Модель со случайными эффектами

В модели с фиксированными эффектами ненаблюдаемые индивидуальные эффекты были коррелированы с включенными в модель объясняющими переменными. Однако иногда есть основания полагать, что индивидуальные эффекты могут быть не коррелированы с регрессорами. В этом случае индивидуальные эффекты можно рассматривать как одну из составляющих ошибки.

Модель со случайными эффектами (иногда ее называют моделью со случайными компонентами) имеет вид.

(9.46).

где и,• + sit можно рассматривать как составную ошибку регрессии, которая содержит две компоненты: индивидуальную компоненту и; и остаточный член sit. Компонента и, представляет индивидуальную ошибку (случайное отклонение), которая является постоянной во времени для г'-го объекта. В модели со случайными эффектами делаются следующие предположения относительно случайных компонент и,• и єі(.

Рассмотрим характеристики составной ошибки Ошибка со, будет иметь нулевое математическое ожидание, т. е. ?(со,•,) = 0. Тогда будут иметь место следующие равенства:

Таким образом, если представляет век тор ошибок со,•, для і-го индивида, t = 1, …, Т, то ?(?, ?•)=?, где.

(9.47).

Для полных панелей наблюдений ковариационная матрица вектора размерностью NT ошибок может быть получена как.

(9.48).

где IN — единичная матрица размерностью N; ® — произведение Кронекера.

Получается, что ошибки в модели со случайными эффектами являются гетероскедастичными, и если регрессию «вценить обычным методом наименьших квадратов, то полученные оценки параметров? и, а будут несмещенными и состоятельными, но неэффективными оценками. Для получения эффективных оценок параметров? и, а необходимо применять обобщенный метод наименьших квадратов (generalized least squares).

В случае если известна структура ковариационной матрицы V, то уравнение регрессии можно оценивать при помощи обобщенного метода наименьших квадратов. Для этого необходимо преобразовать исходную регрессию таким образом, чтобы убрать нестандартную структуру ковариационной матрицы

Определим взвешенную матрицу Р = V" 172 и преобразуем уравнение регрессии.

(9.49).

Теперь обратим внимание на то, что.

(9.50).

Для преобразованной модели остатки будут иметь одинаковую дисперсию по і и Т. Таким образом, если известно Р, то оценки регрессии (9.46) обобщенным методом наименьших квадратов будут определяться следующим образом:

(9.51).

При этом нужно помнить, что должно выполняться предположение о том, что . Если , то оценки, полученные при помощи обобщенного метода наименьших квадратов, будут несостоятельными.

Для модели со случайными эффектами можно получить специфическую форму весовой матрицы Р = V~½. Так как , то мы можем переписать V как.

(9.52).

где і представляет вектор порядка N, состоящий из единиц.

Это позволяет нам написать форму для ?-½ в виде.

(9.53).

где и принимает значения между нулем и единицей, а оператор вычисляет среднее по времени значение для соответствующего вектора.

Таким образом, для получения у" в модели со случайными эффектами необходимо произвести соответствующее преобразование, состоящее в умножении каждого на :

(9.54).

Для определения X* производится аналогичное преобразование.

(9.55).

Тогда преобразованное уравнение регрессии будет иметь вид.

(9.56).

где

МНК-оценки параметров, а и? в уравнении (9.56) составят.

(9.57).

где

Оценка с фиксированными эффектами вычитает средние по времени значения из соответствующих переменных, а преобразование для модели со случайными эффектами вычитает из них долю этих средних по времени значений, где доля зависит от ?", ?? и числа временных периодов Т. Оценка обобщенным методом наименьших квадратов просто представляет собой МНК-оценку объединенной модели (9.56).

В результате преобразования модели (9.56) в уравнении регрессии остаются постоянные во времени объясняющие переменные, и это является преимуществом модели со случайными эффектами по сравнению с моделью с фиксированными эффектами и преобразованием первых разностей.

