Использование метода простой линейной регрессии в оценке пространственного порога тактильной чувствительности

При измерении пространственного порога тактильной чувствительности с помощью психофизического метода постоянных раздражителей (Ч. А. Измайлов, М. Б. Михалевская [9]) на занятиях общего психологического практикума одним из студентов были получены результаты, представленные в табл. 7.6.

Таблица 7.6

Результаты измерения пространственною порога тактильной чувствительности методом констант

Как известно, метод постоянных раздражителей, иначе называемый методом частот, предполагает построение психофизической функции в линейных и нормальных координатах. На основе этой функции рассчитывается значение порога и оценивается диапазон его флуктуации. Чаще всего это можно осуществить с помощью простейших процедур линейной и нормальной интерполяции, предполагающих соединение соседних точек психофизической функции, полученных на основе экспериментальных данных с помощью прямых линий. Пример такой функции в нормальных координатах, построенной по имеющимся у нас данным, представлен на рис. 7.3.

Такой способ оказывается оптимальным только в случае нормальной интерполяции данных и только тогда, когда все точки психофизической функции, построенной в нормальных координатах, оказываются на одной прямой. Это идеальный случай. На практике точного соответствия прямолинейной зависимости между величинами стимулов и z-значениями вероятности их обнаружения достичь, как правило, не удается (см. рис. 7.3). В результате даже при использовании способа нормальной интерполяции данных неминуемо возникает пусть и небольшая, но все же ошибка измерения.

Рис. 7.3. Психофизическая функция в нормальных координатах.

Выходом из этой ситуации может быть применение метода простой линейной регрессии. Согласно этому методу можно осуществить более точный расчет психофизической функции, по теоретическим значениям которой можно, в свою очередь, более точно оценить значение сенсорного порога и диапазон его флуктуации.

Для построения уравнения линейной регрессии прежде всего необходимо оценить значение корреляции между величиной стимула и соответствующим ему z-значением вероятности. Для этого воспользуемся формулой Пирсона, преобразованной для «ручных» вычислений:

Как видно, нам нужно отдельно посчитать пять сумм: сумму самих значений по каждой переменной, сумму их квадратов и сумму произведений каждой нары значений. Результаты таких расчетов представлены в табл. 7.7.

Таблица 7.7

Расчет коэффициента корреляции по формуле Пирсона

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу (7.5) для подсчета коэффициента корреляции. Имеем:

Этот же результат мы могли бы получить значительно быстрее, имея в распоряжении процессор электронных таблиц MS Excel пакета MS Office или его аналог в других офисных приложениях. В MS Excel для расчета коэффициента корреляции необходимо воспользоваться функцией КОРРЕЛ (рис. 7.4).

Далее проводим вычисление коэффициентов регрессии А и В по формулам, представленным в параграфе 7.2:

Рис. 7.4. Вычисление коэффициента корреляции в MS Excel

Для вычисления наклона В нам необходимы значения стандартного отклонения для обеих наших переменных, а для вычисления константы А еще понадобятся средние значения по этим переменным. Проведем эти вычисления способами, подробно описанными в гл. 1. Результаты сделанных вычислений представлены в табл. 7.8.

Таблица 7.8

Расчет средних значений стимулов и z-трансформаций для значений вероятности их обнаружения.

На основе полученных значений легко рассчитать требуемые коэффициенты регрессии:

Значение наклона В можно рассчитать и не вычисляя величин стандартного отклонения. Для этого можно воспользоваться следующей формулой:

Тот же результат можно значительно быстрее получить, воспользовавшись функцией ЛИНЕЙН в Microsoft Excel. Поскольку эта функция возвращает массив значений, функция должна задаваться в виде формулы массива (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Вычисление коэффициентов линейной регрессии в MS Excel

Таким образом, интересующее нас уравнение линейной регрессии будет иметь следующий вид:

Наглядно полученная зависимость представлена на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Психофизическая функция в нормальных координатах, рассчитанная с помощью процедур простой линейной регрессии.

Воспользовавшись полученным уравнением, можно рассчитать значение сенсорного порога:

Сравним это значение с тем, что можно получить, воспользовавшись методом нормальной интерполяции, основываясь на значениях психофизической функции, представленной на рис. 7.3. Значение сенсорного порога в этом случае можно определить по формуле.

где Sl — величина стимула, чуть ниже порога; Sh — величина стимула выше порога; zl и zh - соответствующие величины z-трансформации вероятности обнаружения этих стимулов.

В нашем случае Sl = 25; Sh = 30; zl = -0,52; zh = 0,05. Подставляя эти значения в формулу интерполяции порогового значения, имеем.

Как видим, имеет место хотя и незначительное, но все же заметное отличие величин порога, рассчитанных двумя разными способами. И это при том, что коэффициент корреляции между значениями величин стимулов и величинами z-трансформаций вероятности их обнаружения превышает 0,99. В случае, когда такой коэффициент корреляции оказывается много меньше, различия могут оказаться значительно более выраженными.

В заключение оценим величину стандартного отклонения для величины порога с помощью метода простой линейной регрессии и способа нормальной интерполяции (табл. 7.9). Как видно, и в этом случае получаемые величины оказываются несколько отличными друг от друга.

Таблица 7.9

Величины рассчитанные методом простой линейной регрессии и способом нормальной интерполяции

Оцениваемое значение.	Линейная регрессия.	Нормальная интерполяция.
	20,09.	19,88.
	38,27.	37,95.
Стандартное отклонение.	9,09.	9,04.