Модели тенденции развития

Общая характеристика моделей тенденции

Закономерность изменения уровней динамического ряда во времени может быть представлена в виде модели тенденции. При ее построении уровни динамического ряда рассматриваются как функция времени t и случайной компоненты ?. Тогда модель уровня динамического ряда можно представить в виде.

(5.4).

где - фактический уровень динамического ряда в период времени Г; - средний уровень динамического ряда за весь период времени; - теоретический уровень динамического ряда, обусловленный тенденцией развития, т. е. тренд ряда.

В этой модели характеризует эффект тенденции, а - случайную составляющую ?. Ввиду того, что , данную модель уровня временного ряда можно представить в виде.

(5.5).

где - модель тенденции, когда уровни ряда рассматриваются как функция времени t: .

Совершенно ясно, что практическая значимость модели тенденции будет тем выше, чем меньше будут остаточные колебания (случайная составляющая ).

Построение модели тенденции (уравнения тренда) включает в себя следующие этапы работы:

• — выбор математической функции, описывающей тенденцию;
• — оценку параметров модели;
• — проверку адекватности выбранной функции и оценку точности модели;
• — расчет точечного и интервального прогнозов.

В настоящее время компьютерные программы анализа временных рядов содержат достаточно широкий набор математических функций для построения уравнения тренда. Все многообразие их можно свести в три группы:

• — функции с монотонным характером возрастания (убывания) и отсутствием пределов роста (снижения);
• — кривые с насыщением, т. е. устанавливается нижняя или верхняя граница изменения уровней ряда;
• — S-образные кривые, т. е. кривые с насыщением, имеющие точку перегиба.

В первую группу функций входят полиномы к-й степени.

(5.6).

При к = 1 получаем линейный тренд: yt=a который часто записывают как ус = а Ы.

По содержанию линейный тренд означает, что уровни динамического ряда изменяются с одинаковой скоростью, т. е. с равным абсолютным приростом (параметр <�Ь"), В этом можно убедиться, подставляя в уравнение линейного тренда порядковые значения t (1, 2, 3, …, к): теоретические уровни ряда у(будут изменяться на величину параметра Ь, т. е. в арифметической прогрессии.

Например, уравнение тренда для индексов потребительских цен за 12 мес. года составило: у(= 99,9 + l, 9t, где f = 1, 2, 12. Из уравнения очевидно, что ежемесячно цены возрастали в среднем на 1,9 процентных пункта.

При к = 2 получаем параболу второй степени.

(5.7).

Данная функция рекомендуется для моделирования тенденции, если временной ряд характеризуется постоянным абсолютным ускорением, т. е. постоянными являются вторые разности (приросты абсолютных приростов). В этом случае скорость ряда изменяется линейно:

t

Как видим, параметр а означает начальный уровень ряда динамики при t = 0. Параметр bх представляет собой средний абсолютный прирост за весь период времени, если t обозначено так, что ?? = 0 (при обозначении t в виде ряда натуральных чисел, что наиболее распространено при компьютерной обработке, параметр bг такой интерпретации не имеет). Параметр Ь2 характеризует половину абсолютного ускорения динамического ряда.

Например, динамика численности детей в возрасте 7 лет характеризуется по району за последние 15 лет уравнением тренда.

где у — тыс. человек;

Следовательно, ежегодно численность детей сокращается в среднем с ускорением в 3,2 тыс. человек.

При к = 3 имеем параболу третьей степени.

(5.8).

Этот вид тренда предполагает, что по временному ряду стабильны третьи разности , т. е. приросты вторых приростов , а абсолютные ускорения имеют линейную тенденцию:

t.

Полиномы высоких степеней требуют достаточно длинных динамических рядов, чтобы параметры тренда были статистически надежными: на каждый параметр при 1 должно приходиться не менее 6−7 временных единиц. Следовательно, парабола уже третьей степени должна содержать не менее 20 лет (если уровни ряда представлены по годам), что предполагает достаточно стабильную экономику.

Чаще отдают предпочтение функциям с меньшим числом параметров. Среди них широкое применение находит показательная функция.

(5.9).

или равносильная ей экспонента.

(5.10).

