Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом Ритца

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

" ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

(ФГБОУ ВПО «ВГТУ», ВГТУ) Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования ЗАДАНИЕ на курсовую работу по дисциплине «Спецглавы математики»

Тема: «Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом Ритца»

Студент группы КП-121

Животенко Николай Владимирович

Содержание расчётно-пояснительной записки

1. Рассмотреть основные понятия и термины вариационного исчисления.

2. Решить краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом Ритца. Построить графики и составить таблицы сходимости и точности решения.

Сроки выполнения этапов _______________________

Срок защиты курсовой работы _______________________

Руководитель ______________________ C.А. Кострюков Задание принял студент ______________________ Н. В. Животенко Замечания руководителя:

• Введение
• 1. Вариационное исчисление
• 1.1 Понятие функционала
• 1.2 Задачи, приводящие к экстремуму функционала
• 1.3 Первая вариация функционала
• 1.4 Необходимое условие минимума функционала
• 1.5 Уравнение Эйлера. Связь между вариационной и краевой задачами
• 1.6 Пути решения вариационных задач
• 2. Прямые методы вариационного исчисления
• 2.1 Метод Ритца
• 2.2 Практическое применение метода Ритца для решения вариационных задач
• 2.2.1 Решение краевой задачи Дирихле (1-го рода)
• 2.2.2 Решение краевой задачи Неймана (2-го рода)
• 2.2.3 Решение смешанной краевой задачи (3-го рода)
• Заключение
• Список используемой литературы
• Приложения

Вариационное исчисление — математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов — переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций. Вариационное исчисление является естественным развитием той главы математического анализа, которая посвящена задаче отыскания экстремумов функций. Возникновение и развитие вариационного исчисления тесно связано с задачами механики, физики и других технических наук.

Ещё в античные времена появились первые вариационные проблемы, относящиеся к категории изопериметрических задач — например, задача Дидоны. Первый вариационный принцип сформулировал для траекторий отражённых световых лучей Герон Александрийский в работе «Катоптрика» (I век н.э.). В средневековой Европе изопериметрическими задачами занимались И. Сакробоско (XIII век) и Т. Брадвардин (XIV век). После разработки анализа появились новые типы вариационных задач, в основном механического характера. Ньютон в «Математических началах натуральной философии» (1687) решает задачу: найти форму тела вращения, обеспечивающую наименьшее сопротивление при движении в газе или жидкости (при заданных размерах). Важной исторической задачей, давшей толчок к развитию современного варианта вариационного исчисления, стала задача о брахистохроне (1696). Её быстрое решение сразу несколькими математиками показало огромные возможности новых методов. Среди других задач стоит отметить определение формы цепной линии (то есть формы равновесия тяжёлой однородной нити, 1690 год). Общих методов решения вариационных задач в этот период ещё не существовало, каждая задача решалась с помощью остроумных (и не всегда безупречных) геометрических рассуждений.

дифференциальное уравнение функционал вариационный Решающий вклад в развитие вариационного исчисления внесли Леонард Эйлер и Жозеф Лагранж. Эйлеру принадлежит первое систематическое изложение вариационного исчисления и сам термин (1766 год). Лагранж независимо получил (с 1755 года) многие основополагающие результаты и ввёл понятие вариации. На этом этапе были выведены уравнения Эйлера — Лагранжа.

Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики. Например, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические линии и минимальные поверхности. В физике вариационный метод — одно из мощнейших орудий получения уравнений движения, как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике.

1. Вариационное исчисление

1.1 Понятие функционала

В курсе высшей математики вводилось понятие функции. Если некоторому числу из области ставится в соответствие по определенному правилу или закону число, то говорят, что задана функция. Область называют областью определения функции .

