Об арифметических свойствах значений аналитических функций некоторых классов

0.1 Обозначения и определения.

Пусть N, Z+, Z, Q, I и С — соответственно множество натуральных чисел, множество неотрицательных целых чисел, кольцо целых чисел и поля рациональных, действительных и комплексных чисел.

Пусть II — поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле, К — алгебраическое числовое поле конечной степени, Zк ~ кольцо целых чисел в поле К.

Высотой многочлена называется максимум модулей его коэффициентов, а длиной — сумма модулей его коэффициентов.

Для алгебраического числа aGK через |а| будем обозначать максимум модулей чисел, сопряженных числу, а в поле К.

Высотой h (a), длиной 1(a) и степенью dega алгебраического числа, а называются соответственно высота, длина и степень его канонического многочлена.

Назовем обобщенной длиной многочлена.

A (xh ., xs)= ah,., ksxki ¦ •" xss € i, • • •, xs] k j величину.

Ь (А (хъ., х3))= Y^ Къ-aJ, а обобщенной высотой — величину.

А{хъ., xs)| = max |afci,., fcj .

Через ord f (z) будем обозначать порядок нуля функции f (z) при z = 0, а через deg Р — степень многочлена Р.

Записи [/"У и[/"У (U € С, У > 0) будут обозначать, что U < CV и U > C2V с положительными постоянными С и С2, а запись U х V — одновременное выполнение этих неравенств.

0.2 Предшествующие исследования.

В 1929;1934 годах сформировались основные методы теории трансцендентных чисел. В 1929 году К. Зигель [43] опубликовал аналитический метод, позволяющий устанавливать алгебраическую независимость и трансцендентность значений в алгебраических точках функций некоторого класса, названного им Е-функциями.

Определение 1. Пусть К. — алгебраическое числовое поле конечной степени. Функция zv f (z) = ^2av-7> а^еК, i/=0 называется Е-функцией, если при любом е > О выполняются следующие условия.

1) KI = 0(0;

2) существует последовательность {<2Vi} натуральных чисел таких, что qnau е Zк, п = О, 1,., v = 0, п, и qn = 0(пеп).

Множество Е-функций является кольцом. Производная Е-функции — Е-функция.

В частности, К. Зигель доказал, что при некоторых естественных условиях значения в отличной от нуля алгебраической точке функции.

Г —IT.

М = Е,(Л + 1).-(А + ,) (2) ' AeQ, A^-l, -2. и ее производной алгебраически независимы.

Пусть совокупность Е-функций fi (z),., fs (z) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений s у’г = Qio (z) + Qij (z)yji i = МQiM € 1ВД. (l) з=1.

Примеры Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям: многочлен с алгебраическими коэффициентами, sinz, cos z, функция Бесселя Jq{z).

Заметим, что можно требовать, чтобы Qij (z) G C (z), а затем уже доказывать, что Qij{z)? K (z). Аналогично, алгебраическая независимость Е-функций над полем С (я) эквивалентна их алгебраической независимости над (см. [51] стр. 153, 154.).

В книге [44] К. Зигель в общей форме установил некоторое достаточное условие алгебраической независимости значений Е-функций в алгебраических точках. Результаты Зигеля опубликованы также в книге [13].

А.Б.Шидловский существенно усилил метод Зигеля. Он установил следующий критерий алгебраической независимости значений Е-функций.

Теорема I. ([48], [Щ, [51] стр. 153, [52J стр. 91). Пусть совокупность Е-функций.

2) составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (1), а — алгебраическое число, отличное от нуля и от полюсов всех функций Qij (z).

Тогда для алгебраической независимости значений функций.

ЛИ,., ли (3) необходима и достаточна алгебраическая независимость функций.

2) над полем С (-г).

Этот результат был распространен на случай алгебраически зависимых Е-функций.

Теорема II. ([50], [52] стр. ЦЗ-Ц4) — Пусть совокупность Е-функций fi{z),., fs (z) и число, а удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда количество алгебраически независимых чисел в наборе.

3) равно количеству алгебраически независимых nad€.(z) функций в наборе (2).

Бывает удобно считать систему (1) однородной — в противном случае ее можно дополнить функцией, тождественно равной 1. Поэтому можно считать, что система имеет вид s у’г = Qij^Vh i = М, Qij (z) е K (z). (4).

3=1.

Метод Зигеля-Шидловского позволяет также получать количественные результаты. В статье К. Зигеля [43] получена оценка многочлена от значений функции Бесселя Jq (z) и ее производной в алгебраической точке а. ^ О.

P (J0(a), J")| > СЯ" 123², 0 ф Р (х, у) е Z[x, у], х = dega, где d и Н — соответственно степень и высота многочлена Р, а С — С (а, d) >0.

С.Ленг получил следующий результат.

Теорема III. [22]. Пусть Е-функции fi (z),., fs (z) алгебраически независимы над K (-z) и составляют решение системы (4) — ol — алгебраическое число, отличное от нуля и от полюсов коэффициентов системы. Тогда для любого многочлена.

0 ф Р (х 1, ., хв) е Щхг, ., xs] степени d и высоты Н справедлива оценка.

P (/i (a),., fs (a))> CH~bd С{а, d) > 0, где постоянная Ь зависит только от s и степени числа а.

Введем следующие обозначения. Для аналитических функций оо v—0 многочлена Р (хi,., xv) € К[жх,., a-v] и числа a? К обозначим через значения многочленов, полученных заменой коэффициентов многочлена Р (х,., xv), всех чисел а^ и числа, а на соответствующие сопряженные им числа в поле К.

А.Б.Шидловский доказал следующую теорему.

Теорема IV. ([52] глава 11, § 2). Пусть I — поле рациональных чисел или мнимое квадратичное полесовокупность Е-функций fi (z)., fs (z) с коэффициентами из алгебраического числового поля Ж степени к над полем I составляет решение системы дифференциальных уравнений (4) и линейно независима над полем С (^), число а? К отлично от нуля и от полюсов всех рациональных функций Qij (z). Пусть далее.

L (xi,., xs) = hX Н——+ hsxs, hj € 1<к> H — maxhj > 0. з.

Тогда при любом? > 0 выполняется неравенство maxL^(f1(a):.Js (a))>CH1-s~? (5).

7=1, >С с постоянной С > 0, зависящей только от е, а и функций fl (z).Js (z).

Рассмотрим далее Е-функции, в которых на коэффициенты и на их общие знаменатели введены более сильные ограничения по сравнению с определением 1.

Определение 2. Будем говорить, что функция.

00 J, Z i/=0 является Е-функцией в узком смысле, если выполняются следующие условия.

1) Rf = e°M;

2) существует последовательность {qn} натуральных чисел таких, что qnav G 'Lki n = 0, l,., ^ = О, п, и дь = е°<">.

Все известные Е-функции, составляющие решения систем линейных дифференциальных уравнений типа (1), являются Е-функциями в узком смысле. Для таких Е-функций число? в оценке (5) можно заменить на величину порядка О (.) .

Vvln In Н J.

Приведем один частный случай соответствующей теоремы.

Теорема V. ([52] стр. J^ll). Пусть совокупность Е-функций в узком смысле fi (z),., fs (z) с коэффициентами из поля II составляет решение системы линейных дифференциальных уравнений (4) и линейно независима над полем C (z). Число, а? I отлично от нуля и от полюсов коэффициентов системы.

Тогда для любых чисел hj? Zj при Н > maxj hj > 0. II > 3. справедливо неравенство h1f1(a) + —- + hsfs{a)> Н1 3 г/ьья, (6) где постоянная j не зависит от Н.

С помощью принципа Дирихле легко установить, что оценка (6) 7 может быть улучшена только за счет величины =.

V In In Н.