которые характеризуются стабильным коэффициентом (темпом) роста:

Например, за ряд лет динамика прибыли характеризуется уравнением вида yt= 13,5 1,5',• где t= 1,2, Следовательно, ежегодно прибыль возрастает в среднем на 50% (коэффициент роста 1,5). Данный тренд в виде экспоненты примет выражение у =е2'603+0'405', где е2,603 =13,5 и е0'405 =1,5. Рост по экспоненте означает геометрическую прогрессию уровней динамического ряда, что в экономике возможно сравнительно небольшой период времени (ограничены ресурсы, меняются условия рынка).

Если стабильными оказываются коэффициенты опережения темпов роста, то динамический ряд может быть описан логарифмической параболой

(5.11).

Свое название данная функция получила ввиду того, что прологарифмировав ее, получим параболу второй степени

Для этой функции темпы роста изменяются в одно и то же число раз (с2):

t		Коэффициент роста к{.	Коэффициент опережения (fe, /.

Например, дебиторская задолженность за ряд лет характеризуется уравнением yt = 1,47 1,30?• l, 05f. Следовательно, имеет место ускоренное увеличение дебиторской задолженности с коэффициентом опережения темпов роста 1,052, т. е. 1,1025. Другими словами, темпы роста ежегодно возрастали в среднем в 1,1025 раза.

При моделировании тенденции используются и другие функции, приводимые к линейному виду. Так, при замедленном росте уровней ряда может использоваться полулогарифмическая кривая.

(5.12).

В 1990;е гг. по этой функции развивалось в стране потребление картофеля.

Предполагая разную меру пропорциональности изменений уровней во времени, может быть использована степенная функция.

(5.13).

При b > 0 она характеризует непрерывный рост уровней с падающими темпами роста, а при b < 0 — их ускоренное снижение. Величина tb означает базисный коэффициент роста:

Поэтому степенная функция практически сообщает о величине среднего коэффициента роста.

(5.14).

Например, обеспеченность городского населения республики Коми жильем (м2 общей площади на человека) за 1990−1999 гг. характеризовалась уравнением вида у, = 15,876t0,08, где t = 1, 2,10. Следовательно, за весь период обеспеченность населения жильем выросла в 1,202 раза (??0,08), т. е. ежегодно она возрастала в среднем на 2,07% (К =^1,202 1,027>).

К кривым с насыщением можно отнести гиперболы вида.

(5.15).

(5.16).

Равносторонняя гипербола при b > 0 означает, что уровни ряда снижаются во времени и асимптотически приближаются к параметру а.

Например, индексы потребительских цен (декабрь к декабрю предыдущего года) за 1998−2003 гг. по России изменялись по гиперболе вида.

Уравнение характеризует падающую тенденцию индекса потребительских цен (ИПЦ), при которой ИПЦ не может быть меньше 95,6%. Тренд описывает 99% вариации ИПЦ и лишь 1% ее связан с действием случайных факторов.

Если b < 0, то уравнение тренда характеризует тенденцию к росту уровней ряда с асимптотической границей равной параметру «а». Так, численность мужчин старше трудоспособного возраста в Санкт-Петербурге за 1979−1995 гг. характеризовалась повышающейся тенденцией: , из которой следует, что численность мужчин этой возрастной категории за данный период не превышала 296,9 тыс. человек. Этот максимум выдерживался и для 1996 и 1997 гг., а в 1998 г. он превысил эту величину, составив 303,1 тыс. человек.

Гипербола при b > 0 и с > 0 всегда характеризует падающую тенденцию с нижней асимптотой, равной параметру а. При b < 0 данная кривая означает рост уровней ряда, который происходит до определенного предела, описываемого параметром а. Рассматриваемая гипербола предполагает более плавное замедление изменения уровней, чем равносторонняя гипербола /.

Среди гипербол нередко используется так называемая обратная функция . Свое название она получила в связи с тем, что при сведении ее к линейному виду используются обратные значения у, т. е. . Следует отметить, что если имеет экономический смысл, то параметры данной функции интерпретируются аналогично линейному тренду. Например, предположим, что динамика трудоемкости продукции у характеризуется уравнением . Оно означает снижение трудоемкости и рост производительности труда на 2 ед. В иных случаях параметры обратной функции экономически не интерпретируются.

При b > 0 ряд характеризуется понижающейся тенденцией, а при b < 0 — повышающейся.

Среди кривых с насыщением может использоваться модифицированная экспонента.

