Дисконтирование по сложным процентам

Формулу для определения современной величины по сложным процентам можно легко вывести из соотношения (8.16), путем деления его обеих частей на величину (1 + r)n. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим.

(8.20).

Пример 8.8. Выплаченная по трехлетнему депозиту сумма составила величину 100 ден. ед. Определите первоначальную величину вклада, если ставка по депозиту равна 8% годовых.

На рис. 8.5 приведена схема процесса дисконтирования по сложным процентам для рассматриваемого примера.

Рис. 8.5. Схема дисконтирования по сложным процентам.

Аналитическое решение задачи будет иметь следующий вид:

На рис. 8.6 приведена графическая диаграмма, отражающая процесс дисконтирования суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.

Как и следовало ожидать, величина PV также зависит от продолжительности операции и процентной ставки, однако зависимость здесь обратная — чем больше r и п, тем меньше текущая (современная) величина.

В случае если начисление процентов осуществляется т раз в году, соотношение (8.20) будет иметь следующий вид:

(8.21).

Рис. 8.6. Дисконтирование суммы в 1,00 при различных процентных ставках.

Исчисление процентной ставки и продолжительности операции

Формулы для расчета величин r и п могут быть получены из (8.16), (8.20) и приводятся ниже в готовом виде.

При известных величинах FV, PV и п, процентную ставку можно найти по формуле.

(8.22).

Пример 8.9. Сумма 10 000 ден. ел., помещенная в банк на четыре года, составила 14 641 ден. ед. Определите процентную ставку (доходность операции).

Так,

Длительность операции определяется путем логарифмирования.

(8.23).

Пример 8.10. Сумма в 10 000 ден. ед., помещенная в банк под 10% годовых, составила 14 641 ден. ед. Определите срок проведения операции Здесь

3. Непрерывные проценты. Непрерывные проценты используются в случаях, когда вычисления необходимо производить за бесконечно малые промежутки времени. Они играют ключевую роль в ряде финансовых моделей, например — в известной модели оценки опционов Блэка — Шоулза.

Проанализируем рост коэффициента наращения в формуле (8.17) исходя из допущения о возможности ежедневного, ежечасного, ежеминутного и даже ежесекундного начисления процентов, например по ставке 10%.

Обозначим множитель наращения через g, тогда: . Результаты соответствующих расчетов приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Расчет зависимости множителя v от роста т

т						525 600.	31 536 000.
е	2.44 141.	2,52 163.	2,61 304.	2,71 457.	2,71 813.	2,71 828.	2,71 828.
		1,3 286.	1,3 625.	1,3 886.	1,131.	1,6.	1,1.

Нетрудно заметить, что с переходом от ежедневного к ежечасному начислению процентов (т.е. при увеличении т в 24 раза), значение v увеличилось всего в 1,131, или на 0,13%; с переходом от ежечасного к ежеминутному начислению (при увеличении т в 60 раз!) рост v составил около 1,6, или 0,006%. Разницу между ежеминутным и ежесекундным начислением можно заметить только в шестом знаке после запятой.

Таким образом, при бесконечном росте т величина v стремится к константе 2,7 182 818…, известной в математике как число е.

Тогда будущая стоимость денежных средств при непрерывном начислении.

(8.24).

где е — экспоненциальная константа (2,71 828…).

Соответственно современная стоимость денег при непрерывном начислении процентов.

(8.25).

Эквивалентность сложных и непрерывных ставок

Ставка непрерывных процентов rd может быть приведена к ставке сложных процентов и обратно. Соотношения эквивалентности имеют следующий вид:

(8.26).

(8.27).

В дальнейшем по ходу изложения материала данной главы будут использоваться сложные проценты, техника исчисления которых служит базой для количественного анализа долгосрочных операций.

Рассмотренные методы наращения и дисконтирования играют важную роль в финансовом менеджменте, так как представляют собой инструментарий для оценки потоков платежей.