В статье [43] К. Зигель указал также, что его метод применим для исследования арифметических свойств значений некоторых функций, ряды Тейлора которых имеют конечный радиус сходимости. Эти функции К. Зигель назвал G-функциями.

Определение 3. Функция оо f (z) =^z avzv' а" 6 к' и=0 называется G-функцией, если выполняются следующие условия.

1) Ы = е°<" >;

2) существует последовательность {#п} натуральных чисел таких, что qnav € Zft-, n = 0, l,.- v = 0, n, и.

Чп = е°(«>.

Множество G-функций, как и множество Е-функций, образует кольцо, производная G-функции — G-функция. Примеры G-функций: ln (l + z), (1 + z) re Q.

В статьях М. С. Нурмагомедова [37] и [38] сделаны первые попытки применить метод К. Зигеля для исследования арифметических свойств значений G-функций в алгебраических точках. В частности, установлено, что, если fi (z),., fs (z) — совокупность G-функций, алгебраически независимых над полем C (z) и удовлетворяющих системе линейных дифференциальных уравнений (1), а ф 0 — алгебраическое число, q, N, Н натуральные числа, q>q0{HtN, aJ1{z)i.Ja (z))i (7).

Oi, а число — отлично от полюсов всех функций Qij (z), то числа Q. не связаны никаким нетривиальным алгебраическим уравнением степени, не превосходящей N, с целыми коэффициентами, по модулю, не превосходящими Н.

Поскольку число до зависит от Н, то из теоремы М.С.Нурмагоме-дова не следует иррациональность значений G-функций.

В методе доказательства «малость» линейных форм может быть достигнута, по-видимому, только за счет «малости» значений аргумента. Поэтому приходится предполагать, что число — достаточно Q мало.

Рассмотрим общую гипергеометрическую функцию.

Е’ГЛ^'Г'^М^- '="-«>0. (8) [bi + 1, v] ¦ ¦ ¦ [bv + 1, v где [Л + 1, и] = (Л + 1) ¦ • • (Л + г/), [Л + 1, 0] = 1, а все числа bj ф -1, —2,—;

К.Зигель [44] доказал, что, если все параметры а{, bj — рациональные числа, то функция (8) является Е-функцией и удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами — рациональными функциями. Доказательство этого утверждения можно найти также в книгах [51] на стр. 192−196 или [52] на стр. 184−188. К. Зигель ([44] стр. 58) предположил что любая Е-функция, удовлетворяющая линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами из C (z), может быть представлена в виде многочлена с алгебраическими коэффициентами от функций вида (8) с возможными заменами z на XjZ с алгебраическими значениями Aj и рациональными параметрами bj. К настоящему времени эта гипотеза не доказана и не опровергнута.

Был неясен даже вопрос, является ли Е-функцией функция (8) с алгебраическими параметрами. В. Г. Спринджук [45] доказал, что, если Л — квадратитичная иррациональность, то функция не является Е-функцией. Затем он распространил этот результат на случай, когда Л — такое алгебраическое иррациональное число, что Q (A) — поле Галуа и доказал следующее утверждение.

Теорема VI. ([46]). Пусть, А — алгебраическое число иЖ = Q (A) — нормальное расширение поля Q, х = [Ж: Q] > 1. Тогда наименьшее натуральное число Qn, для которого.

Til.

Qn м, -, 4-тт—-—r^Z*-, А 7^-1, -2,.,.

А + 1) • • • (А + п) возрастает не медленнее, чем (п!) .

Заметим, что функция п (,^Mai +1″ И •' • К +1, И ^ hА 1 о + + ' (10) при рациональных параметрах щ, bj является G-функцией.

В методе Зигеля-Шидловского применяются некоторые построения, использующие принцип Дирихле. Однако со времени классических работ Ш. Эрмита и Ф. Линдемана применялись и явные конструкции, не использующие принцип Дирихле. Если удавалось провести такие построения, то обычно получались более сильные результаты.

В 1932 году К. Малер [26] доказал, что, для любого ненулевого многочлена Рт (х) с целыми коэффициентами по модулю не превосходящими Н выполняется неравенство.

7 то2 ln (m+l).

Pm (e)| > Н-т~ in in н, т = deg Р, Н > Я0(га), где 7 — абсолютная постоянная. Доказательство основывается на явном построении многочлена.

О фР{х, y) eZ[x, у], deg х Р < n, degy Р ^ т) такого, что функция P (z, ez) имеет максимально возможный порядок нуля в точке z = О (так называемая задача аппроксимации типа Паде).

Основные идеи этого метода использовались многими авторами, в частности, Н. И. Фельдманом [11] для значений функции (9).

Рассмотрим функцию оо.

— 1 1 + г" (Ц д (х)), д{х) = дтхт + gm-lXm~x + - • • + д0.

П) l/=l VE=1.

Функция ijj (z) является решением дифференциального уравнения d д (5)у = zy + д (0), 5 = zz.

12).

Заметим, что функция ф (гт) с дт = 1 — частный случай функции (8). Если все корни многочлена д (х) — рациональные числа, то она является Е-функцией.

Ч. Осгуд [39] доказал следующую теорему о значениях функции (11).

Теорема VII. Пусть д (х) Е 1[ж], #(0) = 0, дт — 1, ri,., rt — различные и отличные от нуля рациональные числа, mt > 1. Тогда для любого е > 0 и любых чисел hij Е Z/ при.

Н — max hjS > 0 jf=l,?- s=0, т—1 выполняется неравенство t т—1 j=1 s=0 CiH.

1—mt—E.

13) и для любого набора q, PjS целых чисел из поля I при любой паре индексов (и, v), 1 < и < t] 0 < v < т — 1 с (s, j) ф (и, v) и при |д| > 0 выполняется неравенство max j=l, ts=0, т—1- {s, j)^(u, v) s4rj) Pj* q C2q 1 mt~l.

14) где C и C2 — положительные постоянные, зависящие от е, но не зависящие от Н.

В той же статье [39] Ч. Осгуд получил оценку и неоднородной линейной формы в предположении, что все корни многочлена д (х) — рациональные числа. Однако эта оценка слабее оценки, получающейся из теоремы Шидловского V.

В статье [40] Ч. Осгуд доказал теорему о характере совместных приближений значений целых функций, удовлетворяющих линейному однородному дифференциальному уравнению, и оценил снизу размерность линейного пространства над числовым алгебраическим полем, натянутого на значения этих функций и их производных.

Результаты Ч. Осуда неоднократно улучшались.

В 1981 году А. Н. Коробов в некотором более частном случае получил оценку снизу линейной формы, которая отличалась от соответствующей оценки сверху лишь на постоянный множитель.

Теорема VIII. ([18]). Пусть s, а, а + Ъ — натуральные числа с € Zj, с т^О и.

00 zn+su n+sv.

Тогда для любых чисел ho, hi ., hs из кольца Zj при Н = max (|/io|, • • -, hs) > 3 справедливо неравенство hsip, s+1 rr-s /In In Д" 2 lH J «.

Положительная постоянная 7 не зависит от Н, причем покаs + 1 ^ зательне мооюет быть уменьшен. 2.

В 1929 — 1930 годах К. Малер [23, 24, 25] опубликовал метод, позволяющий устанавливать трансцендентность и алгебраическую независимость значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям.

Рассмотрим функцию оо aveK. (15).

Пусть ряд сходится в круге z < R и функция f (z) удовлетворяет уравнению.

PGN, P>2. (16).

Обозначим через A (z) результант многочленов A{z, у) и A2(z, у).

Теорема IX. ([23], [36] стр. 5 — 8). Пусть f (z) — трансцендентная функция, удовлетворяющая функциональному уравнению (16), и degyAj (z, у) < р, j — 1) 2- а — алгебраическое число, такое, что О < И < min (l, R) и Д (с/)^0 при к = 0, 1,.. Тогда число f (a) трансцендентно.

