О w-насыщенных формациях с п-разложимым дефектом 1

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования.

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».

Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Допущена к защите Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

" " 2007 г.

О щ-насыщенных формациях с -разложимым дефектом 1.

Курсовая работа Исполнитель:

Студент группы М-51 А. И. Рябченко Научный руководитель:

к.ф.- м.н., старший преподаватель В. Г. Сафонов.

Гомель 2007.

• 1. Введение
• 2. Основные понятия и обозначения
• 3. Используемые результаты
• 4. Основной результат
• 5 Заключение
• Литература
• 1. Введение
• Работа посвящена изучению решеточного строения частично насыщенных формаций конечных групп. Основным рабочим инструментом исследования является понятие H-дефекта щ-насыщенной формации. При этом, под H-дефектом щ-насыщенной формации F понимают длину решетки щ-насыщенных формаций, заключенных между формацией FH и F.
• В случае, когда H — формация всехразложимых групп, H-дефект щ-насыщенной формации F называют ееразложимым l^щ-дефектом. Доказано, чторазложимый l^щ-дефект частично насыщенной формации F равен 1 в том и только в том случае, когда F представима в виде решеточного объединения минимальной щ-насыщенной неразложимой подформации и некоторой щ-насыщеннойразложимой подформации формации F. Приведен ряд следствий.
• Полученные результаты являются естественным развитием исследований, связанных с изучением решеточного строения частично насыщенных формаций, имеющих заданный нильпотентный или разрешимый l^щ-дефекты. Работа может быть полезна при изучении и классификации щ-насыщенных формаций с заданной структурой щ-насыщенных подформаций.
• Рассматриваются только конечные группы. Используется терминология из [1−3].
• В работе было введено понятие H-дефекта насыщенной формации и получена классификация насыщенных формаций с нильпотентным дефектом 2. При этом под H-дефектом насыщенной формации F понимают длину решетки насыщенных формаций, заключенных между FH и F.
• В дальнейшем этот результат получил развитие в разных направлениях, поскольку нашел широкое применение в теоретических исследованиях. С одной стороны, в качестве H стали рассматривать другие достаточно хорошо известные классы (А.Н.Скиба, 1991 г., В. В. Аниськов, 1995;2003гг.). С другой стороны, исследовались решетки насыщенных формаций большей длины (В.Г.Сафонов 1996;2004г.). Кроме того, этот подход нашел широкое применение при изучении структурного строения формаций групп других типов (n-кратно насыщенные формации, тотально насыщенные формации и др.).
• В теории щ-насыщенных формаций данный метод был использован Дж. Джехадом и Н. Г. Жевновой при изучении p-насыщенных и щ-насыщенных формаций с нильпотентным l^щ-дефектом 1. Классификация неразрешимых щ-насыщенных формаций, имеющих разрешимую максимальную щ-насыщенную подформацию, получена в.
• Естественным развитием исследований в этом направлении является изучение решеточного строения частично насыщенных формаций, близких к N по тем или иным свойствам. Так в совместной работе авторов было дано описание ненильпотентной щ-насыщенной формации снильпотентной максимальной щ-насыщенной подформацией.
• В данной работе получена классификация частично насыщенных формацийразложимого l^щ-дефекта 1.
• Основным результатом является
• Теорема 1. Пусть F — некоторая щ-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае —разложимый l^щ-дефект формации F равен 1, когда F=MV^щH, где M — щ-насыщенная -разложимая подформация формации F, H — минимальная щ-насыщенная не -разложимая подформация формации F, при этом: 1) всякая щ-насыщенная -разложимая подформация из F входит в MV^щ(HX); 2) всякая щ-насыщенная не -разложимая подформация F₁ из F имеет вид HV^щ(F₁X).
• 2. Основные понятия и обозначения
• Пусть щ — некоторое непустое множество простых чисел. Тогда через щ ' обозначают дополнение к щ во множестве всех простых чисел.
