Соответствие структурной модели: оценка гомогенности дисперсий в нескольких выборках

Оценка соответствия полученных данных структурным предположениям однофакторного дисперсионного анализа состоит в проверке двух гипотез.

Первая гипотеза заключается в том, что все эмпирические результаты взяты из популяции данных, распределенных в соответствии с нормальным законом. Эта гипотеза может быть проверена либо с помощью глазомерного метода «нормальной бумаги», либо в результате оценки асимметрии и эксцесса распределения полученных значений, либо каким-то другим методом. Следует, однако, помнить, что при недостаточно большом числе измерений данный тест может оказаться недостаточно точным. Стоит отметить, однако, что, как правило, такие предварительные тесты не требуются.

Вторая гипотеза — производная от первой и состоит в том, что внутригрупповая дисперсия эмпирических данных не зависит от экспериментального воздействия, или, что-то же самое, экспериментальная ошибка не связана с эффектами независимой переменной. Эта гипотеза может быть проверена в случае двухуровневого плана с помощью теста гомогенности дисперсии, описанного в параграфе 3.2. Применение этого теста при двух уровнях независимой переменной аналогично тому, что было описано для теста Стьюдента, который обычно и используется при сравнении средних в двух выборках. Для случаев большего числа уровней независимой переменной разработаны несколько тестов гомогенности дисперсии, которые также рекомендуется использовать при сравнении двух выборок вместо несколько устаревшего F-теста.

Наиболее распространенным тестом, оценивающим однородность дисперсии, является тест Ливиня. Результатом применения этого теста является статистика F. Использование теста Ливиня является предпочтительным по сравнению с аналогичным, но все же несколько устаревшим тестом Бартлетта, рассчитывающим статистику ?2, так как тест Бартлетта может быть слишком чувствительным к нормальности распределения экспериментальных данных. К тому же следует иметь в виду, что использование теста Бартлетта предполагает, что численность групп не может быть меньше трех человек, притом что большинство групп должно включать больше пяти испытуемых.

Также оценка гомогенности дисперсии нескольких выборок может быть выполнена с помощью теста Кокрана, дающего статистику С:

где - максимальное значение внутригрупповой дисперсии во всех группах; - сумма дисперсий по всем группам.

Статистическую надежность полученного результата можно определить с помощью специальных таблиц. При их отсутствии ее можно вычислить на основе значений F-распределения:

где - критическое значение теста для заданного уровня значимости а.

Кроме того, для оценки однородности дисперсии был предложен тест Гартли, вычисляющий статистику F-max на основе сопоставления максимальной и минимальной дисперсий в имеющихся выборках:

Несмотря на то что тест Гартли оперирует с меньшим объемом информации по сравнению с тестом Кокрана, результаты использования этих тестов практически идентичны. Поэтому применение теста Гартли оказывается наиболее удобным в «ручных» вычислениях. Оценка статистической надежности результата, полученного с помощью этого теста, также осуществляется с помощью специальных таблиц.

Заметим, что не все современные статистические пакеты дают возможность применения всех этих тестов. Так, широко известный пакет статистический пакет IBM SPSS Statistics ограничивается лишь тестом Ливиня. Как правило, этого оказывается вполне достаточно.

Также следует подчеркнуть, что вероятность получить отрицательный результат при проведении такого рода оценки может оказаться довольно высокой, особенно в ситуации, когда сравнивается достаточной большое число групп, скажем, восемь или десять. Однако это отнюдь не значит, что метод дисперсионного анализа можно использовать лишь в тех сравнительно редких случаях, когда гипотезы о нормальности распределения и гомогенности дисперсии оказываются высоковероятными. Теоретические расчеты показывают, что даже в случаях, когда асимметрия и эксцесс распределения значительно превосходят граничные значения, а максимальная внутригрупповая дисперсия в несколько раз превосходит минимальную, квантили распределения лишь па доли процента отличаются от квантилей распределения, описывающего построенную на основе экспериментальных данных статистику.

Так, проведенные теоретические исследования показали, что даже при очень незначительном размере групп испытуемых, принявших участие в эксперименте, и трехкратном различии дисперсии в различных генеральных совокупностях отклонения от 5%-ного квантиля для статистики F от теоретически предполагаемого структурной моделью для трехуровневого плана составляют менее 1% (табл. 3.5, п = 5 и k = 3).

Таблица 35

Вероятность, соответствующая 5%-ному квантилю структурной модели однофакторного дисперсионного анализа, при различном соотношении дисперсии (G. Box [17, р. 299]).

Таким образом, дисперсионный анализ для несвязных выборок принято относить к методам, чрезвычайно устойчивым к базовым допущениям. Именно поэтому у исследователя, как правило, не возникает серьезной необходимости отказываться от использования этого метода в пользу других существующих в математической статистике методов.