К.Малер доказал также несколько теорем об алгебраической независимости значений таких функций и распространил свой метод на функции от нескольких переменных.

Приведем примеры функций, удовлетворяющих уравнению Малера (16), для которых справедливо утверждение теоремы IX.

Пример 1.

00 = $>'", f (zp) = f (z)-z. (17) i/=0.

Пример 2.

ОО ОО J. f f (z) = П (! — Л = Е V" • Л*2) =. (18) и=О м-0 где числа а^ равны 1 или —1, причем а^ = 1 тогда и только тогда, когда в двоичное разложение числа р входит четное число единиц.

Пример 3. f (z) = f[(l-z?y = geN. (19) и=0 ^ '.

В приведенных примерах при алгебраическом, а (0 < |о-| < 1) (в последнем примере при q < р) по теореме IX числа f (a) трансцен-дентны.

0.3 Результаты диссертации.

Пусть К — алгебраическое числовое поле степени х. Следующее определение обобщает определение Е-функции.

Определение 4. Будем говорить, что функция.

ОО и аиеК, (20) принадлежит классу ЕТ: г > 0, если для любого положительного числа е.

1) И = 0(0- (21).

2) существует последовательность отличных от нуля чисел Qn € Zк, такая, что qnau G Ztf, п = О, 1,.- и = 0, п, (22) и нормы этих чисел.

NK (qn) = О. (23).

Определение 5. Функция (20) в точности принадлежит классу ЕТ, если она принадлежит классу ЕТ и не принадлежит никакому классу ЕТг при 0 < т < т. В этом случае число т назовем индексом класса функции f (z).

Непосредственно из определения вытекают следующие свойства.

1) Класс Е () совпадает с классом Е-функций.

2) Если функция принадлежит классу Ет, то она принадлежит любому КЛаССу ЕТ2 при 72 > т.

3) Индекс класса функции f (z) определен однозначно и не зависит от выбора поля К, содержащего все коэффициенты av функции f (z).

Рассмотрим функцию.

СХЭ z mv = g [А1 + 1,"]•. *" + !, «] U ' ^.

А + 1, z/] = (А + 1) • • • (А + г/), [Л +1,0] = 1. (25).

Эта функция является решением дифференциального уравнения.

5 + mAi) ¦¦•(5 + тт) у = zmy + тт Ai • • • Am, 6 = z4~. az.

Теорема 1. [55]. Пусть Х,., Am — алгебраические числа, отличные от — 1, —2,., степеней соответственно ., хт. Тогда функция (24).

Следствие 1. Если не все числа Ai,., Am являются рациональными, то функция.

Исследуется также, к какому классу в точности принадлежит функция Куммера при условии, что К = Q (ai, аг) — квадратичное поле.

Пусть и> - квадратичная иррациональность, К = Q (w), degK = 2, а = Щ + ViШ, 0,2 = U2 + Щ, U2, Vi, V2 € Q. (28).

При г>1 = г*2 = 0 функция (27) является Е-функцией, поэтому будем считать, что |i>i| + |г>2| > 0. За счет выбора числа ш можно обеспечить, чтобы vi, г>2 € Z, (г"1, v2) = 1, Щ = —, и2 = — h, b2, с е Z, с> 0. (29).

С с.

Теорема 2. [72]. Функция Куммера (27) в точности принадлежит классу Eif2 в следующих случаях:

1) при vi > г>2 (v > 0);

2) при ЩУ2 — ЩУ1? Z;

3) при г>1 = V2 > 0 и щ — U2 ?

4) при viv2 < 0, |t)i| + v2 > 0.

При г>2 > v > О, UV2 — ЩУ1? Z функция f (z) в точности принадлежит классу ЕТ при.

При v = г>2 > О, и — U2? а также при v = vi = О функция f (z) является Е-функцией.

Общий случай при degQ (ai, a2) = 2 сводится за счет выбора со к какому-либо из описанных случаев.

Следующая теорема устанавливает необходимое и достаточное условие того, чтобы общая гипергеометрическая функция (8) являлась Е-фуикцией.

Введем следующее.

Определение 6. Будем говорить, что две системы чисел («1,., аи) и (bi,., bv) удовлетворяют условию Е, если либо все числа dj, bk рациональные, либо существует такое разбиение всех тех из этих чисел, которые не являются рациональными} на пары что все разности ajs — s = 1, г, — неотрицательные целые рациональные числа.

Теорема 3. [60]. Для того, чтобы функция (8) с комплексными параметрами ai,., аиЬ,., bv, отличными от —1, —2,., и такими, что была Е-функцией, необходимо и достаточно, чтобы все числа a, j, bk были алгебраическими и чтобы системы чисел (ai,., аи) и (&i,., bv) удовлетворяли условию Е.

Эта теорема фактически показывает, что во всех «нетривиальных» случаях функция (8) не является Е-функцией.

Аналогичное утвержение справедливо для G-функций.

Теорема 4. [60]. Пусть ai,., av bi,., bv, — комплексные числа, отличные от — 1, — 2,., и такие, что ф bk, j = 1, Щ k = l, v dj^bk, j, k = l, v.

Тогда для того, чтобы функция (10) была G-функцией необходимо и достаточно, чтобы все числа aj, bk были алгебраическими и чтобы системы чисел (ai,., av) и (&i,., bv) удовлетворяли условию Е.

Для установления линейной независимости значений функций обычно приходится доказывать линейную независимость самих функций над полем рациональных функций. В следующих двух теоремах устанавливается линейная независимость общих гипергеометрических функций, которые удобно записать в виде.

ОО V, j = irt> (30) х=1 ^ > где cij{x), bj (x) — многочлены с комплексными коэффициентами, rrij = degbj (x) > dega, j (x), rrij > 1, bj (x) ф 0 при x = 1, 2,.

Функция i[)j (z) является решением линейного дифференциального уравнения.

Uj: Ьз{8)Уз=аз (8)*Уз + Ъ,{ 0), (31).

Теорема 5. [65]. Пусть выполняются следующие условия.

A) Для каждого индекса j, 1 < j < t, и любого с G Z два многочлена dj (x) и bj (x + с) взаимно просты.

B) Для любых двух многочленов ak (x)bi (x) = с (х + i) ¦ ¦ ¦ (х + N), щ (х)Ьк (х), 1 < k < I < t, при любом наборе целых рациональных чисел С,., сдг с (х + Ai + ci) • • • (х + Ajv + cN) ф ai{x)bk{x). (32).

Далее, пусть yj (z) — произвольное решение уравнения Uj из (31), не принадлеэюащее кольцу C[z, z-1].

Тогда совокупность функций.

1, yf (*), 3 = М- 8 = о, rrij — 1, (33) линейно независима над полем С (z).

Теорема 6. Пусть в равенстве (30) rrij = deg6j (ar) > dega^a-). (34).

Тогда для того, чтобы функции.

1, <�ф{°г), j = l~t] s — 0, rrij — 1, (35) были линейно независимы над полем С (^) необходимо и достаточно, чтобы l) rrij>l: a, j (x)bj (x) ф 0 при х — 1,2,.] j = 1, t.

2) выполнялось условие (В) теоремы 5;

3) выполнялось следующее условие:

С) для каждого индекса j, 1 < j < t, и любого с Е Ъ+ два многочлена a, j (x) и bj (x + с) взаимно просты.

Заметим, что в теореме 5 условие (А) нельзя заменить на более слабое условие ©.

Пример 4. Уравнению d.

6(6 +)у=(6 + - 1) zy, 6 = z-~, Л? Z, a z удовлетворяет функция z~x C (z), однако она линейно зависима со своей производной над C (z).

Далее, как будет видно из доказательства, три условия теоремы 6 являются достаточными для линейной независимости функций (35) и в случае, когда при некоторых индексах j deg bj (x) = deg aj (x). Рассмотрим функции более частного вида, чем (30), оо / v -1.

