx, Ρ =|x|, Ρ = ax2+bx+c, Ρ = k /x. Π ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ 9 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»Π° Π΅ΡΡ Π½Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ½Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: Ρ = x3, Ρ = x4, Ρ = x2n, Ρ = x-2n, Ρ = 3vx, (x - a)2 + (Ρ — b)2 = r2 ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ½Π΅ ΡΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΡΡ Π»ΠΈ Π΅ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ.
ΠΠΎΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
1. ΠΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π±ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ — ΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ², Π° ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ — ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ = kx + b, Π³Π΄Π΅ k ΠΈ b — Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Ρ = k/x, Π³Π΄Π΅ k 0. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ (x - a)2 + (Ρ — b)2 = r2, Π³Π΄Π΅ Π°, b ΠΈ r — Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° r Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² Ρ. Π (Π°, b).
ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = ax2 + bx + c Π³Π΄Π΅ Π°, b, Ρ — Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ Π° 0. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Π°.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ 2(a - x) = x2(a+ x). ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΡΡΡΠΎΡΠΎΠΈΠ΄ΠΎΠΉ.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (x2 + y2)2 = a (x2 — y2). ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»Π΅ΠΌΠ½ΠΈΡΠΊΠ°ΡΠΎΠΉ ΠΠ΅ΡΠ½ΡΠ»Π»ΠΈ.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π°ΡΡΡΠΎΠΈΠ΄ΠΎΠΉ.
ΠΡΠΈΠ²Π°Ρ (x2 y2 — 2 a x)2 =4 a2 (x2 + y2). ΠΡΠ° ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΄ΠΈΠΎΠΈΠ΄ΠΎΠΉ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: Ρ = x3 — ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Π°, Ρ = x4, Ρ = 1/x2.
2. ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π΅Π³ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ — Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ.
Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²ΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΡ Π½Π΅Ρ.
ΠΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ — ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ°ΡΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎ-Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ.
ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ «Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ» Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ, Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄Π²Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΠ±ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
3. ΠΠ»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠ½Π°Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ = f(x), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ = f (x+m), Ρ = f(x)+l ΠΈ Ρ = f (x+ m)+ l. ΠΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ = f(x) Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ°: Π½Π° Β¦mΒ¦ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π° Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ x ΠΈ Π½Π° Β¦lΒ¦ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π° Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ y.
4. ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Π°.
Π§ΡΠΎ Π·Π½Π°Π»ΠΈ ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Π΅ Π΄ΡΠ΅Π²Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ΅ΠΊΠΈ?
Π‘ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠΊΠ° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° Π² 16 Π²Π΅ΠΊΠ΅.
Π£ Π΄ΡΠ΅Π²Π½Π΅Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² Π½ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°, Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ. ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π°Π½ΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, — Π²Π΅Π΄Ρ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΆΠΈ ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠ΅ΠΉ.
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π» ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ, Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Ρ ΠΈ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡ ΠΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΈΠΉ ΠΠ΅ΡΠ³ΡΠΊΠΈΠΉ, ΠΆΠΈΠ²ΡΠΈΠΉ Π² 3 Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎ Π½.Ρ. ΠΠ½ ΠΆΠ΅ Π΄Π°Π» ΡΡΠΈΠΌ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΠΌ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π», ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ (Π²Π΅Π΄Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»-ΡΠΎ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ!).
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ:
β’ ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ, Π (Ρ 0; Ρ0): Ρ 0 =-b/2a;
β’ y0=Π°Ρ ΠΎ2+Π²Ρ 0+Ρ;
β’ ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΡΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ (ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ Ρ =Ρ 0);
β’ Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ;
β’ Π‘ΡΡΠΎΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈΠΌ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ.
1. ΠΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ y = x2 — 2x — 3. ΠΠ±ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΡΡΡ x ΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ x2 — 2x — 3 = 0.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
2. Π Π°Π·ΠΎΠ±ΡΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: y=x2 ΠΈ y= 2x + 3. ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ — Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ.
3. Π Π°Π·ΠΎΠ±ΡΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: y=x2 -3 ΠΈ y =2x. ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ — Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ.
4. ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x2 — 2x — 3 = 0 ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: y= (x -1)2 ΠΈ y=4. ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ — Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ.
5. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ x2 — 2x — 3 = 0 Π½Π° x, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ x — 2 — 3/x = 0, ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΡΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: y = x — 2, y = 3/x. ΠΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ — Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»Ρ.
5. ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x5 = 3 — 2x.
ΠΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: y = x5, y = 3 — 2x.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: x = 1.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3vx = 10 — x.
ΠΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: y = 3vx, y = 10 — x.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: x = 8.
ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π² Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: Ρ = ax2+bx+c, Ρ = k /x, Ρ = vx, Ρ =|x|, Ρ = x3, Ρ = x4, Ρ = 3vx, Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠ»Π°, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΡΠΎΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ΅ΠΉ x ΠΈ y.
ΠΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Ρ, ΡΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n.
ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΡΠ°ΡΠΈΠ²Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½Ρ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π΄Π°ΡΡ ΡΡΠΎΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ Π³Π°ΡΠ°Π½ΡΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ±ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡΠ½Π½ΡΠΌΠΈ.
Π 9 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ ΠΈ Π² ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ Ρ Π±ΡΠ΄Ρ Π΅ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΡΡΡ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠ½Π΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ: ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ Π»ΠΈ ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ².
ΠΠ° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π³ΠΎΠ΄ ΠΌΠ½Π΅ Ρ ΠΎΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ².
1. ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°. 7 ΠΊΠ»Π°ΡΡ. Π§. 1. Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ/ Π. Π. ΠΠΎΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ. Π.: ΠΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ·ΠΈΠ½Π°, 2007.
2. ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°. 8 ΠΊΠ»Π°ΡΡ. Π§. 1. Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ/ Π. Π. ΠΠΎΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ. Π.: ΠΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ·ΠΈΠ½Π°, 2007.
3. ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°. 9 ΠΊΠ»Π°ΡΡ. Π§. 1. Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ/ Π. Π. ΠΠΎΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ. Π.: ΠΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ·ΠΈΠ½Π°, 2007.
4. ΠΠ»Π΅ΠΉΠ·Π΅Ρ Π. Π. ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π² ΡΠΊΠΎΠ»Π΅. VII-VIII ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ. — Π.: ΠΡΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, 1982.
5. ΠΡΡΠ½Π°Π» ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° № 5 2009; № 8 2007; № 23 2008.
6. ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°ΠΉΡΡ Π² ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ½Π΅ΡΠ΅: Π’ΠΎΠ» ΠΠΠΠ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3−6.htm.