В случае если параметр 0 = 1, то модель со случайными эффектами совпадает с моделью с фиксированными эффектами. Если же параметр 0 = 0, то это означает, что в модели отсутствуют некоррелируемые индивидуальные компоненты дисперсии, т. е. ?" = 0, и оценка со случайными эффектами сократится до МНК-оценки объединенной модели.

Оценки обобщенного метода наименьших квадратов представляют собой средневзвешенное значение внутригрупповых и межгрупповых оценок:

(9.58).

где

Если? = 1, то Оц = 0 и оценки обобщенного метода наименьших квадратов будут совпадать с оценками обычного метода наименьших квадратов. Если? = 0, то оценки обобщенного метода наименьших квадратов будут совпадать с МНК-оценками с фиктивными переменными в модели с фиксированными эффектами. Существует две возможности.

Если Og = 0, тогда источником вариации между индивидами будут выступать различные значения и, для і-го индивида. Так как и, являются постоянными во времени, то они будут эквивалентны фиктивным переменным, которые применялись в модели с фиксированными эффектами. Однако вопрос о том, являются ли индивидуальные компоненты и, на самом деле фиксированными или случайными, может стать спорным.

Другой случай будет при . Если , тогда ненаблюдаемые щ становятся наблюдаемыми. Рассмотрим, почему это происходит. Так как оценки коэффициентов, а и? в модели со случайными эффектами являются состоятельными, и если взять Т наблюдений для і-го индивида, то.

(9.59).

становятся наблюдаемыми.

Если записать (9.59) в индивидуальных средних, то мы получим . Однако так как случайная компонента sit будет стремиться к нулю при Т, стремящемся к бесконечности, то в результате мы можем определить Таким образом, при Т > <* индивидуальные компоненты ошибки п, ведут себя как фиктивные переменные, которые мы использовали ранее.

В случае если? отличается от единицы, то в результате неэффективного взвешивания внутригрупповых и межгрупповых оценок получаются неэффективные оценки обычным методом наименьших квадратов, в этом случае межгрупповой сумме квадратов придается слишком большой вес по сравнению с обобщенным методом наименьших квадратов.

На практике параметр? никогда не известен, однако его всегда можно найти, если оценить дисперсии ошибок и ?^,?. е. реализовать так называемый доступный обобщенный метод наименьших квадратов (feasible generalized least squares) в том случае, если? неизвестно. Оценить дисперсии ошибок можно, например, на основе объединенной регрессии или регрессии с фиксированными эффектами.

Из регрессии внутригрупповой модели которая не содержит значений индивидуальных эффектов, можно получить оценку для дисперсии случайной компоненты ошибки ?it.

(9.60).

Из регрессии межгрупповой модели у; на константу и х;, где ошибка имеет дисперсию , можно получить оцен ку ДЛЯ дисперсии индивидуальной компоненты ошибки Uj

(9.61).

Возможны и более эффективные оценки дисперсий ошибок и Oj, однако эти оценки не приведут к увеличению эффективности оценки . Следует обратить внимание на то, что оценка дисперсии (9.61) может быть отрицательной. Но необходимо помнить, что для доступного обобщенного метода наименьших квадратов нет необходимости в несмещенных оценках дисперсии, а важна состоятельность этих оценок. Если они являются состоятельными, то можно пренебречь поправками на число степеней свободы, и обе оценки дисперсии получатся неотрицательными.

Пример

Для объяснения индивидуальной заработной платы использовались данные Российского мониторинга экономического положения и здоровья населения (РМЭЗ). База данных РМЭЗ представляет собой результаты двух панельных опросов нескольких тысяч человек за 1992−1993 гг. (раунды 1−4) и 1994−2008 гг. (раунды 5−17). Часть данных РМЭЗ находится в закрытом доступе, но результаты нескольких раундов можно найти в открытом доступе в Интернете. Информация, собранная в РМЭЗ, касается размеров, источников, структуры доходов и расходов домохозяйств, занятости, распределения времени, уровня образования, состояния здоровья и других характеристик (всего свыше 500 переменных).