• Всякую функцию вида f: щ{щ'}{формации групп} называют щ-локальным спутником. Если f — произвольный щ-локальный спутник, то LF_щ(f)= G/G_щd f(щ') и G/F_p(G) f(p) для всех pщ (G), где Gщd — наибольшая нормальная подгруппа группы G, у которой для любого ее композиционного фактора H/K имеет место (H/K)щ Ш, F_p(G) — наибольшая нормальная p-нильпотентная подгруппа группы G, равная пересечению централизаторов всех pd-главных факторов группы G .
• Если формация F такова, что F=LF_щ(f) для некоторого щ-локального спутника f, то говорят, что F является щ-локальной формацией, а f ее щ-локальный спутник. Если при этом все значения f лежат в F, то f называют внутренним щ-локальным спутником.
• Пусть X — произвольная совокупность групп и p — простое число. Тогда полагают, что X (F_p)=form (G/F_p(G) | GX), если p(X), X (F_p)=Ш, если p (X).
• Формация F называется щ-насыщенной, если ей принадлежит всякая группа G, удовлетворяющая условию G /LF, где LФ (G)?O_щ(G).
• Ввиду теоремы 1 [1, c. 118] формация является щ-локальной тогда и только тогда, когда она является щ-насыщенной.
• Через l^щ обозначают совокупность всех щ-насыщенных формаций.
• Полагают l^щformF равным пересечению всех тех щ-насыщенных формаций, которые содержат совокупность групп F.
• Для любых двух щ-насыщенных формаций M и H полагают MH=M?H, а MV^щH=l^щform (MH). Всякое множество щ-насыщенных формаций, замкнутое относительно операций и V^щ, является решеткой. Таковым, например, является множество l^щ всех щ-насыщенных формаций.
• Через F/^щF?H обозначают решетку щ-насыщенных формаций, заключенных между F? H и F. Длину решетки F/^щF?H обозначают |F:F?H |^щ и называют H^щ-дефектом щ-насыщенной формации F.
• щ-Насыщенная формация F называется минимальной щ-насыщенной не H-формацией, если FH, но все собственные щ-насыщенные подформации из F содержатся в H.
• Пусть — некоторое непустое множество простых чисел. Группу G называютспециальной, если в ней существует нильпотентная нормальнаяхоллова подгруппа. Класс всехспециальных групп совпадает с классом N G_'.
• Группу G называютзамкнутой, если она имеет нормальнуюхоллову подгруппу. Класс всехзамкнутых групп, очевидно, совпадает с GG'.
• Группа называетсяразложимой, если она одновременноспециальна и '-замкнута.
• 3. Используемые результаты
• Ниже приведем некоторые известные факты теории формаций, сформулировав их в ввиде следующих лемм.
• Лемма 1. Пусть F=MH, где M и H — формации, причем M=LFp (m) для некоторого внутреннего спутника m. Формация F является p-локальной в том и только том случае, когда выполняется следующее условие: либо p (M), либо формация H является p-локальной. Более того, при выполнении этого условия F=LFp (f), где f (p')=m (p')H и f (p)=m (p)H, если p (M), f (p)=h (p), если p (M).
• Следствием теоремы 1.2.25 является следующая
• Лемма 2. Пусть X — полуформация и AF=formX. Тогда если A — монолитическая группа и AX, то в F найдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, …, Nt, M1, …, Mt (t2), что выполняются условия: (1) H/NA, M/N=Soc (H/N); (2) N1??? Nt=1; (3) H/Ni — монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфен M/N; (4) M1??? Mt M.
• Лемма 3. Пусть M и N — нормальные подгруппы группы G, причем MCG (N). Тогда [N](G/M)formG.
• Лемма 4. Пусть F — произвольная щ-насыщенная неразложимая формация. Тогда в F имеется, по крайней мере, одна минимальная щ-насыщенная неразложимая подформация.
