Геометрическая характеристика плоских поперечных сечений

Контрольная работа Тема 3

Геометрическая характеристика плоских поперечных сечений

1. Основные определения

2. Преобразование геометрических характеристик при параллельном переносе осей

3. Геометрические характеристики простейших фигур

4. Геометрические характеристики сложных составных поперечных сечений

5. Изменение моментов инерции при повороте осей

6. Главные оси инерции и главные моменты инерции Литература

1. Основные определения геометрический фигура ось сечение При дальнейшем изучении вопросов прочности, жесткости и устойчивости нам придется иметь дело с некоторыми геометрическими характеристиками поперечного сечения, которые дополняют известные геометрические характеристики — характерный линейный размер и площадь поперечного сечения. Такими дополнительными характеристиками являются: статические моменты, моменты инерции и моменты сопротивления.

Рис. 1. К определению геометрических характеристик сечения

d, l, b, h [м]

А [м2]

Sx, Sy [м3]

Ix, Iy, Ixy [м4]

1) Статический момент сечений. Статическим моментом сечения (фигуры) относительно какой-либо оси (рис. 3.2) называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида

[ м3] (3.1)

Рис. 2. К определению статического момента сечения

Единицей статического момента является единица длины в третьей степени. Статический момент может быть положительным, отрицательным и, в частности, он может быть равным нулю. Аналогичную зависимость можно получить и для статического момента сечения (фигуры) относительно оси

. [ м3] (3.2)

Если отождествить площадь с силой, действующей перпендикулярно плоскости чертежа, то интеграл (3.1) можно рассматривать как сумму моментов этих сил относительно оси Ох. По известной из теоретической механике теореме о моменте равнодействующей можно записать

(3.3)

где — площадь всей фигуры (равнодействующая); - расстояние от центра тяжести фигуры до Ox; - расстояние от центра тяжести фигуры до Oy.

Из формулы (3.3) следуют зависимости для определения координат центра тяжести

(3.4)

Центр тяжести обладает тем свойством, что если тело опереть в этой точке, то оно будет находиться в равновесии.

Из формул (3.3) следует, что если оси x и y проходят через центр тяжести фигуры, то статический момент фигуры относительно этих осей равен нулю. Такие оси принято называть главными осями.

Если фигуру можно представить в виде отдельных простых фигур (квадратов, треугольников и т. д.), для которых известны положения центров тяжести, то в этом случае статический момент всей фигуры можно получить как сумму статических моментов этих простейших фигур. Это непосредственно следует из свойств определенного интеграла.

Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось всегда проходит через центр тяжести фигуры, а поэтому статический момент фигуры относительно оси симметрии всегда равен нулю.

Во многих случаях вместо простых интегралов вида (3.1) и (3.2) удобнее иметь дело с двойными интегралами вида

(3.5)

(3.6)

Здесь — область интегрирования.

2) Осевой момент инерции. Осевым или экваториальным момент инерции сечения называется геометрическая характеристика, численно равная интегралу:

Относительно оси

(3.7)

Относительно оси

(3.8)

где — расстояние от элементарной площадки до оси (см. рис. 3.2), — расстояние от элементарной площадки до оси .

3) Полярный момент инерции. Полярным моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида

(3.9)

где — расстояние от элементарной площадки до начала координат (полюса), относительно которой вычисляется полярный момент инерции.

Осевой и полярный моменты инерции всегда положительны. Действительно, независимо от знака координаты произвольной площадки соответствующее слагаемое положительно, так как в него входит квадрат этой координаты.

4) Центробежный момент инерции. Центробежным моментом инерции сечения называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида

(3.10)

Единицей момента инерции является единица длины в четвертой степени (по СИ — м4, хотя для прокатных профилей по ГОСТу см4).

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и в частном случае равным нулю.

Если две взаимно перпендикулярные оси и или одна их них является осями симметрии фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю. Действительно, для симметричной фигуры всегда можно выделить два элемента её площади (рис. 3.3), которые имеет одинаковые ординаты и равные, но противоположные по знаку абсциссы. Составляя сумму произведений для таких элементов, то есть, вычисляя интеграл (3.10), получают в результате нуль.

Легко доказать, что полярный момент инерции относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Действительно Подставив это значение в выражение (3.9), получим

(3.11)

Следовательно

. (3.12)

Рис. 3. Центробежный момент инерции относительно осей симметрии

5) Моменты сопротивления. Моменты сопротивления являются геометрической характеристикой сечения, которая используется в практических расчетах для определения напряжений при различных видах деформирования. Моменты сопротивления измеряются в м2. Для вычисления этих моментов необходимо выделить наиболее удаленные от осей и начала координат точки (xmax, ymax, max)

Например,

1. xmax: -осевой момент сопротивления относительно оси y;

2. ymax: -осевой момент сопротивления относительно оси x;

3. -полярный момент сопротивления.

2. Преобразование геометрических характеристик при параллельном переносе осей

Определим момент инерции фигуры относительно какой-либо оси (рис. 3.4).

Пусть — центральная ось и момент инерции известен. Из чертежа видно. Следовательно Первый интеграл дает площадь поперечного сечения. Второй интеграл, представляющий статический момент относительно центральной оси равен рулю.

Рис. 4. Параллельный перенос осей

Третий интеграл представляет собой момент инерции относительно оси. Таким образом

(3.13)

и относительно ортогональной оси

. (3.14)

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Из формул (4.13) и (3.14) видно, что момент инерции относительно центральной оси меньше, чем момент инерции относительно любой нецентральной оси, которая параллельно центральной.

Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

3. Геометрические характеристики простейших фигур

1. Круглое сечение. Сначала определим полярный момент инерции относительно центра круга (рис. 3.5)

Рис. 5. Определение моментов инерции круглого сечения

. (3.15)

Теперь легко найдем. Действительно, для круга согласно формуле (3.11) имеем, откуда

(3.16)

2. Кольцевое сечение. Осевой момент инерции в этом случае равен разности моментов инерции внешнего и внутреннего кругов (рис. 3.6)

Рис. 6. Определение моментов инерции кольцевого сечения геометрический фигура ось сечение

(3.17)

где

Аналогично полярный момент инерции

(3.18)

Для определения соответствующих моментов сопротивления можно использовать следующие формулы

(3.19)

3. Прямоугольное поперечное сечение. Вычислим момент инерции сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести параллельно основанию (рис. 3.7). За примем площадь бесконечно тонкого слоя Тогда

. (3.20)

Рис. 7. Определение моментов инерции прямоугольного сечения Аналогично, получим

(3.21)

Осевые моменты сопротивления можем вычислить по формулам

. (3.22)

4. Треугольное поперечное сечение. Определим момент инерции относительно оси, параллельной основанию и проходящей через вершину треугольника:

Рис. 8. Определение моментов инерции треугольного сечения

За примем площадь бесконечно тонкой трапеции. Её площадь можно считать равной площади прямоугольника, где — длина основания прямоугольника.

Легко получить из подобия треугольников; тогда

(3.23)

Определим момент инерции относительно центральной оси; для этого используем формулу (3.13)

(3.24)

Определим момент инерции относительно оси, проходящей через основание:

(3.25)

5. Полукруглое поперечное сечение. Определим координаты центра тяжести сечения, имеющего форму полукруга радиуса .

Центр тяжести сечения находится на оси симметрии, следовательно, надо найти лишь одну координату (рис. 3.9).

Определим статический момент сечения:

Рис. 9. Геометрические характеристики полукруглого сечения

.

Разобьем сечение на бесконечно тонкие полоски шириной и толщиной, которые можно рассматривать как элементарные прямоугольники. Тогда

.

Выразим координаты и через радиус и угол :

найдем, взяв дифференциал правой части выражения для :

.

После подстановки и в выражение для и интегрирования получаем:

.

Координату найдем по формуле (3.4)

.

Главными центральными осями полукруга являются ось симметрии и перпендикулярная ей ось. Совершенно очевидно, что момент инерции полукруга вдвое меньше, чем момент инерции круга относительно той же оси:

.

То же значение имеет момент инерции относительно оси :

.

Воспользовавшись зависимостью (3.13) и найденным значением ординаты центра тяжести полукруга, получим

.

4. Геометрические характеристики сложных составных поперечных сечений

Если поперечное сечение образовано совокупностью простейших, то в соответствии со свойствами определенных интегралов геометрическая характеристика такого сечения равна сумме соответствующих характеристик отдельных составных сечений (рис. 3.10).

Рис. 10. Определение геометрических характеристик сложных

составных поперечных сечений Таким образом, для вычисления моментов инерции сложной фигуры необходимо разбить её на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур и затем просуммировать эти моменты инерции

(3.26)

5. Изменение моментов инерции при повороте осей Найдем зависимость межу моментами инерции относительно осей и моментами инерции относительно осей, повернутых на угол (рис. 3.11). Пусть и положительный угол отсчитывается от оси против часовой стрелки.

Рис. 11. Поворот осей координат

Для решения поставленной задачи найдем зависимость между координатами бесконечно малой площадки в исходных и повернутых осях

(3.27)

Теперь определим моменты инерции относительно осей

. (3.28)

Аналогично

. (3.29)

Для центробежного момента

. (3.30)

Складывая (3.28) и (3.29), получаем

(3.31)

Вычитая (3.28) из (3.29), получаем

(3.32)

Формула (3.31) показывает, что сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте.

Формула (3.32) может быть использована для вычисления центробежного момента инерции относительно осей по известным осевым моментам инерции относительно осей и .

6. Главные оси инерции и главные моменты инерции

При изменении угла (рис. 3.10) моменты инерции (3.280 — (3.31) изменяются. Найдем значение угла, при котором и имеют экстремальное значение. Для этого возьмем от и первую производную по и приравниваем ее нулю:

или

откуда

(3.33)

Эта формула определяет положение двух осей, относительно которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой минимален. Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции.

Значения главных моментов инерции найдем из формул (3.28) и (3.29, подставив в них из формулы (3.33), при этом используем известные формулы тригонометрии для функций двойных углов. После преобразования получим формулу для определения главных моментов инерции:

= (3.34)

Покажем теперь, что относительно главных осей центробежный момент инерции равен нулю. Действительно, приравнивая по формуле (3.30) нулю, получаем

откуда для вновь получается формула (3.33)

.

Таким образом, главными осями называют оси, обладающие следующими свойствами:

Центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю.

Моменты инерции относительно главных осей имеют экстремальные значения (относительно одной — максимум, относительно другой — минимум).

Главные оси, приходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Это следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю.

1.Александров Анатолий Васильевич и др. Сопротивление материалов: Учебник для ст-тов вузов/ А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин; под ред. А. В. Александрова. — 2-е изд., испр. — М.: Высшая школа, 2010. — 559 с.

2.Гафаров Радик Хайдарович. Что нужно знать о сопротивлении материалов: Учебное пособие для вузов обуч. по направлениям подгот. и спец. в области техники и технологии/ Р. Х. Гафаров, В. С. Жернаков; под ред. В. С. Жернакова. — М.: Машиностроение, 2011. — 275 с.

3.Феодосьев Всеволод Иванович. Сопротивление материалов: Учебник для студ-ов высш.техн.учеб.зав./ В. И. Феодосьев. — 10-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. — 588 с.