Если же функции ставится в соответствие по определенному правилу или закону число, то говорят, что задан функционал. Примером функционала может быть определенный интеграл от функции или от некоторого выражения, зависящего от,

Если теперь функцииставится в соответствие по определенному правилу или закону вновь функция, то говорят, что задан оператор или. Примерами дифференциальных операторов могут служить:

Дадим более строгое определение функционала. Пусть — множество элементов произвольной природы, и пусть каждому элементу приведено в соответствие одно и только одно число. В этом случае говорят, что на множестве задан функционал. Множество называется областью определения функционала и обозначается через; число называется значением функционала на элементе. Функционал называется вещественным, если все его значения вещественны. Функционал называется линейным, если его область определения есть линейное множество и если

1.2 Задачи, приводящие к экстремуму функционала

Зарождение вариационного исчисления относят обычно к 1696 г., когда И. Бернулли поставил так называемую задачу о брахистохроне: определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по которой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из верхнего положения в нижнее положение за минимум времени (см. рисунок 1). Эта задача сводится к отысканию исходной функции — брахистохроны.

Рисунок 1 — Задача о брахистохроне

Пусть уравнение кривой есть. Рассмотрим некоторый момент времени, и пусть в этот момент движущаяся точка находится на расстоянии от оси. Тогда, где — скорость движущейся точки, — ускорение свободного падения. В то же время:

Отсюда следует, что

Обозначим через время, в течение которого материальная точка достигает точки. Интегрируя, находим

Задача сводится к следующему: надо найти функцию, удовлетворяющую условию и сообщающую интегралу наименьшее значение. Условия означают, что искомая кривая должна проходить через заданные точки и. Такого типа условия принято называть граничными, или краевыми, так как они относятся к концам промежутка, на котором должна быть определена искомая функция.

Данная задача относится к ветви математического анализа, называемой вариационным исчислением. Примером применения кривой в виде брахистохроны служит образующая цилиндрических поверхностей, используемых на детских площадках, в аттракционах для спуска с возвышения, на трамплинах.

1.3 Первая вариация функционала

Задача вариационного исчисления состоит в следующем: дан функционал с областью определения; требуется найти элемент, сообщающий функционалу либо минимальное значение, либо максимальное. Задача о максимуме функционала тождественна с задачей о минимуме функционала .

Будем рассматривать функционал. Возьмем произвольный элементи произвольный элемент. Обозначим через произвольное вещественное число. Нетрудно видеть, что элемент. Составим выражение. Данное выражение есть непрерывно дифференцируемая функция от. Вычислим ее производную и возьмем значение этой производной при

В результате получим число, которое можно рассматривать как значение функционала, зависящего от двух элементов и .

Функционал

называется первой вариацией функционала на элементе и обозначается символом:

При этом разность двух функцийи называют вариацией функции u и обозначают .

1.4 Необходимое условие минимума функционала

Пусть функционал достигает на некотором элементе относительного минимума. Возьмем произвольный элемент и произвольное вещественное число. По определению относительного минимума при достаточно малых значениях

Это неравенство означает, что функция одной вещественной переменной, равная, имеет при относительный минимум. Но тогда необходимо .

Если функционал в некоторой точке достигает минимума, то в этой точке первая вариация функционала равна нулю. В этом заключается необходимое условие экстремума функционала.

1.5 Уравнение Эйлера. Связь между вариационной и краевой задачами

Рассмотрим основную лемму вариационного исчисления (Лемма Лагранжа):

Пусть) — функция, непрерывная в области с контуром Г. Если непрерывной в области вместе со своими частными производными до n-го порядка включительно и обращающейся в нуль на границе Г то .

Для примера, рассмотренного в главе 1.4, было получено в точке минимума функционала условие:

Из леммы Лагранжа, можем записать

Уравнениеназывают уравнением Эйлера. Если предположить существование непрерывной второй производной от то уравнение можно записать в виде:

Таким образом, условие минимума функционала при краевых условиях приводит к краевой задаче для уравнения Эйлера при тех же краевых условиях, т. е. существует тесная связь между вариационной задачей о минимуме функционала и краевой задачей для уравнения Эйлера для этого функционала.

Решения уравнения Эйлера, удовлетворяющие краевым условиям, называют экстремалями функционала.

1.6 Пути решения вариационных задач

Один из путей решения вариационной задачи, т. е. задачи нахождения минимума некоторого функционалапри заданных краевых условиях, состоит в сведении этой задачи к краевой задаче для дифференциального уравнения при тех же краевых условиях, которое является уравнением Эйлера для этого функционала, с последующим решением этой задачи.