• Следствием леммы5.2.8 [3, c. 194] является
• Лемма 5. Пусть F, M, X и H — щ-насыщенные формации, причем F=MVщX. Тогда если m, r и t соответственно Hщ-дефекты формаций M, X и F и m, r<, то t m+r.
• Лемма 6. Решетка всех щ-насыщенных формаций lщ модулярна.
• Лемма 7. Если F=lщformX и f — минимальный щ-локальный спутник формации F, то справедливы следующие утверждения: 1) f (щ ') = form (G/Gщd | GX); 2) f (p)=form (X (Fp)) для все pщ; 3) если F=LFщ (h) и p — некоторый фиксированный элемент из щ, то F=LFщ (f1), где f1(a)=h (a) для всех a (щ{p}){щ'}, f1(p)=form (G | Gh (p)? F, Op (G)=1) и, кроме того, f1(p)=f (p); 4) F=LFщ (G), где g (щ')=F и g (p)=f (p) для всех pщ.
• Лемма 8. Пусть fi — такой внутренний щ-локальный спутник формации Fi, что fi (щ')=Fi, где iI. Тогда F=F1VщF2=LFщ (f), где f=f1V f2.
• Лемма 9. Тогда и только тогда F — минимальная щ-насыщенная неразложимая формация, когда F=lщformG, где G — такая неразложимая монолитическая группа с монолитом P, что (G)?=Ш и либо =(P)?щ=Ш и P совпадает сразложимым корадикалом группы G, либо Ш и выполняется одно из следующих условий: 1) группа P неабелева, причем, если ', то G/P — '-группа, если ={p}, то G/P — p-группа, если же? щШ и ||>1, то G=P — простая неабелева группа; 2) G — группа Шмидта: 3) G=[P]H, где P=CG (P) — минимальная нормальная подгруппа группы G, H — простая неабелева группа, причем ?(H)=Ш.
• Лемма 10 [2, с. 41]. Пусть A монолитическая группа с неабелевым монолитом, M — некоторая полуформация и AformM. Тогда A M.
• Лемма 11. Если формации M и H являются щ-насыщенными, то формация F=MH также является щ-насыщенной.
• Лемма 12. Пусть F — щ-насыщенная формация и f — ее щ-локальный спутник. Если G/Op (G)f (p)?F, то GF.
• Следующая лемма является частным случаем леммы 5.2.7 [3, с. 193].
• Лемма 13. Пусть M, F и H — щ-насыщенная формации и MF. Тогда |M:M?H|щ|F:F?H |щ.
• Лемма 14. Пусть F — произвольная непустая формация и пусть у каждой группы GX F-корадикал GF не имеет фраттиниевых G-главных факторов. Тогда если A — монолитическая группа из form XF, то AH (X).
• 4. Основной результат
• В дальнейшем через X будем обозначать формацию всехразложимых групп, а X-дефект щ-насыщенной формации F называть ееразложимым lщ-дефектом. Заметим, что класс всехразложимых групп совпадает с классом G’G ?NG'.
• Лемма 15. Пусть H — некоторая формация. Тогда формация NщH является щ-насыщенной.
• Доказательство. Пусть F=NщH. Как известно, формация Nщ является насыщенной и, следовательно, щ-насыщенной для всякого непустого множества простых чисел щ. В силу леммы 7 формация Nщ имеет такой внутренний щ-локальный спутник n, что n (p)=1 для любого pщ и n (щ')=Nщ.
• Так как для любого pщ справедливо включение, то применяя лемму 1 заметим, что F — p-локальная формация. Следовательно формация F является щ-локальной или щ-насыщенной. Лемма доказана.
• Лемма 16. Пусть A — простая группа, M и X — некоторые непустые формации. Тогда если AMVX, то AMX.