Фз (г) = 1 +^V (), gj (x) Е С[ж], rrij = deg^(a-) > 1. и=1 з-=1 /.

36).

Для этих функций сформулируем два следствия из теоремы 6.

Следствие 2. Пусть ipi (z),., ipt (z) — функции (36). Тогда функции (35) линейно независимы над полем C (z) тогда и только тогда, когда выполняется условие (В).

Следствие 3. Пусть ф (г) — функция вида (11) с gm — 1 — cji,., ujt — различные и отличные от нуля комплексные числа. Тогда функции.

1, ipis){ivjZ), j = Мs — О, т- 1, линейно независимы над полем C (z).

Действительно, в условиях следствия 2 выполняется условие ©, а в условиях следствия 3 — и условие (В).

Пусть I — поле рациональных чисел или мнимое квадратичное поле. В следующих двух теоремах устанавливаются оценки линейных форм от значений функции (11) и ее производных в нескольких точках поля I, а также изучается характер их совместных приближений числами из I.

Теорема 7. [57]. Пусть., Хт — рациональные числа, отличные от —1, —2,.-., u>t — попарно различные и отличные от нуля числа из поля I. Пусть ф{г) — функция (11) с д (х) = (х + Ai) • • • (х + Хт).

Тогда для любого ненулевого набора ho, hjs, j = 1, t s = 0, m — 1, целых чисел из поля I, по модулю не превосходящих Н, при Н > 3 выполняется неравенство t т—1 j=1 s=0.

37) и для любого набора q, pjS целых чисел из поля Е при q > 3 выполняется неравенств max.

7=1, ts=0,m—l ч.

1 *У2.

38) где 7i w 72 — эффективно вычисляемые положительные постоянные, зависящие только от чисел Ai,., Хтcui,., оjf.

Теорема 8. [57]. Пусть д (х) = хт + gm-ix771'1 Н———gix 6 причем д{х) ф 0 при х = 1, 2,.- ooi,., cvt — попарно различные и отличные от нуля числа из поля I. Тогда для любого ненулевого набора hjs, j = 1, t] s = 0, m — 1, целых чисел из поля I, по модулю не превосходящих Н, при Н > 3 выполняется неравенство t т—1.

Х^М^Ы >Я1″ т*~ьЙя, (39).

3=1 в=о и для любого набора q, PjS целых чисел из поля I при любой паре индексов (и, v), 1 < и < t 0 < v < т — 1 с (s, j) Ф (и, v) и при q > 3 и mt > 1 выполняется неравенств max.

Pjs.

1 *Y2 i (f/i (f i > Igf^^T^lnlnM j (40) s=0,m-lи) ' где 7i и 72 — эффективно вычисляемые полоо/сительные постоянные, зависящие только от чисел д,., gm~i ,., ajf.

Указанные оценки получены за счет эффективного построения аппроксимаций типа Паде к соответствующим функциям. Эти оценки могут быть улучшены только за счет присутствующих в показателях величин порядков О (-—:—— 1 и О (-—-—7—Г) .

1п1пЯу 1п1п|.

Оценка линейной формы (37) может быть выведена из теоремы.

Шидловского V, но с остаточным членом порядка О (, ^ =) .

Win In Н J.

Однако теорема V не применима к оценке однородной линейной формы (39), так как по следствию 1 функция ф (гт) не является Е-функцией, если только не все корни многочлена д (х) рациональны.

Линейные формы (39) можно оценить по теореме Осгуда VII, но тогда, вместо величины -—т-Цг=, будет присутствовать произвольное.

In in л е > 0 и все ujj <Е Q.

Пусть Ai,., Am — алгебраические числа, отличные от — 1, —2,., степеней соответственно ., число г определено посредством равенства (26). Справедлива следующая.

Теорема 9. [58]. Пусть К — алгебраическое числовое поле степени к над полем I ив равенстве (11) g (x) = (х + Ai) • ¦ ¦ (х + Ага) — хт + gm-ix" 1'1 + —-+gix + g0e ВДu>i,., oot — попарно различные и оличные от нуля числа из поля К, причем mt>x+xr— 1. (41).

Тогда выполняются следующие утверждения. 1) Для произвольного s > 0 и любого набора.

Рз,.

S 3.

1, ts = О, т — 1, целых чисел из поля К при q ^ О и Р = maxjiS (|g|, |pj, s|) справедливо неравенство max j=l, i, s=0,m—1.

•Ф{8Хч).

Рз,' mt+1+e С (klP*-1) 5 (42) где С = С (е, Ai,., m, uJi,., wt) > О. 2) Среди чисел.

Ф{8)(щ), 3 = М- «= О, m — 1, существует не менее {mt+l)>c~l— т—1 чисел, линейно независимых вместе с числом 1 над полем К.

В некоторых случаях удается получить оценки с лучшими остаточными членами по сравнению с теоремами 7 и 8.

Теорема 10. [56]. При любых целых числах Ь, р, q из поля I при bq ф 0 выполняется неравенство i р еь-9.

0,001 lnln (|g| + 2) |V|ln (|g|+2).

При I = Q подобная оценка следует из характера разложения числа 1 еЬ в цепную дробь и результатов статьи [1] (лемма 11 и следствие 10). Теорема 11. [56]. Пусть в равенстве (11) многочлен g (x) =хт + дт-xm~l + —-+gix€ Zj[x], д = max (|pi|,., т> 2, д{х) ф 0 при х = 1, 2,—;

Тогда для любого набора b, h,., hm целых чисел из поля Е при b ф О, 0 < ma hj < Я и Я > 3 справедлива оценка.

Н0ф Q) + М>' (j) + • ¦ ¦ + hm. гф^ (|Ь|Я)1-т (1пЯ)-71, (44) и для любых целых чисел q, pi,., рт- > 3, из поля Е при каждом индексе и, О < и < т — 1, выполняется неравенство max > (|%|)-1~^(1п#)-'" (45) фМ (1/Ь) q s=l, m—l, s^u где постоянная 71 не зависит от b и Я, а постоянная 72 — от b и q.

Остаточный член в показателях в теоремах 7 и 8 порядка О ((In In Я)-1) в теореме 11 фактически заменен на величину порядка О ((In In Я) (In Я)" 1) .

При некоторых дополнительных условиях удается получить оценки снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций, которые лишь на постоянный множитель отличаются от соответствующих оценок сверху. В теореме 11 мы требовали, чтобы g (x) Е Z/[x]. В следующей теореме будем предполагать, что все корни д{х) лежат в поле Е.

Пусть Xj = aj + i (3j (j = 1, saj, (3j € К) — числа из поля E, отличные от —1, —2,.- а € Z/, й / 0, — такое число, что aXj G Z/, j = 1, s. Обозначим:

Л + 1, is] = (А + 1) • • • (Л + и), [А + 1, 0] = 1, (46).

00 zv Y-,, чг.——=-77——г, m = s + l, (47) o^HIAi + I, !/]••• [А,+ 1, is] [ J {аЛ> N — аз + 3 = (48) где {ск} — дробная доля числа а. Пусть числа Ai,., As перенумерованы так, что.

1 > <71 > 02 > • • • > <Тв > 0, а0 = а3 + 1. (49).

Обозначим: 1 О" 1 I.

A i = + и j — —————, А = min Д7-, Л = max А,. (50).

S S 1.

Пусть K (/j, j) — кратность корня fij многочлена д (х) = (х-Их)-•• (х-Ра), ri — maxK (fij), г = min 77, (51).

Tj=at J Дг=Д где максимум берется только по тем индексам j, 1 < j < s, для которых иj = at, а минимум — по тем I, для которых А/ = А. Аналогично вводятся величины р = max п, До = min (А, — — А), <50 = min (сг7—1 — сг7), (52) ai=a Д^А Д.,=ДЧ 7 JJ V '.

