Понятие марковского случайного процесса

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс.

Под случайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными закономерностями.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S1, S2, S3… можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то событий (например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т. п.).

Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы марковский. Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени ?0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пример марковского процесса: система S — счетчик в такси. Состояние системы в момент t характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент ?0 счетчик показывает SQ. Вероятность того, что в момент t > 1{) счетчик покажет то или иное число километров (точнее, соответствующее число рублей) S1, зависит от S0, но не зависит от того, в какие моменты времени изменялись показания счетчика до момента ?0.

Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Например, процесс игры в шахматы; система S — группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t0. Вероятность того, что в момент t > t0 материальный перевес будет на стороне одного из противников, зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t0, а не от того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t0.

В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто пренебречь и применять для их изучения марковские модели.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний. Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние — стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.

15.1. Построить граф состояний следующего случайного процесса: устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

Решение. Возможные состояния системы: S0 — оба узла исправны; S1 — первый узел ремонтируется, второй исправен; S2 — второй узел ремонтируется, первый исправен; S3 — оба узла ремонтируются. Граф системы приведен на рис. 15.1.

Стрелка, направленная, например, из S0 в S1, означает переход системы в момент отказа первого узла, из S1 в S0 — переход в момент окончания ремонта этого узла.

На графе отсутствуют стрелки из S0 в S3 и из S1 в S2. Это объясняется тем, что выходы узлов из строя предполагаются независимыми друг от друга и, например, вероятностью одновременного выхода из строя двух узлов (переход.

Рис. 15.1.

из S0 в S3) или одновременного окончания ремонта двух узлов (переход из S3 в S0) можно пренебречь. >

Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, протекающего в СМО, познакомимся с одним из важных понятий теории вероятностей — понятием потока событий.