ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
ΠΠΎΠ΄ ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡΡ. Π’Π°ΠΊ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡ — ΡΠ΅Π»ΠΎ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡΡ Ρ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΌ ΠΊΡΡΠ³Π»ΡΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ. ΠΡΠ± — ΡΠ΅Π»ΠΎ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π³ΡΠ°Π½ΡΠΌΠΈ, ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π΄ΠΈΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ; Π² ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠ°ΡΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΎΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ-Π³ΡΠΌΠ°Π½ΠΈΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΡΡ (ΡΠΈΠ»ΠΈΠ°Π») Π°Π²ΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΠ΅Π½ΠΈΠ½Π³ΡΠ°Π΄ΡΠΊΠΈΠΉ Π³ΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅Ρ ΠΈΠΌ. Π. Π‘. ΠΡΡΠΊΠΈΠ½Π° Π€Π°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Ρ: ΠΠ€Π ΠΠ£Π Π‘ΠΠΠΠ― Π ΠΠΠΠ’Π ΠΠΈΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½Π°: ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
Π‘ΡΡΠ΄Π΅Π½Ρ: ΠΡΠ·Π²Π΅ΡΠΎΠ² Π. Π.
3-Π³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ° ΠΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»Ρ:
ΠΠ³Π½Π°ΡΡΠ΅Π²Π° Π. Π.
ΠΠ°ΡΡΠΈΠ½Π°
ΠΠ»Π°Π½
1. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ
2. Π‘ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΡ
3. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
4. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π½Π° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ — ΡΡΠΎ Π½Π°ΡΠΊΠ° ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ. Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ «Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ» Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅, Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄Π΅ Π½Π° ΡΡΡΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ·ΡΠΊ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ «Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠ΅ΡΠΈΠ΅». Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ Π½Π°ΡΠΊΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΎ Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ Π² Π΄ΡΠ΅Π²Π½Π΅Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»ΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ Π½Π° Π·Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π»Π°: ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠ»Π°, ΡΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΡΡΠ°, ΡΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ ΡΡΡΠ±Ρ. ΠΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎ. ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ½ΠΊΡΡ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΊΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΈ ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ Π΅Ρ Π² ΠΌΡΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅Π½Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π΅Ρ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Π½Ρ, ΡΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π² ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ «ΠΊΠΎΠ»ΡΡΠ΅» Π·Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ½ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ΠΉ ΠΌΡΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΊΠΎΠΉ. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ½ΠΊΡΡ ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΊΡ (Π½ΠΎ Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΠ»ΡΠΈΠ½Ρ).
ΠΠ°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡΠ°Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ — ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ. ΠΡΡΠΌΠ°Ρ m, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ°Ρ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ Π΅Ρ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ — ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ; ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ, Π — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π° Π — Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΠ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ m ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π‘, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ, Π ΠΈ Π.
ΠΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊ: ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΠΠ‘ ΠΈΠ»ΠΈ PQR ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»ΡΠ°Π²ΠΈΡΠ°: a, b, g, d…
ΠΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ³ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (Π° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅) ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ²: ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΠΏΡΡΠΌΡΡ , Π»ΡΡΠ΅ΠΉ, ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² (ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ).
ΠΠΎΠ΄ ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡΡ. Π’Π°ΠΊ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡ — ΡΠ΅Π»ΠΎ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡΡ Ρ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΌ ΠΊΡΡΠ³Π»ΡΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ½ΠΈΠ·Ρ. ΠΡΠ± — ΡΠ΅Π»ΠΎ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π³ΡΠ°Π½ΡΠΌΠΈ, ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π΄ΠΈΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ; Π² ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ (ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ), Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΡ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. Π ΡΡΠ΅ΡΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ ΠΈ ΡΠ΅Π».
1. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ — ΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. Π‘ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° Π΅ΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ (Ρ.Π΅. ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ), ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠ² ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°. ΠΡΡΡΡ PO AB ΠΈ AO = OB:
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΎΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ P, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΡΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ PO, Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠ² A ΠΈ B ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° AB ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ d. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ: ΠΎΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠ² ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. ΠΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ — ΡΡΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ (Ρ.Π΅. ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ), ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΎΡ Π΅Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ° (ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ — Π).