Второй путь решения вариационной задачи состоит в применении прямых методов, которые позволяют приближенно найти функцию, дающую минимум функционалуи удовлетворяющую заданным краевым условиям.

2. Прямые методы вариационного исчисления

Основным вопросом, возникающим в связи с любой вариационной проблемой, является вопрос о существовании решения. Классические методы вариационного исчисления приводят этот вопрос в первую очередь к вопросу о существовании решения дифференциального уравнения. При этом ищется решение не в окрестности какой-либо точки, а во всей области? при определённых краевых условиях (решение в целом). Доказательство существования таких решений теория дифференциальных уравнений даёт лишь в редких случаях. Это обстоятельство заставило искать другие подходы к вариационным проблемам и привело к созданию так называемых прямых методов.

Прямые методы вариационного исчисления оказались полезными и для теории дифференциальных уравнений. Действительно, если некоторое дифференциальное уравнение можно рассматривать, как уравнение Эйлера для некоторого функционала и если каким-то приёмом установлено, что этот функционал имеет экстремум в классе достаточное число раз дифференцируемых функций, то тем самым доказано, что исходное дифференциальное уравнение имеет решение в целом при рассматриваемых краевых условиях.

Так как прямой метод состоит в построении последовательности функций, сходящейся к искомой функции, то с помощью прямого метода не только устанавливается существование решения в целом, но и даётся некоторый способ для приближённого построения этого решения.

2.1 Метод Ритца

Одним из важнейших практических методов для построения минимизирующих последовательностей является метод, предложенный в 1908 году Вальтером Ритца. Состоит он в следующем.

Вычисляется n-ое приближение к минимизируемойфункции в виде

то есть значения функционаларассматривается не на произвольных допустимых кривых данной вариационной задачи, а лишь на всевозможных линейных комбинациях с постоянными коэффициентами, составленных из n первых функций некоторой выбранной последовательности функций

Данные функции часто называют координатными или базисными.

На линейных комбинациях функционалпревращается в функцию коэффициентов. Эти коэффициенты выбираются так, чтобы функция достигала экстремума; следовательно, должны быть определены из условий стационарности, то есть из системы

Получающаяся в результате последовательность функций сходится к минимуму по функционалу. Заканчивая процесс вычислений, получают значение, приближённо равное глобальному минимуму (при этом сама функция может сильно отличаться от оптимальной).

На практике последовательностьобычно строят с помощью системы многочленов или системы тригонометрических функций. Обе системы являются полными в пространстве непрерывных функций.

2.2 Практическое применение метода Ритца для решения вариационных задач

Имеем линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Граничные условия, которого:

a)

b)

Решая исходное линейное дифференциальное уравнение

Получим общее решение дифференциального уравнения в виде:

Пользуясь граничными условиями составим системы уравнений из которых определим неизвестные коэффициенты и составим таблицу 3.

Таблица 3 — Таблица коэффициентов

Исходные функции принимают вид Данные кривые будут единственными кривыми возможного экстремума функционала с данными граничными условиями (см. приложение А).

2.2.1 Решение краевой задачи Дирихле (1-го рода)

Данную задачу также называют — простейшей вариационной задачей. В задаче требуется найти функцию, доставляющую экстремум функционалу

при условиях .

Если граничные условия однородны, т. е., то проще всего в качестве базисных функций выбрать функции, удовлетворяющие этим условиям:, Например:

где — какие-нибудь непрерывные функции. Очевидно, что при этом и аппроксимация

при любых будет удовлетворять граничным условиям.

Если условия неоднородны, например, где хотя бы одно из чисел или отлично от нуля, то решение вариационной задачи нужно искать в виде

причем удовлетворяет заданным граничным условиям .

2.2.2 Решение краевой задачи Неймана (2-го рода)

Имеем линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Граничные условия, которого:

Исходная задача эквивалентна нахождению функции, удовлетворяющей граничным (краевым) условиям и минимизирующую функционал.

где — заданная функция, имеющая непрерывные производные по и .

