Некоторые прикладные и теоретические модели микро-и макроэкономических процессов

• — Моделирование спроса и потребления
• — Модели управления запасами
• — Моделирование систем массового обслуживания
• — Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов
• — Динамические модели макроэкономики

После изучения материала этой главы студенты должны:

знать

• • общие подходы к моделированию потребления и спроса и основные типы функций покупательского спроса;
• • принципиальные системы и модели управления запасами;
• • основные типы систем массового обслуживания (СМО) и методы расчета их характеристик;
• • элементы теории игр и особенности применения этой теории в экономических исследованиях;
• • структуру основных динамических макроэкономических моделей и системы предположений, лежащих в их основе;

уметь

• • использовать конкретные функции покупательского спроса для анализа и прогнозирования этого спроса;
• • решать задачи управления запасами при различных предположениях о размере заказа и его периодичности;
• • находить основные характеристики СМО различных типов;
• • применять элементы теории игр для принятия решения в условиях неопределенности и риска;
• • формулировать основные виды макроэкономических моделей (Кейнса, Самуэльсона — Хикса, Солоу);

владеть

• • понятийными аппаратами моделей спроса и потребления, управления запасами, систем массового обслуживания, а также основными элементами теории игр;
• • навыками моделирования макроэкономических процессов.

Моделирование спроса и потребления

Целевая функция потребления и моделирование поведения потребителей

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.

Уровень удовлетворения материальных потребностей общества (уровень потребления) можно выразить целевой функцией потребления U = U(Y), где вектор переменных Y > 0 включает разнообразные виды товаров и услуг. Ряд свойств этой функции удобно изучать, используя геометрическую интерпретацию уравнений U(Y) = С, где С — меняющийся параметр, характеризующий значение (уровень) целевой функции потребления; в качестве величины С может выступать, например, доход или уровень материального благосостояния.

В пространстве потребительских благ каждому уравнению U(Y) = С соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания (y1) и непродовольственные товары, включая услуги (y2). Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям С (рис. 8.1, где С1 < С2 < С3).

Будем далее пользоваться термином «кривые безразличия» вне зависимости от размерности пространства потребительских благ (количества групп товаров).

Из основных свойств целевой функции потребления отметим следующие:

1) функция U(Y) является возрастающей функцией всех своих аргументов, т. е. увеличение потребления любого блага при неизменней уровне потребления всех других благ увеличивает значение данной функции. Поэтому более удаленная от начала координат кривая безразличия соответствует большему значению целевой функции потребления,.

Рис. 8.1

а сам процесс максимизации этой функции на некотором ограниченном множестве допустимых векторов Y можно интерпретировать как нахождение допустимой точки, принадлежащей кривой безразличия, максимально удаленной от начала координат;

• 2) кривые безразличия не могут пересекаться, т. е. через одну точку пространства благ (товаров, услуг) можно провести только одну поверхность безразличия. В противном случае один и тот же набор благ одновременно соответствовал бы нескольким разным уровням материального благосостояния;
• 3) кривые безразличия имеют отрицательный наклон к каждой оси координат, при этом абсолютный наклон кривых уменьшается при движении в положительном направлении, но каждой оси, т. е. кривые безразличия являются выпуклыми кривыми.

Методы построения целевой функции потребления основаны на обобщении опыта поведения потребителей и тенденций покупательского спроса в зависимости от уровня благосостояния. В качестве примера приведем квадратичную целевую функцию потребления для трех агрегированных групп товаров, построенную на основе обработки данных бюджетной статистики:

где:

параметр а означает число детей в семье;

- потребление продуктов питания;

- потребление промышленных товаров;

- потребление платных услуг (в стоимостном выражении).

Перейдем к вопросу моделирования поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений па базе целевой функции потребления. В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что потребители, осуществляя выбор товаров при установленных ценах и имеющемся доходе, стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей.

Пусть в пространстве п видов товаров исследуется поведение совокупности потребителей. Обозначим спрос потребителей через вектор , а цены на различные товары — через вектор . При величине дохода D потребители могут выбирать только такие комбинации товаров, которые удовлетворяют бюджетному ограничению . Предположим, что предпочтение потребителей на множестве товаров выражается целевой функцией потребления U(Y). Тогда простейшая модель поведения потребителей в векторной форме записи будет иметь вид:

(8.1).

Геометрическая интерпретация модели (8.1) для двух агрегированных групп товаров представлена на рис. 8.2.

Линия АВ (в других вариантах AXBV А2В2) соответствует бюджетному ограничению и называется бюджетной линией (см. более подробно в параграфе 8.2). Выбор потребителей ограничен треугольником АОВ (A1OB1, А2ОВ2). Набор товаров М, соответствующий точке касания прямой АВ с наиболее отдаленной кривой безразличия, является оптимальным решением (в других вариантах это точки К и L). Легко заметить, что линии АВ и А1В1 соответствуют одному и тому же размеру дохода и разным ценам на товары и ; линия А2В2 соответствует большему размеру дохода.

Рис. 8.2

Опираясь на некоторые выводы теории нелинейного программирования, можно определить математические условия оптимальности решений для модели (8.1). С задачей нелинейного программирования связывается так называемая функция Лагранжа, которая для задачи (8.1) имеет вид.

где множитель Лагранжа? является оптимальной оценкой дохода.

Обозначим частные производные функции U(Y) через : . Эти производные интерпретируются как предельные полезные эффекты (предельные полезности) соответствующих потребительских благ и характеризуют прирост целевой функции потребления при увеличении использования i-го блага (товара) на некоторую условную «малую единицу» .

Необходимыми условиями того, что вектор будет оптимальным решением, являются условия Куна — Таккера:

при этом.

(8.2).

Последнее из соотношений (8.2) соответствует полному использованию дохода, и для этого случая очевидно неравенство . Из условий оптимальности (8.2) следует, что.

Это означает, что потребители должны выбирать товары таким образом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было одинаковым для всех приобретаемых товаров. Другими словами, в оптимальном наборе предельные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.