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ r ΠΈΠ»ΠΈ R. Π§Π°ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΡΡΠ³ΠΎΠΌ. Π§Π°ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ AmB, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΡΠ³ΠΎΠΉ. ΠΡΡΠΌΠ°Ρ PQ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΠΈ M ΠΈ N ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ΠΉ, Π° Π΅Ρ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ MN, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ — Ρ ΠΎΡΠ΄ΠΎΠΉ. Π₯ΠΎΡΠ΄Π°, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΡΡΠ³Π° Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, BC Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ d ΠΈΠ»ΠΈ D. ΠΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ — ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ Ρ ΠΎΡΠ΄Π°, ΡΠ°Π²Π½Π°Ρ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ°ΠΌ (d = 2r). ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π΄Π°Π½Π° ΡΠΎΡΠΊΠ°, Π (7; 3; 5); ΡΡΠ° Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ°, Π ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Ρ = 7, Ρ = 3, z = 5. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π± Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΆΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½, ΡΠΎ ΠΎΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠΈ Ρ ΠΎΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΠΠ₯, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ 7 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ°ΠΌ, ΠΈ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΡ , ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ ΠΠ₯Π' = 3 Π΅Π΄. ΠΈ ΠΠ₯Π" = 5 Π΅Π΄. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π' ΠΈ Π". ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡΡ Ρ . ΠΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΠΎΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ Π·Π° ΠΎΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΠΠ₯ — Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π, ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΠ₯Π' - Π΅Π΅ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ, ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΠ₯Π" - Π°ΠΏΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°ΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΠΈΡΡ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΠ°, ΡΠΎ ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡΡΠΌΠΈ Ρ ΠΈ z. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅. ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ, ΡΠΎ ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΈΠΌΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΡ ΠΈ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΡΠΌΡΡ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΈ z (ΡΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΠ). ΠΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ _ ΠΈ _, Π³Π΄Π΅ _ - Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΠ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ, ΡΠΎ ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°. Π’ΠΎΡΠΊΠ° Π, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ _ Π΅ΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΠ΅, _ - ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ ΠΈ _ - ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π°ΠΏΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°ΡΠ΅. Π’ΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡΡ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Π²ΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΎΠΊΡΠ°Π½ΡΠΎΠ². Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ; Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
2. Π‘ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΡ
Π‘ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ. ΠΡΡΡΡ, ΡΠ΅ΡΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ, Π½Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΡ X, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΡΡ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ, Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° F1, Π° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ, Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ° F2. ΠΡΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° X ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ F1 ΠΈ F2 Ρ. Π΅. ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ (ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΠΈΠ· ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΈ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ), ΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡΡΡΡΡ Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΡ X.
ΠΠΎΠΌΠ°Π½ΠΎΠΉ Π1Π2Π3…An Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π1, Π2, …, An ΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠΈΡ ΠΈΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π1A2, A2A3, …, An-1, An. Π’ΠΎΡΠΊΠΈΠ1, Π2, …, Πn Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΠΎΠΉ, Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ A1A2, A2A3, …, An-1, An — Π·Π²Π΅Π½ΡΡΠΌΠΈ Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΠΎΠΉ. ΠΠΎΠΌΠ°Π½Π°Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ (ΡΠΈΡ. 1).
Π ΠΈΡ. 1
Π1A2A3A4 — ΠΏΡΠΎΡΡΠ°Ρ Π»ΠΎΠΌΠ°Π½Π°Ρ ΠΈΠ· ΡΡΡΡ Π·Π²Π΅Π½ΡΠ΅Π².