77 = min^sA0, ^, rj > 0. (53).

Последнее неравенство следует из того, что при Aj = А в силу (50) и (52).

1 1.

— 0-J = Aj-i — Aj + - > - > 0. (54) s s.

Определение 7. Линейную форму R = /io?o + • • • + hs? s, hk E Zj, будем называть примитивной, если при любом с Е I, 0 < |с| < 1, не все числа hkC, к = 0, s, будут целыми в поле L.

Функция удовлетворяют дифференциальному уравнению am6(5 + 1)—-(5 + s) y = zy, S = (55).

56).

Теорема 12. [61], [62]. Пусть Ь Е Z/, 6⁰, Д = У h^(k) (ТУ> max |ЛЛ| = Я > 3;

1' V 6 / 0</;

Ф (ж) = ж-5(1пл-)-а (1-д)(1п1пж)з (г-А), (57) fii (x) = Ж-5(1пж)-5(1-а)(1П1ПЖ)^-д), 02(Ж) = x-^lnx)^1-^..

58).

Тогда существуют эффективно вычисляемые положительные постоянные.

Cj = Cj{a, b, Ai,., As), 7 = 7(0−1,., as, fa,., p8) такие, что справедливы следующие утверждения:.

2) Существует бесконечное количество форм (56), для которых.

3) Если R — примитивная линейная форма вида (56) и.

Доказательство теоремы 11 было опубликовано раньше, а теоремы 12 — позднее опубликования доказательства теоремы А. Н. Коробова VIII. Теореме Коробова в теореме 12 соответствует случай равномерного распределения чисел Aj :.

Метод доказательства теоремы 12 существенно отличается от методов доказательств предыдущих теорем. При доказательстве строится «достаточно плотная «последовательность линейных форм с верхними и нижними оценками, отличающимися лишь на постоянный множитель. Затем доказывается, что произвольная «достаточно ма-лая» линейная форма пропорциональна одной из форм последовательности. После чего ее оценки следуют из оценок построеннх форм..

Приведем пример на применение теоремы 12.

Пример 5. Пусть.

R < С2Ф (Н)..

Д| > СзВДЯ), то.

Д| > С4П2(Я)(In In Н)~7 ..

7 — 1 ь.

A j = Ai — —, j = 1, s — Ai — - G Q..

В этом примере.

Поэтому в теореме 12.

Ф (ж) =2Ts (lnx)-s (lnlnx)s2..

В следующей теореме устанавливаются столь же точные оценки для совместных приближений..

Теорема 13. [63]. Пусть числа (48) /ii,.,/л8 попарно различны- -1— /ЫпаЛ s+A tu (x) = х s ——А = max До..

V In яJ i=M.

59).

Тогда существуют эффективно вычисляемые положительные постоянные С и С2, зависящие только от чисел a, b, Ai,., As, такие, что для каждого индекса к, 0 < к < s, справедливы следующие утверждения..

1) Для любых целых чисел р, ро,., ps из поля I при р > 3 выполняется неравенство е (к, р) = max.

С1Ш{р). (60).

2) Существует бесконечно много наборов чисел р, ро,., ps из Z/, для которых s (k, р) < С2ы (|р|). (61).

Следующая теорема распространяет теорему С. Ленга III на случай алгебраически зависимых Е-функций и усиливает некоторые результаты А. Б. Шидловского..

Теорема 14. [68], [70]. Пусть fi (z),., fs (z) — совокупность Е-функций с коэффициентами из алгебраического числового поля К, составляются решение системы линейных дифференциальных уравнений (1), а — алгебраическое число, отличное от нуля и от полюсов всех коэффициентов Qij (z) системы (1), я = рК (а): I] > 2..

Тогда для любого многочлена Р[хi,., xs)? Zjc[xi, ., или..

P (fi (a),., fs (a)) = 0, или выполняется неравенство.

Р (Ма),., Ш)>СН~^1+ч (62) где d и Н — соответственно степень и обобщенная высота многочлена Р, I — количество алгебраически независимых над полем С (г) функций в наборе fi{z),., fs (z) (1 < I < s), С и 7 — положительные постоянные, причем С зависит только от d, а, функций fi (z),., fs (z), а 7 — только от функций fi (z),., fs (z) (точнее: от характера алгебраических связей меоюду этими функциями)..

Оценка (62) была доказана в § 6 главы 12 книги [52], однако при более сильном предположении о том, что отличны от нуля все величины р^ЛН,.,/^)), о- = ТГ£, см. обозначения перед формулировкой теоремы IV). В теореме 9 из той же главы оценка (62) установлена в предположении, что степень трансцендентности функций fi (z),., fs (z) над полем С{z) такая же, как над полем С ..

Способ доказательства этой теоремы отличен от ранее известных методов получения количественных результатов..

Для алгебраического числа 0 обозначим через degf? и h (6) соответственно его степень и высоту..

Теорема 15. [67], [69]. Пусть совокупность Е-функций fi (z),., fs (z) составляет решение системы дифференциальных уравнений (1), a Q — комплексное число, удовлетворяющее уравнению.

P (z, ш, .,/,(*)) = о, (63) где Р{хо, xi,., xs) — многочлен с алгебраическими коэффициентами, такой, что.

Р (*, Л (-гО,.,/.(*))# 0. (64).

Тогда для любых положительных чисел х иг система неравенств.

С-0| <�ехр (-(/г (0))е), deg0.

Теорема применима, в частности, к алгебраическим точкам Е-функций..

Если Е-функции fi (z),., fs (z) алгебраически независимы, то при некоторых естественных условиях из теоремы Шидловского I следует, что число С трансцендентно. Однако никаких количественных результатов известно не было..

Приведем два следствия из теоремы 15.

Следствие 4. Пусть Е-функции fi (z),., fi (z) алгебраически независимы над полем C (z) и вместе с Е-функциями fi+i (z),., fs (z) составляют решение системы (1),? € С, и при некоторых положительных величинах? и х система неравенств (65) имеет бесконечное число решений в алгебраических числах в..

Тогда числа С, fi (()>¦¦¦ > /КО алгебраически независимы..

Заметим, что при I = 1 условие алгебраической независимости Е-функций эквивалентно тому, что Е-функция fi (z) не является многочленом..

Следствие 5. [69]. Пусть Е-функции fi{z),., fs (z) удовлетворяют условиям теоремыС, — такое комплексное число, что при некоторых положительных величинах? и к система неравенств (65) имеет бесконечное число решений в алгебраических числах 9. Пусть далее A (z, fi{z),., fs{z)) и B (z, fi (z),., fs (z)) ф 0 — многочлены с алгебраическими коэффициентами от величин z, fi (z),., fs (z), причем функция.

1[Z) B (z, A (Z),.J8(Z))?4z).

Тогда числа С и F© алгебраически независимы..

Пусть функция ip (z) задана посредством равенства (11). Если не все корни многочлена д (х) — рациональные числа, то по следствию 1 функция i/j (zm) не является Е-функцией и к ней не применима теорема Шидловского V. Тем не менее при определенных условиях удается использовать некоторые идеи метода Зигеля-Шидловского и получить оценки линейных форм от значений таких функций..

Теорема 16. [64]- Пусть в равенствах (36) gj{x) = pj (x)p{x) е I[x], gj (x) ^ 0 при х — 1, 2,., (66) degpi (rc) = • • • = degpt (x) = и, degр (х) = v, т — и + v > 1,.

67) причем все корни многочленов Pj (x), j = 1, t, — рациональные числа и выполняется условие (В) теоремы 5. Далее, пусть ho, hj8, j = 1, t] s = 0, m — 1, произвольный набор чисел из Zj с.

Н = max (|/i0, |/ijS|) > 3..