• Доказательство. Предположим, что AMX=F. Тогда в силу леммы 2 в F найдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, …, Nt, M1, …, Mt (t2), что выполняются условия: (1) H/NA, M/N=Soc (H/N); (2) N1??? Nt=1; (3) H/Ni — монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфен M/N; (4) M1??? Mt M.
• Ввиду леммы 3 имеем [Mi/Ni]((H/Ni)/)form (H/Ni).
• Пусть A — группа простого порядка. Тогда ввиду (1) M/N=H/N — абелев фактор.
• Поэтому CH (M/N)=H. В силу условия (3) CH (Mi/Ni)=CH (M/N)=H. Поскольку =CH (Mi/Ni)/Ni, то (H/Ni)/
• H/CH (Mi/Ni)=H/H=1. Значит, Mi/Niform (H/Ni). Но ввиду (3) H/NiF=MX. Поскольку M и X — формации, то AMi/NiMX.
• Пусть теперь A — простая неабелева группа. Тогда в силу леммы 10 получаем AMX. Лемма доказана.
• Доказательство теоремы 1. Необходимость. Пустьразложимый lщ-дефект формации F равен 1. Так как F не являетсяразложимой формацией, то по лемме 4 в F входит некоторая минимальная щ-насыщенная неразложимая подформация H1. По условию M=X?F — максимальная щ-насыщенная подформация в F. Значит, F=MVщH1.
• Достаточность. Пусть F=MVщH1, где M — щ-насыщеннаяразложимая подформация формации F, H1 — минимальная щ-насыщенная неразложимая подформация F. Понятно, что FX. Пустьразложимые lщ-дефекты формаций F, M и H1 равны соответственно t, m и r. Поскольку M — щ-насыщеннаяразложимая формация, то m=0. Так как H1 — минимальная щ-насыщенная неразложимая формация, то ееразложимый lщ-дефект r равен 1. В силу леммы 5 дляразложимого lщ-дефекта формации F имеет место неравенство tm+r = 0+1 = 1.
• Если t = 0, то F — -разложимая формация, что противоречит условию FX. Таким образом, |F:F?X |щ=1.
• Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы.
• Так как X? H1 — максимальная щ-насыщенная подформация в H1, то, в силу леммы 6, имеет место решеточный изоморфизм
• (((X?H1)VщM)VщH1)/щ ((X?H1)VщM)H1/щH1?((X?H1)VщM) =
• = H1/щ (X?H1)Vщ (H1?M) = H1/щX?H1.
• Следовательно, (X?H1)VщM — максимальная щ-насыщенная подформация в F.
• Тогда, поскольку FX, то всякая щ-насыщеннаяразложимая подформация из F входит в (X?H1)VщM.
• Для доказательства утверждения 2) покажем прежде, что в F нет минимальных щ-насыщенных неразложимых подформаций, отличных от H1. Пусть M1=F?X. Тогда M1 — -разложимая максимальная щ-насыщенная подформация формации F. Предположим обратное, т. е. что в F существует H2 — минимальная щ-насыщенная неразложимая подформация, отличная от H1. Поскольку M1 являетсяразложимой формацией, то H2M1. Значит, F=H2VщM1=H1VщM1.
• Из леммы 9 следует, что Hi=lщformGi, где Gi — такая неразложимая монолитическая группа с монолитом Pi, что (Gi)?=Ш и либо =(Pi)?щ=Ш и Pi совпадает сразложимым корадикалом группы Gi, либо Ш и выполняется одно из следующих условий: (1) группа Pi неабелева, причем, если ', то Gi/Pi — '-группа, если ={pi}, то Gi/Pi — p-группа, если же? щШ и ||>1, то Gi=Pi — простая неабелева группа; (2) Gi — группа Шмидта; (3) Gi=[Pi]Hi, где Pi=(Pi) — минимальная нормальная подгруппа группы Gi; Hi — простая неабелева группа, причем ?(Hi)=Ш.