ΠΠΎΠΌΠ°Π½Π°Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π½Π΅Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. ΠΡΠΎΡΡΠ°Ρ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΠ°Ρ Π»ΠΎΠΌΠ°Π½Π°Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΅Ρ ΡΠΎΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π·Π²Π΅Π½ΡΡ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΠ΅ΡΡΠΈΠ½Ρ Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΠΎΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π° Π·Π²Π΅Π½ΡΡ Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΠΎΠΉ — ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠΎΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠΌΠΈ. ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Ρ n-Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΈ Ρ n-ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ n-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ.
ΠΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ.
ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ (ΡΠΈΡ. 2). ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ (ΡΠΈΡ. 3).
Π ΠΈΡ. 2
Π ΠΈΡ. 3
ΠΡΠΏΡΠΊΠ»ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ ΡΠ°Π²Π½Ρ.
ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ Π² ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅. ΠΡ Π½Π°Π΄ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΡ, ΠΈ Π°ΡΡ ΠΈΡΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΈ Ρ ΡΠ΄ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊΡ. ΠΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΌ, Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ Π½Π°Π΄ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌ.
ΠΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ — ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
Π€ΠΈΠ³ΡΡΠ° — ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. Π’ΠΎΡΠΊΠ°, ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, Π»ΡΡ, ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ, ΠΊΡΡΠ³, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ — Π²ΡΡ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ. ΠΡΠΈΠΌ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°ΠΌ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ Π½Π΅ Π΄Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ (ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ), ΠΊΠ°ΠΊ «Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ», «ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ», «ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π·…» ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.
ΠΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°ΠΌ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡΠΌ Π΄Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΈ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡΠΌ.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΡΡΠ° ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ (ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ): Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ, Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ, Π³ΡΡΠΏΠΏΠΎΠ²ΠΎΠΉ.
ΠΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
1) Π΄Π°ΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ (Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ);
2) Π²Π²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ (ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡΠΌΠΈ — «Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ», «ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ» ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅);
3) Π΄Π°ΡΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ — ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π°;
4) Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌ ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ.
ΠΠΊΡΠΈΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π° Π²ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌ — Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ. Π Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΠΌ ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅:
1. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π±Ρ Π½ΠΈ Π±ΡΠ»Π° ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π΅ΠΉ.
Π§Π΅ΡΠ΅Π· Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΡ, ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρ.
2. ΠΠ· ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ.
3. ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, Π±ΠΎΠ»ΡΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΠ»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠ½ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ.
4. ΠΡΡΠΌΠ°Ρ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
5. ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΡ Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡ, Π±ΠΎΠ»ΡΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ. Π Π°Π·Π²ΡΡΠ½ΡΡΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» ΡΠ°Π²Π΅Π½ 180Β°. ΠΡΠ°Π΄ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠ³Π»Π° ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ², Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠ½ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΡΠΌ Π»ΡΡΠΎΠΌ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ.
6. ΠΠ° Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ Π»ΡΡΠ΅ ΠΎΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½.
7. ΠΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΡΡΠ° Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΉ, ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΉ 180Β°, ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½.
8. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ² Π±Ρ Π½ΠΈ Π±ΡΠ» ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π΅ΠΌΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΡΡΠ°.
9. Π§Π΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡΡ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ.
3. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΎΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΡΠ³Π»Π°, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π±ΠΈΡΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π° (ΡΠΈΡ. 4). ΠΠ = AT, Π³Π΄Π΅, Π — Π»ΡΠ±Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π½Π° Π±ΠΈΡΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅.
Π ΠΈΡ. 4.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΎΡ Π΄Π²ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΡ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΈ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Ρ (ΡΠΈΡ. 5). MA = MB, Π³Π΄Π΅ Π — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΠΠ.
Π ΠΈΡ. 5.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠ΄Π°Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΎΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (ΡΠΈΡ. 6). Π’ΠΎΡΠΊΠ° Π ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
Π ΠΈΡ. 6.
ΠΠ΅ΡΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°.
Π¦Π΅Π½ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΠ² ΠΊ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Ρ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ (ΡΠΈΡ. 7). Π, Π, Π‘ — Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ = ΠΠ ΠΈ ΠΠ = ΠΠ‘.