3,s.

Тогда справедливы следующие утверждения. 1) Для любого положительного числа? при.

Н > Н0(е, gi (x),., gt (x)) выполняется неравенство t та—1 ло + EEwW j=1 s=0 mt+т+е.

Н~ 1-т.

68) где v 1.

———, (69) т тщ ткг, а я,., Ху — степени алгебраических чисел, являющимися корнями многочлена р (х)..

2) Если р (0) = 0, и mt > 2, то t т— 1.

EEmw (I).

3=1 s=0.

70) где постоянная 7 не зависит от Н..

Заметим, что число 1 в теореме можно заменить на любое число w 6 1, из ф 0. Для этого достаточно многочлен р{х) заменить на из~1р{х)..

Следствие 6. Пусть Ai,., Am — алгебраические числа, отличные от —1,-2,., степеней соответственно xi,., xmи>,., uJt ~ попарно различные и отличные от нуля числа из поля Е, g (x) = (х + Ai) • • • (х + Am) е Е[я]..

Пусть il>(z) — функция (11), а г — число, определенное посредством равенства (26)..

Тогда для любого ненулевого набора ho, hjSi j = 1, t] s = 0, m—1 целых чисел из поля Е, по модулю не превосходящих Н, при Н > HQ (e, AI, ., Am, wi,., ujt) выполняется неравенство t m—1.

Ло + ЕЕМ^О.

3=1 s=0 mt+T—E H~ 1-T.

71).

Для доказательства следствия достаточно в теореме 16 положить Pj (x) — —. Условие (В), очевидно, выполняется. шз.

Утверждение следствия 6 было доказано в статье [58] тем же методом, который применялся в [57] для доказательства теоремы 7, то есть без применения принципа Дирихле..

Приведем два примера применения следствия 6..

Пример 6. Пусть (p (z) — функция (9) —.

А, ш G IА ф —1, —2,.- ш ф 0..

Тогда для любого? > 0 и любых чисел р, q Е Zj при Ы > Qo (?i А, си) выполняется неравенство М.

-4-е.

Пример 7. Рассмотрим функцию м = Е.

AG.

А^-12, —22,. ..

Пусть со ф 0 — рациональное число, ho, hi, h2 Е Z, Н = max (|/io|, М, N) > Н0(е, А, оо). Тогда выполняется неравенство hQ + h1f (aj) + h2f'(uJ)>H-5-?..

Ранее не была доказана даже иррациональность чисел f (oo) и М.

В следующих двух теоремах при некоторых дополнительных условиях устанавливаются оценки многочленов от значений G-функций в достаточно малых точках. В этих оценках величина (7) до не зависит от Н, поэтому устанавливается, в частности, иррациональность значений соответствующих G-функций в точке z = — иррациональность в точке —, очевидно, получается заменой z в соответствующих функциях на az)..

Нам понадобится уточнить определение 3 G-функций..

Определение 8. Будем говорить, что совокупность функций.

00.

Mz) = ^2aivzv) i = l7s, (72) i/=0 принадлежит классу К, С, Q), где С > 1, Q > 1, если все коэффициенты a, iu принадлежат алгебраическому полю К. конечной степени и для любых чисел С> С и Q > Q существуют постоянные 7i и 72 > зависящие только от fi (z),., fs (z) и соответственно от С и Q1, такие, что.

1) Ы < ъС?, г = 1, av = О, 1,.- (73).

2) существуют натуральные числа qn, п = О, 1,., такие, что все числа и qnaiv е Ък, г — 1, sv = 0, п, (74) п<72<5Г, П = 0,1,. (75).

Пусть совокупность G-функций fi (z),., /5(2-) удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравнений (1). Тогда S.

У? = СЫ*) + XI — (*) е ВД- (76).

3=1 г = 1, sk = 1, 2,. ..

Определение 9. Будем говорить, что совокупность G-функций fi (z),., fs (z) из класса G (1С, С, Q), составляющих решение системы линейных дифференциальных уравнений (1), принадлежит подклассу G (К, С, Q, Л), где Л > 1, если существует ненулевой многочлен T (z)? Zk[z] и натуральные числа ап, п = 1,2,., такие, что все функции y{T{z))kQkij{z) Е ЭД, k = 1, п, (77) и для любого К > Л существует постоянная 73, зависящая только от функций /1(2),., fs (z) и числа А, такая, что ап< 7зЛ?, п= 1,2,. (78).

Условие, заданное соотношениями (77) и (78), будем называть также условием сокращения факториалов..

Пример 8. Поскольку обш^е наименьшее кратное чисел 1, 2,., п растет как, то функция ln (l4-z) принадлежит подклассу G (Q, 1, е, е)..

Обозначим: h=T (z)|, р = max^(deg T{z)) — 1, deg. (79).

Теорема 17. [54]- Пусть N — натуральное число, К. — алгебраическое числовое поле степени х над полем I, функции fi (z)i ¦ ¦ • > fs{z) принадлежат подклассу G (K, C, Q, Л) и не связаны никаким нетривиальным алгебраическим уравнением степени, не превосходящей N, с коэффициентами из поля C (z), CQ > 1. Пусть Р (х 1,., х3) ф 0 — многочлен с коэффициентами из Ък степени, не превосходяш, ей d и Р < Н. Далее, пусть т= (N + l)—-(N + s) ^ — (N — d + 1) ¦¦¦ (N — d + s) s! s! w = m — v, u = m — xw, = l + - + - + w > 0. Далее, пусть q — натуральное число, T 0, пусть 5.

О < 5 < 1) — произвольное число, такое, что 5{рн+2)<�и (81) w (т-5)2.

Аг = 2W (1, ShA9N) (CQ9N) 5 — (82).

2 (w + р S) In q + In Ai = * v (u{pH + 2)5) ln q — ln (2m~1−5 C—<5 Af) + ^ «- (83).

Тогда cyw^cmeyem постоянная такая, что при qu-(PK+2)5 > 2m-l-6 Ст-&Ак g > 4С (84) выполняется неравенство q-^H-«1. (85).

Следствие 7. Пусть G-функции fi (z),., fs (z) алгебраически независимы над полем С (z), удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений (1) и для них выполняется условие сокращения факториалов, а — не равное нулю алгебраическое число..

Тогда существует число qo (d, а, fi (z),., fs (z)), такое, что при любом натуральном числе q > qo числа не связаны никаким алгебраическим уравнением с рациональными коэффициентами степени, не превосходящей d..

При К = I формулировке теоремы 17 можно придать более простой вид.

Теорема 18. [54]- Пусть совокупность функций fi{z),., fs (z) принадлежит подклассу G (I, С, Q, Л) и не связана никаким нетривиальным алгебраическим уравнением степени, не превосходящей d с коэффициентами из поля С (^), CQ > 1, q — нату1 ральное число, S — произвольное число, такое, что 0 < S < ———.

P (xi,., xs) ф О — многочлен с коэффициентами из Z/ степени, не превосходящей d, и высоты, не превосходящей Н, Далее, пусть d+l)-{d + s) .1. (86).

87) m ¦.

5!.

1 1 2т~1 {l, 8hA9) d{CQ°) то-1) (то-Д)2 -т— 1 + р 6) In g + In А2.

1 — (р + 2)5) In g — 1п (2т1г С7″ -5 А2) ' Тогда существует постоянная.

Л2 = A2(d, ш, Л (г),., fs (z)), такая, что при ql—(p+2)5 1—<5 (jm—5 выполняется неравенство.

88).

89).

Пример 9. Теоремы 17 и 18 применимы к значениям G-функций ln (l + aiz), г = 1, s. В частности, с их помощью в статье [71J устанавлено, что при любом натуральном q > е131 число in i1 — Din +Э (эо) иррационально и линейно независимо над полем Q с числами 1, In (1−1/9), In (I + I/9)..