• По лемме 7 формации Hi и M1 имеют такие внутренние щ-локальные спутники hi и m соответственно, что hi (a)=form (Gi/Fa (Gi) | GiHi), если aщ?(Gi), hi (a)=Hi, если a=щ', hi (a)=Ш, если aщ (Gi), где i=1,2 и m (a)=form (A/Fa (A) | A M1), если aщ?(M1), m (a)=M1, если a=щ', m (a)=Ш, если aщ (M1).
• Тогда по лемме 8 получаем, что формация F имеет такой щ-локальный спутник f, что f (p)=hi (p)V m (p) для всех p щ и f (щ')=HiVM1=form (H1M1)F.
• Пусть G2 удовлетворяет условию (1), т. е. P2 — неабелева щd-группа. Обозначим через R формацию, равную form (H1M1). Поскольку, по лемме 15, NщR — щ-насыщенная формация и H1M1RNщR, то F=lщform (H1M1) NщR. Но G2 °F. Следовательно G2NщR. Значит, R-корадикал группы G2 содержится в Nщ.
• Пусть G2R 1. Так как R-корадикал — нормальная в G2 подгруппа и P2 — единственная минимальная нормальная подгруппа в G2, верно включение P2GR. Тогда получаем, что P2 — неабелева минимальная нормальная подгруппа в G2, содержится в нильпотентной подгруппе G2R группы G2. Противоречие.
• Следовательно, G2R=1. Поэтому G2R=form (H1M1). Применяя теперь лемму 10, имеем G2H1M1. Тогда, так как G2M1, то G2H1. Поэтому H2=lщformG2H1.
• Поскольку H2 — минимальная щ-насыщенная не X-формация, то H1=H2. Противоречие.
• Пусть группа G2 удовлетворяет условию (2), т. е. G2 является группой Шмидта и P2 — щd-группа. Поскольку для любой группы A имеет место lщformA=lщform (A/Ф (A)?Oщ (A)), то группу Gi (i=1,2) можно считать группой Шмидта с тривиальной подгруппой Фраттини, т. е. Gi=[Pi] Hi, где группа Hi имеет простой порядок qi, Pi=(Pi) — минимальная нормальная pi-подгруппа группы Gi.
• Так как G2/P2 °F?X=M1, G2M1, то P2=G2M1. Из того, что M1Np2M1 и P2Np2, следует G2Np2M1.
• По лемме 11 формация Np2M1 является щ-насыщенной формацией. Так как H2=lщformG2, то H2Np2M1. Тогда FNp2M1, так как F — наименьшая щ-насыщенная формация, содержащая M1 и H2. Следовательно, G1Np2M1. Поскольку, G1/P1M1 и G1M1, то P1=G1M1 Np2, т. е. P1 является p2-группой. Так как G2 °F, то G2/Fp2(G2)f (p2)=h1(p2)Vm (p2). Но H2G2/P2=G2/Fp2(G2). Поэтому H2h1(p2)Vm (p2).
• Ввиду пункта 18.20. [2], леммы 7 и замечания 1 формация X всехразложимых групп имеет такой максимальный внутренний щ-локальный спутник x, что x (p)=Np, если p? щ и x (p)=G' если pщ.
• Так как m (p2) — внутренний спутник формации M1X, то H2 h1(p2)V m (p2)h1(p2)V x (p2). Заметим также, что h1(p2)=form (G1/Fp2(G1))=formH1. Кроме того p2? щ. Таким образом, H2formH1Vx (p2) = formH1VNp2 = form (formH1Np2). Применяя лемму 16, получаем, что H2formH1Np2.
• Заметим, что G1 удовлетворяет либо условию (2), либо условию (3). Следовательно H1 является простой группой. Поскольку H2 — q2-группа и q2p2, то H2H1.
• Но тогда G2/Op2(G2)=G2/P2H2H1G1/Fp2(G1)h1(p2)H1. Применяя лемму 12, получаем, что G2H1. Следовательно, H1=H2. Противоречие.