Π’ΠΎΡΠΊΠΈ Π ΠΈ Π — ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΠ² ΠΊ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ ΠΠ ΠΈ ΠΠ‘ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
Π ΠΈΡ. 7.
ΠΠ΅ΡΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ.
Π¦Π΅Π½ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΈΡΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡ (ΡΠΈΡ. 8). Π β‘™ABC ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ AT ΠΈ Π‘Π ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π±ΠΈΡΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ.
Π ΠΈΡ. 8.
4. ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π½Π° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ
1. ΠΠ²Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅ΡΠ° ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠ² r1 ΠΈ r2 ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ l. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ M ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ :ΠΡΡΡΡ O1 ΠΈ O2 — ΡΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π΅Ρ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠΎΠ² r1 ΠΈ r2 ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ M — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ , ΡΠΎ O1M: O2M = r1: r2. ΠΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ M Π΄ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ l ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 2r1r2/(r1 + r2). ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ l ΠΈ ΠΎΡΡΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΡ Π½Π΅Π΅ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ 2r1r2/(r1 + r2).
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠ² ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄Π²Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ O ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A ΠΈ B. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ OA = OB (ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ), ΡΠΎΡΠΊΠ° O Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ ΠΊ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΡ AB. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° O, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ°Ρ Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ ΠΊ AB, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ A ΠΈ B. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΠΎΡΠΊΠ° O — ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΠΈ A ΠΈ B.
3. Π‘ΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ AB ΠΈ CD ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ABCD ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ S Π½Π΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΠΠ’ X, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΡ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ SABX + SCDX = S/2.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΡΡΡ O — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ AB ΠΈ CD. ΠΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° Π»ΡΡΠ°Ρ OA ΠΈ OD ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΈ OK ΠΈ OL, ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ AB ΠΈ CD ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° SABX + SCDX = SKOX + SLOX±SKXL. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° KXL ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°, Ρ. Π΅. ΡΠΎΡΠΊΠ° X Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ KL.
4. ΠΠ° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π΄Π°Π½Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A ΠΈ B. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΠΠ’ M, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² AM ΠΈ BM ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π²ΡΠ±ΡΠ°Π² ΡΠΎΡΠΊΡ A Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ² ΠΎΡΡ Ox ΠΏΠΎ Π»ΡΡΡ AB. ΠΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° M ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ (x, y). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° AM2 = x2 + y2 ΠΈ BM2 = (x — a)2 + y2, Π³Π΄Π΅ a = AB. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ AM2 — BM2 = 2ax — a2. ΠΡΠ° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° k Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ M Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ((a2 + k)/2a, y); Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ AB.
5. ΠΠ°Π½ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ABCD. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΠΠ’ X, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ AX + BX = CX + DX.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΡΡΡ l — ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ BC ΠΈ AD. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° X Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ l, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A ΠΈ X Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΎΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ l. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° AX < DX ΠΈ BX < CX, Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, AX + BX < CX + DX. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ l — ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ ΠΠΠ’.
6. ΠΠ°Π½Ρ Π΄Π²Π΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ O. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΠΠ’ X, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² OX Π½Π° ΡΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΡΡΡ a ΠΈ b — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ; x ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΡ . Π‘ΡΠΌΠΌΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° x Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½Π° |(a, x)| + |(b, x)| = |(a±b, x)|, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ΅Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ°Ρ , Π²ΠΎΡΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΊΠΈ O ΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ ΠΠΠ’ — ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ, ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ Π±ΠΈΡΡΠ΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ°ΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ, Π° Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ°Ρ .
7. ΠΠ°Π½Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ S ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ° M Π²Π½Π΅ Π΅Π΅. Π§Π΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ M ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π²ΡΠ΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ S1, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ S; X — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ M ΠΊ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ S1 Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ Ρ ΠΎΡΠ΄Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ S ΠΈ S1. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΠΠ’ X.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΡΡΡ A ΠΈ B — ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ S ΠΈ S1. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° XM2 = XA. XB = XO2 — R2, Π³Π΄Π΅ O ΠΈ R — ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ S. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ XO2 — XM2 = R2, Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΠΎΡΠΊΠΈ X Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ ΠΊ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ OM.