(5.17).

где с — асимптота (верхняя для функции у = с ab' и нижняя для функции у = с ab'). Так, при изучении тенденции роста уровня механизации труда целесообразно учитывать ограничение роста (показатель уровня механизации труда не может быть больше 100%). Если изучается динамика детской смертности, то можно установить нижнюю асимптоту, т. е. минимальное значение детской смертности исходя из достигнутых условий жизни.

Модифицированная экспонента характеризуется постоянным отношением последовательных во времени приростов. Величина этого отношения равна параметру b:

t

Так, модифицированная экспонента роста уровня механизации труда ус = 100- 12,7• 0,895' означает, что ежегодно скорость ряда снижается в 0,895 раз или на 10,5%. Верхняя граница уровня механизации труда 100%.

Величина (100-у) характеризует уровень использования ручного труда. Поэтому в уравнении интерпретируется и параметр а: а = 12,7% означает начальный уровень ручного труда. Соответственно 87,3% составит начальный уровень механизированного труда.

Модифицированная экспонента служит базовой кривой для других кривых с насыщением, а именно S-образных кривых: логистической кривой и кривой Гомперца. Тенденция развития явления в S-образных кривых охватывает три этапа: вначале довольно медленный рост, который затем убыстряется, далее сменяется уменьшением роста и приближением уровня ряда к предельному значению, т. е. к уровню насыщения.

Если в модифицированной экспоненте вместо/ ввести обратную величину •, то получим логистическую кривую вида.

(5.18).

которую называют кривой Перла — Рида. В ней верхняя асимптота составит величину (рис. 5.10).

Точка перегиба у этой кривой равна . Значение у в точке перегиба равно . При практических расчетах исследователь может не иметь в полном виде S-образную кривую. Тогда точка перегиба находится за пределами наблюдаемых величин уровней ряда. В этом случае верхняя асимптота является теоретическим максимумом и ориентироваться на него в дальнейшем прогнозе достаточно проблематично.

Однако чаще сегодня применяется логистическая кривая вида.

(5.19).

где с — верхняя асимптота; b и а — параметры функции; е — основание натурального логарифма.

Рис. 5.10. Логистическая кривая Перла — Рида Механизм развития производства новых товаров описывается иногда этой кривой.

Г. Тинтнер^[1] применил данную функцию для описания тенденции роста численности населения Швеции за 100 лет по десятилетним интервалам с 1850 по 1950 г.:

Согласно этой кривой верхняя асимптота роста численности населения Швеции составила 10 328 806 человек (по данным статистики в 2005 г. население Швеции составляло 9,0 млн человек).

Максимальное значение показателя с соответствует на графике отрезку кривой, параллельному оси абсцисс. Минимальное значение функции, равное нулю при t, стремящемся , обычно отсутствует при использовании модели тенденции в прогнозных расчетах.

К классу S-образных кривых относится также кривая Гомперца.

(5.20).

Она нашла применение в страховых расчетах и экстраполяции численности населения.

Верхняя асимптота соответствует значению параметра с, а нижняя равна нулю, если ln? < 0 (рис. 5.11, 5.12).

Если ln? > 0, то кривая имеет нижнюю асимптоту, равную величине параметра с (рис. 5.13, 5.14).

Кривая Гомперца основана на модифицированной экспоненте. Прологарифмировав уравнение кривой Гомперца, получим после замены переменных уравнение модифицированной экспоненты.

Параметр с' будет характеризовать уровень насыщения. Точкой перегиба данной кривой будет точка.

со значением функции, где е — основание натурального логарифма.

Рис. 5.14. Кривая Гомперца при ln? > 0; b >1.

Например, затраты на строительство автомобильных дорог описаны в работе К. Д. Льюис^[2] в виде кривой Гомперца yt =4644,5 0,9 614 350,931761. Уравнение тренда показывает предельное значение затрат 4644,5 ден. ед. Точка перегиба составляет 12 лет; ей соответствуют затраты в 1708,6 ден. ед. Далее прирост затрат постепенно падает.

• [1] Тинтнер Г. Введение в эконометрию: пер. с нем. M.: Статистика. 1965. С. 291.
• [2] Льюис К. Д. Методы прогнозирования экономических показателей: пер. с англ. М.: Финансы и статистика. 1986. С. 111−112.