В нашем примере используются данные только трех раундов: 7−9 раундов, проводившихся в 1996—2000 гг., в ходе которых были обследованы одни и те же домашние хозяйства. Численность опрошенных респондентов отличалась по раундам. Так в 7, 8 и 9-м раундах бьио опрошено 8342, 8699 и 9074 взрослых респондентов соответственно. Из этой совокупности первоначально были выбраны те респонденты, которые принимали участие во всех трех рассматриваемых раундах РМЭЗ (7−9 раунды). Поскольку основное внимание в нашем примере сосредоточено на изучении характеристик занятого населения, то в дальнейшую выборку были включены респонденты, имевшие работу и действительно получавшие в течение последнего месяца заработную плату по основному месту работы. Для того чтобы оценить уравнения заработной платы, из выборки, объединяющей занятых, были исключены те, у кого не бьио полного набора переменных, необходимых для дальнейшего исследования. Данные 7−9 раундов, объединенные по респондентам, были проверены на то, согласуются ли характеристики респондентов, заявленные ими в предыдущих раундах, с их собственными характеристиками, объявленными в последующих раундах. Респонденты, у которых были выявлены противоречивые данные по основным индивидуальным характеристикам, таким, как возраст, пол, уровень образования, были также исключены из выборки. В результате в итоговой выборке были оставлены 870 респондентов, имеющих работу.

Традиционно нормы отдачи от инвестиций в человеческий капитал рассчитываются на базе стандартного уравнения заработной платы Минцера.

В качестве зависимой переменной выступает логарифм заработной платы lnW. Переменная SCH характеризует уровень образования и обозначает число лет обучения, скорректированных по достигнутому уровню образования. Каждому уровню образования соответствует среднее число лет обучения: начальное и неполное среднее образование (8 лет и менее), полное среднее образование (10 лет), профессионально-техническое обучение со средним образованием (11,5 лет), среднее специальное (13 лет), законченное высшее (15 лет) и послевузовское (аспирантура) образование (18 лет). Переменная ЕХР характеризует опыт работы индивида на рынке труда, измеряемый в годах.

Коэффициент ?1 при переменной SCH представляет оценку нормы отдачи от инвестиций в образование, которая предполагается постоянной в данной модели. Выпуклость наблюдаемых профилей заработной платы выражается через квадратичную форму профессионального опыта. В этом случае коэффициенты ?2 и ?3 при переменных ЕХР и ЕХР2 имеют положительный и отрицательный знак соответственно.

Следует отметить, что в 1996—2000 гг. в России, стране с переходной экономикой, заработная плата часто выдавалась в неденежной форме и имел место высокий уровень инфляции. В этих условиях рассматривались заработки индивидов, полученные как в денежной, так и неденежной формах по основному месту работы в течение последних 30 дней перед опросом, скорректированные и приведенные к сопоставимому виду при помощи соответствующих индексов роста цен.

Помимо указанных выше переменных, в модель в качестве объясняющих переменных также было включено несколько фиктивных переменных. Все переменные, включенные в модель индивидуальной заработной платы, представлены в табл. 9.1.

Таблица 9.1. Переменные, включенные в модель индивидуальной заработной платы.

Фиктивные переменные.

Таким образом, в модели присутствуют фиктивные переменные по половому признаку, принадлежности к частному бизнесу, наличию профессиональной квалификации и принадлежности к определенному региону.

Региональные фиктивные переменные принимают значение 1 в том случае, если индивид принадлежит соответствующему региону, и 0 — в противном случае. В данных РМЭЗ использовалось территориальное деление России на следующие восемь районов: города-мегаполисы (Москва и Санкт-Петербург), Северный и Северо-Западный районы, Центральный и Центрально-Черноземный районы, ВолгоВятский и Поволжский районы, Северный Кавказ, Урал, Западная Сибирь, Восточная Сибирь и Дальний Восток. За базу сравнения приняты города-мегаполисы Москва и СанктПетербург, и коэффициенты при региональных фиктивных переменных будут показывать, насколько средний логарифм почасовой заработной платы соответствующего региона отличается от среднего логарифма почасовой заработной платы для Москвы и Санкт-Петербурга.

Объединенная модель индивидуальной заработной платы будет иметь вид.

где и

Уравнение регрессии объединенной модели содержит 13 регрессоров и будет оцениваться на основе данных из 2610 наблюдений.

Результаты оценивания уравнения заработной платы представлены в табл. 9.2. В первой графе таблицы представлены межгрупповые оценки параметров модели, основанные на индивидуальных средних, а во второй графе — внутригрупповые оценки параметров модели, основанные на отклонениях от индивидуальных средних. В третьей графе таблицы размещены результаты оценивания объединенной модели с помощью обычного метода наименьших квадратов, а в четвертой графе — результаты применения доступного обобщенного метода наименьших квадратов для оценивания случайных эффектов.

Таблица 9.2. Результаты оценивания уравнения заработной платы (в круглых скобках указаны стандартные ошибки).

Зависимая переменная LN _ WPH

Зависимая переменная LN _ WPH

Все оцененные уравнения регрессии оказались в целом статистически значимыми на 1%-ном уровне значимости. В объединенной модели все коэффициены при регрессорах получились статистически значимыми на 5%-ном уровне значимости, коэффициент детерминации R2 =0,1611. Обратим внимание на то, что небольшое значение коэффициента детерминации характерно для моделей такого рода.

Оценка нормы отдачи от инвестиций в образование в разных моделях принимает достаточно близкие значения: 0,0812 в межгрупповой и в объединенной модели и 0,0815 в модели со случайными эффектами.

Модель с фиксированными эффектами не позволяет оценить норму отдачи от инвестиций в образование, так как оценка модели с фиксированными эффектами (оценка внутригрупповой модели) исключает из модели любые переменные, независимые от времени. Это означает, что влияния числа лет обучения, полового признака, а также региональных фиктивных переменных не учитываются. Обратим внимание также на то, что оценки параметров внутригрупповой модели очень сильно отличаются от оценок параметров межгрупповой модели.

Во всех оцененных моделях подтвердилась квадратичная зависимость уровня заработной платы от профессионального опыта, коэффициенты перед регрессорами ЕХР и ЕХР2 имеют положительный и отрицательный знак соответственно. Для внутригрупповой модели по формуле (9.60) оценим дисперсию ошибок ?? = 0,4340, для межгрупповой модели оценка дисперсия ошибок составит 0,3968. Используя формулу (9.61), оценим дисперсию ошибок ?2 = 0,3968 0,4340 / 3 0,2521.

Зная оценки дисперсии ошибок ?2 и ?2, можно вычислить.

Так как

Найденная оценка параметра? принимает значение, лежащее в интервале от нуля до единицы. Напомним, что при? = 1 модель со случайными эффектами совпадает с моделью с фиксированными эффектами, а при 0 = 0 в модели будут отсутствовать некоррелируемые индивидуальные компоненты дисперсии и оценка со случайными эффектами сократится до МНК-оценки объединенной модели. Обратим внимание на то, что оценки со случайными эффектами и МНК-оценки принимают значения, находящиеся между оценками с фиксированными эффектами и межгрупповыми оценками. Получается, что оценки доступного обобщенного метода наименьших квадратов можно получить путем оценивания обычным МНК уравнения преобразованной регрессии (9.56):

где

Если выполняются предположения модели со случайными эффектами, то оценки доступного обобщенного метода наименьших квадратов будут эффективными. Если же индивидуальные эффекты ц; коррелируют хотя бы с одним регрессором, то только оценка модели с фиксированными эффектами будет состоятельной.