Системы эконометрических уравнений

Изученные в предыдущих главах методы работы с регрессиями опирались на предположение о том, что исследуемый экономический показатель может быть описан некоторой регрессионной зависимостью от других показателей. В настоящей главы мы рассмотрим ситуации, возникающие, как правило, при изучении сложных экономических систем, когда изучаемое экономическое явление или процесс описываются несколькими переменными, некоторые из которых могут быть взаимозависимыми.

Целью настоящей главы является знакомство с различными видами систем эконометрических уравнений, изучение методов идентификации и оценивания этих систем.

Виды систем эконометрических уравнений и методы их оценивания

При изучении систем эконометрических уравнений принято различать эндогенные, экзогенные, лаговые и предопределенные переменные.

Эндогенными переменными называют зависимые переменные, стоящие, как правило, в левой части системы; их число должно быть равно числу уравнений в системе (требование полноты).

Экзогенными переменными называют переменные, влияющие на эндогенные, но не зависящие от них и не коррелирующие с ошибками.

Лаговыми называют переменные, принимающие значения не текущего, а предыдущих периодов. Например, если в системе есть переменные yt, yt_то они обозначают переменную у в моменты или интервалы времени t, t — 1 (т.е. в момент или интервал, непосредственно предшествующий моменту или интервалу t) и t — 2 (т.е. в момент или интервал, непосредственно предшествующий моменту или интервалу t —1) соответственно.

Предопределенными называют экзогенные (текущие и лаговые) и лаговые эндогенные переменные, т. е. переменные, значения которых к рассматриваемому моменту или интервалу времени определены (либо потому, что они экзогенные, т. е. используются как заданные извне, либо потому, что они лаговые, т. е. используются уже известные значения за предыдущие периоды). Предполагается, что предопределенные переменные, в отличие от эндогенных, не коррелируют с ошибкой.

Простейшая система уравнений с п эндогенными переменными у и т экзогенными переменными х может быть записана в следующем виде (некоторые из коэффициентов могут быть равны нулю)^[1]:

В том случае, если ошибки ?1; …, ?" не коррелируют друг с другом, эта система называется системой независимых эконометрических уравнений: эндогенные переменные не зависят друг от друга. Такие уравнения могут оцениваться по отдельности методами, изученными в предыдущих главах (при выполнении традиционных предпосылок, обычным МНК).

Если же ошибки Є], …, ?? коррелируют друг с другом, то это случай уравнений, кажущихся несвязанными; он будет рассмотрен ниже.

Следующий пример системы эконометрических уравнений — случай, когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в качестве фактора в другом уравнении (находится в его правой части), но зависимая переменная второго уравнения не является фактором первого. Это — система рекурсивных уравнений. Например:

Как и в системе независимых уравнений, каждое уравнение системы рекурсивных уравнений может оцениваться по отдельности обычным МНК (при выполнении предпосылок теоремы Гаусса — Маркова).

Наконец, системы одновременных уравнений содержат взаимозависимые эндогенные переменные. В общем случае это системы вида.

Данная система называется также структурной формой модели. В отличие от независимых и рекурсивных систем, система одновременных уравнений в структурной форме содержит взаимозависимые уравнения, которые не могут быть оценены по отдельности обычным МНК, так как в этом случае корреляция эндогенных переменных с ошибками приводит к смещенным и несостоятельным оценкам. При отсутствии корреляции (и автокорреляции) ошибок в разных уравнениях (и при условии идентифицируемости уравнений, о чем будет идти речь ниже) системы одновременных уравнений оцениваются двухшаговым методом наименьших квадратов (ДМНК), и в некоторых случаях возможно применение косвенного МНК (КМНК). Если же ошибки в разных уравнениях коррелируют между собой, то для повышения эффективности оценок применяется трехшаговый МНК (ТМНК). В случае же наличия автокорреляции ошибок и присутствия в модели лагов эндогенных переменных для обеспечения состоятельности оценок требуется использовать метод Фэа^[2].

• [1] Мы ограничиваемся рассмотрением только линейных систем.
• [2] См.: Fair R. С. «The Estimation of Simultaneous Equation Models with Lagged Endogenous Variables and First Order Serially Correlated Errors» Econometrica. Vol. 38. May 1970. Pp. 507−516.