Для граничных условий задача эквивалентна частному случаю краевой задачи Неймана (2-го рода). Общий вид которой:

Условия экстремума:

и граничные условия

Для того чтобы функционал достигал на функции экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера и условиям трансверсальности. Функция, которую в дальнейшем необходимо будет подставить в функционал, должна иметь вид

Проверим, удовлетворяет ли функция уравнению Эйлера и условиям трансверсальности:

Запишем исходную задачу в вариационной формулировке:

Имеем одну фиксированную точку, а другую — подвижную. Для первой должно выполняться условие, а для второй точки — условие как условие трансверсальности.

Последнее будет выполняться автоматически, реализуя условия минимума функционала. Поэтому в соответствии с

в данном случае, а в качестве — любые линейно независимые функции, равные нулю при .

Положим

Подставим функцию в функционал интегрируя, получим функцию, зависящую от неизвестных коэффициентов, но уже не зависящую от

Решим задачу минимизации функции трех переменных для

Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными

Решая данную систему, мы находим неизвестные коэффициенты

Таким образом, приближенное решение данной задачи имеет вид (см. приложение Б)

Процесс сходимости и точность решения отражены в таблице 2.

Таблица 2

2.2.3 Решение смешанной краевой задачи (3-го рода)

Имеем линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Граничные условия, которого:

Исходная задача эквивалентна нахождению функции, удовлетворяющей граничным (краевым) условиям и минимизирующую функционал.

где — заданная функция, имеющая непрерывные производные по и .

Для граничных условий задача эквивалентна частному случаю смешанной краевой задачи (3-го рода). Общий вид которой

Условия экстремума:

и граничные условия

Для того чтобы функционал достигал на функции экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера и условиям трансверсальности. Функция, которую в дальнейшем необходимо будет подставить в функционал, должна иметь вид

Проверим, удовлетворяет ли функция уравнению Эйлера и условиям трансверсальности:

Запишем исходную задачу в вариационной формулировке:

Имеем одну фиксированную точку, а другую — подвижную. Для первой должно выполняться условие, а для второй точки — условие как условие трансверсальности. Последнее будет выполняться автоматически, реализуя условия минимума функционала. Поэтому в соответствии с

в данном случае, а в качестве — любые линейно независимые функции, так же равные нулю при .

Положим

Подставим функцию в функционал интегрируя, получим функцию, зависящую от неизвестных коэффициентов, но уже не зависящую от

Решим задачу минимизации функции трех переменных для

Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными

Решая данную систему, мы находим неизвестные коэффициенты

Таким образом, приближенное решение данной задачи имеет вид (см. приложение В)

Процесс сходимости и точность решения отражены в таблице 3.

Таблица 3

Заключение

Современному инженеру часто приходится иметь дело с задачами, которые требуют от него хорошей математической подготовки и твердых навыков в применении разнообразных математических методов. Расширение математического кругозора инженеров немало способствует новым достижениям техники.

В данной курсовой работе мною было изучено вариационное исчисление — одно из наиболее важных для приложений разделов классического математического анализа. Так же был рассмотрен один из прямых методов решения вариационных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Ритца). Вариационное исчисление является быстро развивающимся разделом математического анализа, охватить который с достаточной полнотой в курсовой работе небольшого объема невозможно. Данному разделу математического анализа посвящено большое количество книг.

Список используемой литературы

1. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Эльсгольц Л. Э. — М.: Наука, 1969.

2. Канторович Л. В. Вариационное исчисление / Канторович Л. В., Крылов В. И., Смирнов В. И. — М.: Кубуч, 1933.

3. Гельфанд И. М. Вариационное исчисление /Гельфанд И.М., Фомин С. В. — М.: Наука. 1961.

4. Кострюков С. А. Основы вариационного исчисления / Кострюков С. А., Пешков В. В., Шунин Г. Е. — учеб. пособие. В.: ВГТУ, 2011.

5. Краснов М. Л. Вариационное исчисление, задачи и упражнения /Краснов М.Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И. — М.: Наука, 1973.

Электронные образовательные ресурсы

1. http://www.exponenta.ru/

2. http://www.wolframalpha.com/

3. http://twt. mpei. ac.ru/ochkov/VPU_Book_New/mas/

Приложения

Приложение А

График функции

График функции

Приложение Б

Приложение В