Демографические основы страхования жизни и пенсий

В результате изучения главы 7 студент должен:

знать

• • демографические основы страхования жизни и дополнительной пенсии;
• • методы количественной оценки демографических процессов;
• • теоретические основы использования законов смертности при моделировании кривой дожития;

уметь

• • рассчитывать вероятности смерти и дожития застрахованного до любого возраста;
• • определять основные демографические характеристики продолжительности жизни застрахованного с использованием таблиц смертности и функций дожития;
• • строить кривые дожития;
• • содержательно интерпретировать полученные результаты;

владеть

• • теоретическими основами демографического анализа;
• • методами анализа демографических аспектов страхования жизни и дополнительной пенсии.

Дискретные характеристики продолжительности жизни. Таблицы смертности

Основные показатели таблиц смертности и их взаимосвязь

Таблицы смертности (дожития) (life tables) — это система взаимосвязанных показателей, характеризующих процесс доживания изучаемой совокупности населения до определенного возраста в конкретных условиях места и времени. Классическая таблица смертности состоит из нескольких статистических рядов, находящихся в определенных соотношениях и зависимостях.

Задачи анализа таблиц смертности:

• • всесторонне характеризовать смертность и порядок дожития по всем возрастным группам населения на конкретный момент времени;
• • давать сравнительную оценку отдельных таблиц, составленных в разные периоды времени, обычно приуроченных к годам проведения переписей населения. При решении этой задачи необходимо, чтобы сравниваемые таблицы дожития были построены по одной и той же методике;
• • выявлять закономерности изменения и вероятности умереть в возрасте х лет (qx) и вероятности дожить до следующего возраста (рх) в отдельных возрастных группах населения обоих полов, а также закономерности доживания до определенного возраста (/,.), отдельно для мужчин и женщин.

Традиционно для показателей, содержащихся в таблице смертности, приняты следующие обозначения:

х — возраст, лет;

qx — вероятность для лица возраста х умереть в возрасте от х до (зг + 1) лет (умереть в течение года);

рх — вероятность дожить от возраста х лет до (х + 1) лет (прожить еще, по крайней мере, 1 год);

dx - число умирающих в возрасте от х до (.г + 1) лет;

1Х — число доживающих до возраста х полных лет, т. е. переживающих свой х-й день рождения (/0 — исходная совокупность родившихся);

Lx — среднее число лиц, живущих в интервале от х до (.г + 1) года;

ех — ожидаемая средняя продолжительность жизни для лица возраста х лет.

Начальная численность совокупности — «корень» (radix) таблицы смертности (/0) — является гипотетическим числом и обычно принимается равной 100 000 чел. В основе расчетов показателей таблиц смертности находится вероятность умереть в возрасте Л" лет (qx). Последовательность расположения показателей, представленных в самой таблице, отличается от порядка их вычисления (приложения 9, 10). Обычно в первой графе таблицы смертности представлены числа доживающих до возраста х лет (1Х).

В демографических и актуарных расчетах представляет интерес не только величина qx, но и показатель рх — вероятность для лиц возраста х лет дожить до возраста (х +1) лет.

Так как сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1, то.

(7.1).

Для предельного возраста? принимается, что и

Величину рх можно получить и непосредственно из ряда /г Так как из 1Х лиц доживает до возраста (х + 1) лет лиц, то.

(7.2).

ПРИМЕР 7.1

По данным таблиц смертности и ожидаемой продолжительности жизни населения г. Москвы за 2009 г. (приложение 10) для мужчин и женщин 45 лет определите:

• а) вероятность умереть, не дожив до 46 лет;
• б) вероятность дожить до 46 лет, используя значения вероятности умереть в данном возрасте (

Решение

а) Для возраста 45 лет (х = 45) по таблицам смертности определяем значение <745:

для мужчин <745 = 0,7 496;

для женщин <�у45 = 0,2 620.

Таким образом, в возрасте 45 лет вероятность не дожить до 46 лет для мужчин в 2,86 раза выше по сравнению с женщинами.

б) Используя формулу (7.1), определим вероятность для 45-летних прожить еще по крайней мере один год:

для мужчин

для женщин

Ответ: а) мужчины: <�у45 = 0,7 496, женщины: qi5 = 0,2 620; б) мужчины: pi5 = 0,992 504, женщины: р45 = 0,99 738.

