Проверка допущений базовой модели ТОС и непараметрические меры чувствительности

Рассмотренная в предыдущем параграфе базовая математическая модель теории обнаружения сигнала, позволяющая производить оценку чувствительности и определять положение критерия принятия решения, основана на двух важных допущениях. Первое допущение касается нормальности распределения сенсорного шума и сигнала на сто фоне. Второе допущение предполагает, что дисперсия распределения сигнала на фоне шума не отличается от дисперсии самого шума. Если мы хотим построить рабочую характеристику приемника для различных положений критерия принятия решения и реконструировать по этим точкам кривые изосензитивности, мы должны проверить эти базовые допущения.

Оказывается, что если мы принимаем предположение о нормальности распределения шума и сигнала на фоне шума, следует ожидать, что результаты z-трансформации значений вероятностей правильных попаданий и ложных тревог для разных значений критерия при одном и том же значении чувствительности d' будут связанными линейной зависимостью. Иными словами, перестроив рабочую характеристику приемника в нормальных координатах, мы получаем прямую линию, которая описывается следующим соотношением между ложными тревогами и правильными попаданиями:

(7.6).

Допуская равенство дисперсии распределений сигнала и шума, предыдущее уравнение становится еще проще:

(7.7).

Получается, что при соблюдении базовых условий ТОС линия рабочей характеристики приемника должна пересекать ось ординат, задающую z-значения вероятностей попаданий в точке, равной величине d' под углом 45°. Если полученные точки РХП, будучи отложенными в нормальных координатах, не ложатся на прямую линию, это означает, что распределения шума и сигнала па его фоне отличаются от нормальных. Если же полученная зависимость оказывается прямолинейной, но угол наклона линии регрессии, заданный коэффициентом В в уравнении (7.6), оказывается отличным от 45°, это означает, что условия нормальности распределения сигнала и шума выполняются, но их дисперсии оказываются неравными, так что.

В этом случае использование стандартных процедур оценки чувствительности и положения критерия принятия решения, описанных в предыдущем параграфе, оказывается не вполне корректным.

Если дисперсия сигнала па фоне шума превышает дисперсию шума, то вместо индекса чувствительности d' принято использовать индекс Аm. Использование этого индекса указывает на то, что дисперсия шума оказывается неравной дисперсии сигнала на его фоне. В этом случае наклон линии рабочей характеристики, отложенной в нормальных координатах, оказывается меньше единицы. Следствием этого становится тот факт, что при расчете величины d' для разных точек РХП ее значения оказываются различными, в отличие от ситуации, когда дисперсии шума и сигнала совпадают. Именно поэтому расчет ?m в таком случае оказывается предпочтительным.

Для вычисления ?m необходимо найти величину z-трансформаций вероятности ложных тревог, которая соответствует пятидесяти процент ной вероятности попаданий, что, как мы знаем, соответствует нулевому значению z. Отклонение этой величины от пулевого значения оси абсцисс РХП в нормальных координатах и дает величину ?m (рис. 7.5). Заметим, что точно так же, как и в случае использования d', величина ?m выражает величину чувствительности в единицах стандартного отклонения шума. При совпадении дисперсий сигнала и шума оба этих индекса совпадают.

Рис. 7.5. Оценка чувствительности по РХП в нормальных координатах при неравных дисперсиях шума и сигнала на фоне шума.

Другим способом оценки чувствительности в случае неравенства дисперсий шума и сигнала является расчет показателя d'_e. Величина этого показателя рассчитывается как разница z-значений попаданий и ложных тревог в точке пересечения линии РХП диагонали, идущей из левого верхнего угла РХП к ее правому нижнему углу (рис. 7.6). Такая диагональ называется нисходящей. Смысл этого показателя состоит в вычислении среднего арифметического для стандартного отклонения шума и сигнала. В этих средних единицах и обозначается величина чувствительности d'_r.

Рис. 7.6. Оценка чувствительности по средним значениям кривой РХП.

при неравных дисперсиях

Еще один показатель чувствительности, усредняющий значения дисперсии шума и сигнала, называется d_e Однако в этом случае усреднение происходит несколько по-другому. Среднее значение стандартного отклонения определяется на основе оценки средней дисперсии, квадратный корень из которого и принимается за искомую величину чувствительности. Само значение d_a рассчитывается на основе коэффициентов линейной регрессии в уравнении (7.6):

В случае, когда имеются обоснованные сомнения в нормальности распределения сенсорных эффектов и нет необходимости строить кривые рабочей характеристики приемника, можно использовать непараметрический аналог d который обозначается как А'. Эта величина может быть оценена следующим образом:

Использование этой меры удобно также в том случае, когда число измерений оказывается не слишком большим, в связи с чем может возникнуть ситуация, когда вероятность попаданий оказывается равной единице, а вероятность ложных тревог — нулевому значению. В этом случае мы не сможем произвести необходимую z-траисформацию и потому не сможем вычислить значения d',? С или С'. Использование индекса A' решает эту проблему.