8. ΠΠ°Π½Ρ Π΄Π²Π΅ Π½Π΅ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠ² ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, Π΄Π΅Π»ΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ (Ρ. Π΅. ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΈΡ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΡΡΡ O1 ΠΈ O2 — ΡΠ΅Π½ΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, R1 ΠΈ R2 — ΠΈΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΡ. ΠΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° r Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ X ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° r2 = XO12 + R12, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ ΠΠΠ’ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ X, ΡΡΠΎ XO12 + R12 = XO22 + R22, Π²ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ X Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ O1O2.
9. ΠΠ½ΡΡΡΠΈ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π·ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠ° A. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠ½ΡΡ Π²ΡΠ΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ Ρ ΠΎΡΠ΄, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΡ A.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:ΠΡΡΡΡ O — ΡΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, R — Π΅Π΅ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ, M — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ , ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠ½ΡΡ Ρ ΠΎΡΠ΄Ρ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΡ A, P — ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π° ΡΡΠΎΠΉ Ρ ΠΎΡΠ΄Ρ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° OP * OM = R2 ΠΈ OP = OA cos f, Π³Π΄Π΅ f = AOP. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ AM2 = OM2 + OA2 — 2OM * OA cos f = OM2 + OA2 — 2R2, Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° OM2 — AM2 = 2R2 — OA2 ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ M Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ OA.
10. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ M, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΡ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΡΠΎΠΌΠ±Π° ABCD ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ AMD + BMC = 180o.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΡΡΡ N — ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° MN = DA. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° NAM = DMA ΠΈ NBM = BMC, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ AMBN Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ. ΠΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° AMBN ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ AM| BN ΠΈΠ»ΠΈ BM| AN. Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ AMD = MAN = AMB, Π° Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ BMC = MBN = BMA. ΠΡΠ»ΠΈ AMB = AMD, ΡΠΎ AMB + BMC = 180o ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ° M Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ AC, Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ BMA = BMC, ΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° M Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ BD. Π―ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ° M Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ, ΡΠΎ AMD + BMC = 180o.
11. Π°) ΠΠ°Π½ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ ABCD. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° AX2 + CX2 — BX2 — DX2 Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠΈ X.
Π±) Π§Π΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ABCD Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΎΠΌ. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ X, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ AX2 + CX2 = BX2 + DX2, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΡ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΡΡΡ P ΠΈ Q — ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ AC ΠΈ BD. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° AX2 + CX2 = 2PX2 + AC2/2 ΠΈ BX2 + DX2 = 2QX2 + BD2/2, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ Π±) ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ ΠΠΠ’ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ X, ΡΡΠΎ PX2 — QX2 = (BD2 — AC2)/4, Π° Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ a) P = Q, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° (BD2 — AC2)/2.
1. ΠΠΎΠ³ΠΎΡΠ΅Π»ΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ: Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π΄Π»Ρ 7−9 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. — Π.: ΠΡΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, 2000, Ρ. 61.
2. Π‘Π°Π²ΠΈΠ½ Π. Π. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΡ /Π€Π°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ ΠΊΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅: Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ 7−9 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ. Π‘ΠΎΡΡ. Π. Π. ΠΠΈΠΊΠΎΠ»ΡΡΠΊΠ°Ρ. — Π.: ΠΡΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, 1991, Ρ. 74.
3. Π‘ΠΌΠΈΡΠ½ΠΎΠ²Π° Π. Π., Π‘ΠΌΠΈΡΠ½ΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ: Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π΄Π»Ρ 7−9 ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. — Π.: ΠΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ·ΠΈΠ½Π°, 2005, Ρ. 84.
4. Π¨Π°ΡΡΠ³ΠΈΠ½ Π. Π€. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ. 7−9 ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ: Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅Π±Π½ΡΡ Π·Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. — Π.: ΠΡΠΎΡΠ°, 1997, Ρ. 76.
5. ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ½Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΡΡΡ: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm