Авторегрессионные процессы и их моделирование (общая характеристика)

Авторегрессионные процессы

Рассмотренные ранее модели авторегрессии содержали в правой части наряду с лаговыми зависимыми переменными и т. п. независимые переменные х. Авторегрессионная модель, в которой отсутствуют независимые переменные и ус рассматривается как линейная функция только предыдущих своих значений, представляет собой авторегрессионный процесс

(7.16).

В зависимости от того, сколько предыдущих уровней временного ряда включено в уравнение (7.16), авторегрессионный процесс может быть разного порядка. Если текущее значение уровня динамического ряда рассматривается как линейная функция от одного предыдущего значения, то имеем дело с авторегрессионным процессом первого порядка, что обычно в англоязычной литературе обозначается какА??(1):

(7.17).

Увеличивая число лаговых переменных в модели (7.17), получим авторегрессионный процесс более высокого порядка. Например, процесс AR (3) сводится к уравнению.

(7.18).

и отражает авторегрессионный процесс третьего порядка.

Процессы AR могут быть стационарными и нестационарными. Чтобы процесс был стационарным, коэффициенты в модели (7.16) должны образовывать сходящийся ряд и все корни характеристического уравнения (вещественные и комплексные) должны лежать вне единичного круга, т. е.

Рассмотренное условие стационарности для процесса AR (1) означает, что в уравнении (7.17) параметр должен соответствовать величине , так как характеристическое уравнение имеет кореньи при

Так, для ряда при (начальный уровень динамического ряда) характеристическое уравнение имеет вид . Соответственно z = 1,25 и рассматриваемый процесс является стационарным. Его асимптота? окажется равной , т. е. имеем , и траектория процесса флуктуирует и не превышает 15. Так, при п = принимает значения 2; 4,6; 6,7; 8,3; 9,7; 10,7; 11,6; 12,3; 12,8; 13,3; 13,6; 13,8; 14,1 и далее возрастает до 15, а начиная с t = = 27 не превышает 15.

Предположим, что рассматривается процесс AR (2), а именно.

Для него характеристическое уравнение составит.

Корни этого уравнения составят и , что больше единицы и, следовательно, процесс является стационарным.

Асимптота данного ряда окажется равной , т. е. начиная с варьирует вокруг величины 16, (6): уровни ряда принимают значения 7; 6; 9; 11,9; 13,9; 15,1 и т. д. В рассмотренных примерах AR (1) и AR (2) динамические ряды обнаруживают вначале некоторую тенденцию, которая постепенно затухает и ряд становится стационарным (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Асимптотически стационарные временные ряды Авторегрессионный процесс с большим числом лагов предполагает очень длинные динамические ряды, которые далеко не всегда имеются в эконометрических исследованиях. При наличии коротких временных рядов стационарные ARпроцессы могут иметь место после удаления из уровней ряда тенденции и сезонных колебаний. Это означает, что исследователь должен вычленить эти компоненты динамического ряда и подвергать дальнейшей обработке остаточные величины. В этом случае авторегрессионный процесс первого порядка AR (1) примет вид.

(7.19).

где - остатки после устранения из уровней ряда тенденции и периодической составляющей; - белый шум.