• Пусть теперь для группы G2 выполняется условие (3), т. е. G2=[P2]H2, где P2=CG (P2) — минимальная нормальная подгруппа группы G2, H2 — простая неабелева группа, причем ?(H2)=Ш.
• Рассуждая аналогично случаю (2) получаем, что P1 является p2-группой и H2h1(p2)VNp2 = formH1VNp2 = form (formH1Np2). Но H2 — простая неабелева группа. Значит, в силу леммы 16 получаем H2formH1Np2 и H2formH1. Следовательно, H1=H2. Противоречие.
• Пусть теперь P2 — щ'-группа. Заметим, что если P2 — неабелева, то этот случай аналогичен (1). Значит, P2 — абелева p2-группа.
• Рассмотрим формацию H=H1VщH2. Поскольку формация H1 содержится в формации H иразложимый lщ-дефект формации H1 равен 1, то по лемме 13 получаем, что |H:H?X |щ1. С другой стороны, так как HF иразложимый lщ-дефект формации F равен 1, то по лемме 13, |H:H?X |щ1. Значит, -разложимый lщ-дефект формации H равен 1. Поэтому в H существуетразложимая максимальная щ-насыщенная подформация L. Понятно, что L=H?X. Тогда H=LVщH1=LVщH2. Поскольку P2 является абелевой p2-группой и единственной минимальной нормальной подгруппой в G2 такой, что G2/P2L=H?X, то G2L=P2. Это означает, что G2Np2L. Следовательно, H2Np2L. Кроме того, LNp2L. А так как по лемме 11 формация Np2L является щ-насыщенной формацией и H=LVщH2, то HNp2L. Поэтому H=LVщH1Np2L и G1Np2L. Таким образом, аналогично получаем, что P1 является p2-группой.
• Рассмотрим решетку HVщX/щX. Ввиду леммы 6 HVщX/щXH/щX?H=H/щL.
• Таким образом, X является максимальной щ-насыщенной подформацией в HVщX. Тогда H1VщX=HVщX=H2VщX. Значит G1H2VщX. Следовательно, G1lщform (H2X)=lщform ({G2}X)Nщform ({G2}X).
• Так как P1 — p2-группа и p2щ', то G1form ({G2}X). По условию P2=GX. Поэтому P2Ф (G2). Но G1X. Значит, G1form ({G2}X)X. Поскольку для любой группы A из {G2}X, подгруппа AX не содержит фраттиниевых A-главных факторов, то по лемме 14 получаем G1H ({G2}X). Так как G1X и G2/P2X, то G1G2. Следовательно, H1=H2. Противоречие.
• Таким образом, в формации F нет минимальных щ-насыщенных неразложимых подформаций, отличных от H1.
• Пусть теперь F1 — произвольная неразложимая щ-насыщенная подформация из F. Тогда в силу уже доказанного и леммы получаем, что H1F1. Следовательно, применяя лемму 4, получаем F1=F1?F=F1?(H1VщM)=H1Vщ (F1?M). Теорема доказана.
• Приведем некоторые следствия доказанной теоремы.
• Если щ={p}, а — множество всех простых чисел, то из теоремы 1 вытекает
• Следствие 1. В том и только том случае p-насыщенная ненильпотентная формация F имеет нильпотентную максимальную p-насыщенную подформацию, когда F= MVpH, где M — p-насыщенная нильпотентная формация, H — минимальная p-насыщенная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая p-насыщенная нильпотентная подформация из F входит в MVp (H?N); 2) всякая p-насыщенная ненильпотентная подформация F1 из F имеет вид HVp (F1?N).