Также можно получить оценки многочленов от значений функций.

1 + aiz) r г — 1, sпри алгебраических щ и рациональных значениях Г{ с эффективно вычисляемыми постоянными..

Однако в этих случаях можно получить и более точные результаты, которые приведены и доказаны в статьях [53] и [54]..

В теореме 18 величина /i2 = №{q) при достаточно малом 5 и достаточно большом q близка к т — 1, а при d = 1, число т = s + 1. Поэтому имеет место.

Следствие 8. Пусть G-функции fi (z),., fs (z) с коэффициентами из поля I линейно независимы над полем С (z), удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений (1) и для них выполняется условие сокращения факториалов, О ф, а? I..

Тогда для любого положительного числа е существует такое число qo (s, а), что при любом натуральном числе q > qo (e, ск) и любых числах hy,., hs из Z/ при.

Н = max|/ij| > Hq (s, а, q) j выполняется неравенство h0 + />1/1 (j J + • • • + hafs H S—E.

91).

Оценка (91) может быть улучшена только за счет числа е..

В следующей теореме устанавливается оценка многочлена от значения функции, удовлетворяющей уравнению Малера. Для упрощения выкладок и большей наглядности мы ограничимся случаем одной переменной. Однако в статье [59] рассматривался случай нескольких переменных..

Теорема 19. Пусть f (z) — трансцендентная функция, представи-мая в виде ряда (15), сходящегося в круге z < R и удовлетворяющая функциональному уравнению (16) с.

Aj (z, у) = an (z)y + aj2(z)? ZK[z, у], j = 1,2. (92).

Пусть далее, а — алгебраическое число, такое, что О < |а| < min (l, R), А2 (с/, Дс/)) фО, к = 0, 1,.. (93).

Пусть хо, 1(a) — соответственно степень и длина числа а, а s = deg К (а)..

Тогда для любого положительного числа е и любого ненулевого многочлена Р (х)? Ъ[х] степени, не превосходящей d и высоты, не превосходящей Н, при Н > Ho (d, a, f (z)) справедливо неравенство.

P (f (a)) > tf-(47.2P (P+i)+i+^- 7 =. (94).

До этого результата никаких оценок многочленов от значений функций, удовлетворяющих уравнениям Малера, известно не было. К. Малер в статье [23], не приводя доказательства, утверждал, что такие значения не являются числами Лиувилля. М. Миньот [30] предположил, что число оо f=E2″ 2″ ' и=0 являющееся значением функции (17), не является U-числом в классификации Малера (соответствующие определения можно найти, например, в обзорной статье [47]). Из теоремы 19 следует, что числа f (a), удовлетворяющие ее условиям, являются S-числами. Ранее все известные примеры S-чисел были связаны со значениями Е-функций в алгебраических точках. Теорема применима, например, к значениям функций (17) и (18)..

Некоторые результаты удается получить и в случае, когда многочлены Aj (x, у) не являются линейными по у. Утверждение следующей теоремы опубликовано в статье [59]..

Теорема 20. Пусть f (z) — трансцендентная функция, представи-мая в виде ряда (15), сходящегося в круге z < R и удовлетворяющая функциональному уравнению (16) с q = max deg Aj (z, у) < p. (95).

7=1,2.

Пусть далее, а (0 < |а| < min (l, R)) — алгебраическое число, такое, что все многочлены.

A2Kfc,/Kfc))^0, k = 0,1, 2,.. (96).

Тогда для любого ненулевого многочлена Р (х) Е Щх] степени, не превосходящей d, и высоты, не превосходящей Н, при Н > Ho (d) справедливо неравенство.

Р (/И)| > ехр (—C (lnHY), V = hip]Plnq, (97) где постоянная С не зависит от Н..

Теорема применима, в частности, к значениям функции (19)..

0.4 Дальнейшие исследования, связанные с результатами диссертации.

Исследование арифметических свойств значений гипергеометрических функций продолжил П. Л. Иванков. В статье [15] он доказал, что, если все параметры aj, bk функции (8) — рациональные числа, то для оценок ее линейных форм справедливы утверждения, аналогичные теоремам 7 и 8. В некоторых случаях он получил соответствующие оценки и при иррациональных параметрах (см., например, [16])..

Ю.В. Нестеренко [35] исследовал явные конструкции приближений Эрмита-Паде первого и второго рода обобщенных гипергеометрических функций..

А.Ю. Попов усилил теорему 10, установив, при каких значениях постоянной С неравенство.

7 Р eb-Q lnlng Сj-—, 6, р, q е Z/, ql In q имеет конечное, а при каких бесконечное число решений. А. Н. Коробов [19] использовал многомерные непрерывные дроби для получения точных по высоте оценок линейных форм. П. Л. Иванков [17] не только получил точные по высоте оценки линейных форм, как в теореме 12, для значений функции Куммера, но и с точными значениями постоянных..

В нескольких работах исследовались арифметические свойства значений^{-функций} с использованием условия сокращения факториалов (см. определение 9). В. Г. Чирский [6] таким способом получил оценки многочленов от значений эллиптических интегралов. Фликер [12] распространил метод доказательства на р-адический случай..

В статьях Е. Бомбьери [5] и Е. М. Матвеева [29] устанавливаются количественные результаты одновременно в нескольких метриках, причем в [5] условие сокращения факториалов было заменено на некоторое другое условие, а в [29] даны приложения к диофантовым уравнениям..

Наконец, Д.В. и Г. В. Чудновским [7] удалось избавиться от условия сокращения факториалов, а также доказать, что, если G-функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения с коэффициентами — рациональными функциями и не является решением уравнения такого же вида, но меньшего порядка, то условие сокращения факториалов выполняется..

В книгах [3] и [8] исследуются свойства как самих G-функций, так и их значений. В частности, в теореме 2.1 главы 7 книги [8] доказана эквивалентность условия Бомбьери из статьи [5] и условия сокращения факториалов..

Опубликовано довольно много работ, в которых оценки линейных форм от значений G-функций получаются за счет явной конструкции системы приближающих линейных форм. Если такое построение провести удается, то обычно существенно снижается ограничение на «малость» аргумента. В частности, М. Хата [14] доказал, что число (90) иррационально при любом натуральном q > 54..

К настоящему времени опубликовано большое количество работ, связанных с методом Малера, в том числе монография [36]. После статьи [59] появилось много работ с количественными результатами, в частности, статьи [2] и [31]. М. Амоу [2] уточнил оценку (94), В. Миллер [31] получил оценку многочлена от значения функции Малера при независимом росте степени и высоты многочлена. С. М. Молчанов [32] обобщил результат статьи [59] на р-адический случай. В статье [33] он усилил результат статьи Миллера [31]..

Ю.В. Нестеренко [34] установил оценку многочлена от значений нескольких функций Малера (в теоремах 19 и 20 оценивается многочлен от значения одной функции, однако более общий вид имеет функциональное уравнение Малера). При независимом росте степени и высоты такую оценку получила К. Нишиока ([36], стр. 137−146)..

1. Adams W. Asymptotic diphantine approximations and Hurwitz numbers// Amer. J. Math. — 1967 — V. 89. — P. 1083 — 1108..

2. Amou M. An improvement of a transcendental measure of Galochkin and Mahler’s S-numbers // J. Austral. Math. Soc. (Series A) — 1992; v.52 P. 130−140..

3. Andre Y. G-functions and Geometry. Bonn. Braunschweig. 1989..

4. Боревич З. И., Шафаревич И.P. Теория чисел. М.: Наука, 1964..

5. Bombieri Е. On G-functions // Recent proggress in analytic number theory — 1981. — London, Academic Press: V. 2, — P. 1 68..

6. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах значений эллиптических интегралов// Успехи матем. наук — 1977 — Т. 32. — Вып. 1(193). С. 211−212..

7. Chudnovsky D.V., Chudnovsky G.V. Application of Pade' approximation tu Diophantine inequalities in values of G-function// Lect. Notes in Math. 1985 V. 1135. — P. 9−51..

8. Dwork В., Gerrotto G., Sullivan F. J. An introduction to G-functions. Anals of Math. Studies 133, Princeton Univ. Press, 1994..

9. Фельдман H. И. Приближения алгебраических чисел. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981..

10. Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982..

11. Фельдман Н. И. Оценки снизу некоторых линейных форм// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. — 1967. — № 2- С. 63−72..

12. Flicker Y. Z. On p-adic G-functions// J. London Math. Soc. (2) — 1977 V. 15. — P. 395−402..

13. Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. М., Го-стехиздат, 1952..

14. Hata М. The irrationality of log (1+1 /q) log (l-l/g) // Trans. Amer. Math. Soc. 1998. — V. 350. — № 6. — P. 2311−2327..

15. Иванков П. JI. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций// Математический сборник. — 1991. — Т. 182 т. — С. 283−302..

16. Иванков П. JI. О вычислении постоянных, входящих в оценки линейных форм// Известия высших учебных заведений. Математика. 2000. — № 1(452). — С. 31−36..

17. Иванков П. JI. О значениях гипергеометрических функций с различными иррациональными параметрами// Фундаментальная и прикладная математика. — 2005. — Т. 11. — вып. 6. — С. 65−72..

18. Коробов А. Н. Оценки некоторых линейных форм// Вестн. Моск. ун-та, сер. матем, мех. — 1981. — № 6. — С. 36−40..

19. Коробов А. Н. Многомерные цепные дроби и оценки линейных форм// Acta Arithmetica 1995. — V. 71. JM. — P. 331−349..

20. ЛенгС. Алгебраические числа. М.: Мир, 1966..

21. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968..

22. Lang S. A transcendence measure for Е-functions// Mathematica. — 1962 -V. 9. P. 157−161..

23. Mahler К. Arithmetische Eigenschaften der Losungen einer Klasse Funktionalgleichungen// Math. Ann. — 1929. — Bd. 101 — № 4. — S. 342−366..

24. Mahler K. Arithmetische Eigenschaften einer Klasse transzendental-transzendenter Funktionen// Math.Z. — 1930 — Bd. 32 — № 4. — S. 545−586..

25. Mahler К. Uber das Verschwinden von Potenzreihen mehrerer Veranderlichen in specielen Punktfolgen// Math. Ann. — 1930 — Bd. 103 № 4, 5. — S. 573−587..

26. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und Logarithmus. I// J. reine und angew. Math. — 1932 — Bd. 166 S.118−136..

27. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und Logarithmus. II// J. reine und angew. Math. — 1932 — Bd. 166 S.137−150..

28. Маркушевич, А И. Теория аналитических функций. Т. 2. М.: Наука, 1968..

29. Матвеев Е. М. Линейные формы от значений G-функций и дио-фантовы уравнения// Математический сборник. — 1982. —¦ Т. 117(159). № 3. — С. 379−365..

30. MicnotteM. Approximation des nombres par certaines suites de rationnels// Seminare Delange-Pisot-Poiton (Theorie des nombres).— № 16 — 1976;77 pp 1−3..

31. MillerW. Transcendence measures by a method of Mahler// J. Austral. Math. Soc. (Series A) 1982 — v.32 — P. 68−78..

32. Молчанов С. M. О р-адичесой мере трансцендентности значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1983; № 2. С. 31−37..

33. Молчанов С. М. Оценки меры трансцендентности в методе Малера// Диофантовы приближения. Часть I. — 1985. — М.: Изд-во Моск. ун-та. С. 56−65..

34. Нестеренко Ю. В. О мере алгебраической независимости значений некоторых функций// Математический сборник. — 1985. — Т. 128(170). Ш. — С. 545−568..

35. Шидловский А. Б. О критерии алгебраической независимости значений одного класса целых функций// Известия АН СССР. Сер. матем. 1959 — Т. 23. — Ж. — С. 35−66..

36. Шидловский А. Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений Е-функций, связанных любым числом алгебраических уравнений в поле рациональных функций// Известия АН СССР. Сер. матем. 1962 — Т. 26. № 6. — С. 877−910..

37. Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982..

38. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987..

39. Галочкин А. И. Оценки снизу многочленов от нескольких логарифмов алгебраических чисел, близких к единице// Успехи матем. наук 1973 — Т. 29. — Вып. 2(170). — С. 235..

40. Галочкин А. И. Оценки снизу многочленов от значений аналитических функций одного класса// Математический сборник. — 1974. 95(137). № 3 — С. 396−417..

41. Галочкин А. И. Об арифметических свойствах значений некоторых целых гипергеометрических функций// Сибирсий Математический журнал. 1976 — Т. 17. — № 6. — С. 1220−1235..

42. Галочкин А. И. Уточнение оценок некоторых линейных форм// Математические заметки — 1976 — Т. 20. — Вып. 1. — С. 35−45..

43. Галочкин А. И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. I // Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. — 1978. — № 6- С. 25−32..

44. Галочкин А. И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. II // Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1979 — № 1. — С. 26−30..

45. Галочкин А. И. О мере трансцендентности значений функций, удовлетворяющих некоторым функциональным уравнениям// Математические заметки. 1980 — Т. 27. — Вып. 2. — С. 175−183..

46. Галочкин А. И. О критерии принадлежности гипергеометрических функций Зигеля классу Е-функций// Математические заметки — 1981 Т. 29. — Вып. 1. — С. 3−14..

47. Галочкин А. И. Sur des estimations precises par rapport a la hauteur de certaines formes lineaires// Approximations Diophantiennes et Nombres Transcendants. Colloque de Luminy, Birkhauser — 1982. P. 95−98..

48. Галочкин А. И. О неулучшаемых по высоте оцеках некоторых линейных форм// Математический сборник — 1984 — Т. 124(166) — № 7 С. 415−430..

49. Галочкин А. И. О совместных приближениях значений некоторых целых функций// Диофантовы приближения. Часть I. — 1985. — М.: Изд-во Моск. ун-та. С. 17−25..

50. Галочкин А. И. О некотором аналоге метода Зигеля// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика. — 1986. — № 2. — С. 3034..

51. Галочкин А. И. On effective bounds for certain linear forms// New advances in transcendence theory. Cambridge, Univ. Press. — 1988. P. 207−214..

52. Галочкин А. И. On certain arithmetical properties of the values of hypergeometrric functions// Diophantische Approximationen 30.09 bis 06.10.1990, Tagungsbericht 42. — Math. Forschungsinstitut Oberwolfach 1990. — S. 7..

53. Галочкин А. И. О решениях некоторых уравнений, содержащих Е-функции// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1992 № 3. — С. 22−27..

54. Галочкин А. И. On some equations connected with E-function// Diophantische Approximationen 26.09 bis 02.10.1993, Tagungsbericht 43. — Math. Forschungsinstitut Oberwolfach — 1993. S. 20..

55. Галочкин А. И. Об аппроксимации алгебраическими числами решений некоторых уравнений, содержащих Е-функции// Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова 1994. — Т. 207. — С. 66−69..

56. Галочкин А. И. Оценки снизу многочленов от значений алгебраически зависимых Е-функций// Фундаментальная и прикладная математика. 1995 — Т. 1. — № - С. 305−309..

57. Галочкин А. И. Оценки линейных форм от значений G-функций// Вестн. Моск. ун-та, сер. Математика, механика — 1996 — № 3. — С. 23−29..

58. Галочкин А. И. О некоторых арифметических свойствах коэффициентов функции Куммера// Фундаментальная и прикладная математика. 2005 — Т. 11. — № 6. — С. 27−32..