• Если — множество всех простых чисел, то из теоремы 1 вытекает
• Следствие 2. В том и только том случае щ-насыщенная ненильпотентная формация F имеет нильпотентную максимальную щ-насыщенную подформацию, когда F= MVщH, где M — щ-насыщенная нильпотентная формация, H — минимальная щ-насыщенная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая щ-насыщенная нильпотентная подформация из F входит в MVщ (H?N); 2) всякая щ-насыщенная ненильпотентная подформация F1 из F имеет вид HVщ (F1?N).
• Если щ и равны множеству всех простых чисел, то из теоремы 1 получаем
• Следствие 3. В точности тогда нильпотентный дефект локальной формации F равен 1, когда F=MVlH, где M — нильпотентная локальная формация, H — минимальная локальная ненильпотентная формация, при этом: 1) всякая нильпотентная подформация из F входит в MVl (H?N); 2) всякая ненильпотентная локальная подформация F1 из F имеет вид HVl (F1?N).
• Если щ — множество всех простых чисел, из теоремы 1 вытекает
• Следствие 4. В точности тогдаразложимый дефект локальной формации F равен 1, когда F=MVlH, где M — -разложимая локальная формация, H — минимальная локальная неразложимая формация, при этом: 1) всякаяразложимая подформация из F входит в MVl (H?X); 2) всякая неразложимая локальная подформация F1 из F имеет вид HVl (F1?X).
• 5 Заключение
• В данной работе получено описание неразложимых щ-насыщенных формаций сразложимой максимальной щ-насыщенной подформацией. Результаты работы, являются новыми и связаны с исследованием структурного строения и классификацией частично насыщенных формаций конечных групп. В доказательствах используются методы абстрактной теории групп, общей теории решеток, а также методы теории формаций конечных групп. Результаты работы и методы исследования могут быть использованы при изучении внутреннего строения частично насыщенных формаций.
• Литература
• 1 Скиба, А. Н. Кратно щ-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп / А. Н. Скиба, Л. А. Шеметков // Матем. Труды. -1999. -Т.2, № 2. — С. 114−147.
• 2 Шеметков, Л. А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба. — М.: Наука, 1989. — 256 с.
• 3 Скиба, А. Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба. — Мн.: Беларуская навука, 1997. -240 c.
• 4 Скиба, А. Н. Классификация локальных формаций конечных групп с нильпотентным дефектом 2 / А. Н. Скиба, Е. А. Таргонский // Математ. заметки. -1987. -Т.41, .№ 4. — С. 490−499.
• 5 Джехад, Дж. Классификация p-локальных формаций длины 3: автореф. … дис. канд. физ.-мат. наук: 02.12.01 / Дж. Джехад; Гом. гос. ун-т им. Ф.Скорины. — Гомель, 1996. — 15 с.
• 6 Жевнова, Н.Г. щ-Локальные формации с дополняемыми подформациями: автореф. … дис. канд. физ.-мат. наук: 02.12.01 / Н. Г. Жевнова; Гом. гос. ун-т им. Ф.Скорины. — Гомель, 1997. — 17 с.
• 7 Сафонов, В.Г. О приводимых щ-насыщенных формациях с разрешимым дефектом 2 / В. Г. Сафонов, И. Н. Сафонова // Изв. Гом. гос. ун-та им. Ф.Скорины. — 2005. — № 5(32). — С. 162−165.
• 8 Сафонов, В. Г. Частично насыщенные формации снильпотентным дефектом 1 / В. Г. Сафонов, А. И. Рябченко // Вестн. Мозырьского гос. пед. ун-та. — 2005. — № 2(13). — С. 16−20.
• 9 Сафонова, И.Н. О существовании Hщ-критических формаций / И. Н. Сафонова // Изв. Гом. гос. ун-та им. Ф.Скорины. — 1999. — № 1. — С. 118−126.
• 10 Сафонова, И.Н. К теории критических щ-насыщенных формаций конечных групп / И. Н. Сафонова // Вестн. Полоцк. гос. ун-та. Сер. С. -2004. — № 11. — С. 9−14.