Получив величины qx или можно вычислить число доживающих до возраста х лет (1Х). Первоначально умножив исходную совокупность родившихся (заранее выбранное гипотетическое число) на р0, мы получим число доживших до 1 года — /, и т. д.

Таким образом, число доживших до возраста (х + 1) лет равно:

(7.3).

Вероятность дожить до возраста (х + п) лет (лицу возраста х лет прожить еще, по крайней мере, п лет) определяется по формуле.

где п — число лет предстоящей жизни.

ПРИМЕР 7.2

По данным таблиц смертности и ожидаемой продолжительности жизни населения г. Москвы за 2009 г. (приложение 10) имеем:

Показатель.	Мужчины.	Женщины.
	89 461.	95 679.
	86 315.	94 402.
	0,99 393.	0,997 608.
	0,991 619.	0,996 757.

Определите для мужчин и женщин 45 лет:

• а) число доживающих до возрастов 45 и 50 лет из 100 000 новорожденных;
• б) вероятность дожития до 50 лет;
• в) какое число людей в среднем из 1000 человек доживет до 50 лет.

Решение

а) По формуле (7.3) определим значение /Л. для х = 45 лет и х = 50 лет:

для мужчин.

для женщин.

б) Используя формулу (7.4), определим вероятность в 45-летнем возрасте (х = 45 лет) прожить еще по крайней мере 5 лет (п = 5), т. е. дожить до 50 лет.

для мужчин.

для женщин.

в) Используя значения вероятностей дожить хотя бы до 50 лет для 45-летних мужчин и женщин, полученные в пункте 6), определяем:

для мужчин

для женщин

Ответ: а) мужчины: чел., женщины: б) мужчины:

женщины: ; в) мужчины: 962 чел., женщины: 985 чел.

Следующий расчетный показатель — число лиц возраста х, умирающих ранее достижения возраста (.г + 1) лет (dx). Он определяется как разность числа доживающих (/,.) до возраста х лет и числа лиц, доживающих до следующего года ((r+l)•.

(7.5).

Для предельного возраста w лет справедливы следующие равенства:

(7.6).

(7.7).

Отношение.

(7.8).

можно рассматривать как вероятность для достигших возраста х лет умереть в течение следующего года жизни (не дожить до возраста (х + 1) лет).

Из ряда /, можно получить ряд dx, и наоборот, зная dx и /0, можно восстановить /г Вероятность умереть в течение п лет, т. е. в возрасте от х лет до (.г + п) лет, определяется по формуле.

(7.9).

где п — число лет предстоящей жизни; ndx - число лиц возраста х, умерших в течение ближайших п лет.

Вероятность того, что человек возраста х лет проживет по крайней мере еще п лет, но не более (и + т) лет (т.е. умрет между (х + т) и (х + т + п) годами) имеет вид:

(7.10).

ПРИМЕР 7.3

По данным таблиц смертности и ожидаемой продолжительности жизни населения г. Москвы за 2009 г. (приложение 10) известны следующие данные:

Показатель.	Мужчины.	Женщины.
	88 918.	95 450.
	88 251.	95 200.

Определите для мужчин и женщин 45 лет:

• а) среднее число умирающих в возрасте от 45 до 46 лет из 100 000 новорожденных;
• б) вероятность умереть в возрасте 45 лет.

Решение

а) По формуле (7.5) определим среднее число умирающих в возрасте от 45 до 46 лет (dx) для возраста .г =45 лет из 100 000 новорожденных:

для мужчин

для женщин

б) По формуле (7.8) определим значение qx для возраста х = 45 лет:

для мужчин

для женщин

Ответ: а) мужчины: d45 = 667, женщины: d45 = 250; б) мужчины: q45 = 0,0075, женщины: q45 = 0,262.

ПРИМЕР 7.4

Необходимо доказать справедливость равенства

Доказательство

Выразим вероятности дожить и умереть через числа доживающих и умирающих в соответствующих возрастах:

Тогда.

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 7.5

По данным таблиц смертности и ожидаемой продолжительности жизни населения г. Москвы за 2009 г. (приложение 10) известны следующие данные:

Показатель.	Мужчины.	Женщины.
	88 918.	95 450.
	85 591.	94 096.
	83 639.	93 320.

Определите для мужчин и женщин 45 лет:

• а) вероятность умереть в течение последующих 5 лет;
• б) вероятность умереть между 50 и 52 годами.

Решение

а) По условию задачи х= 45, п = 5. По формуле (7.9) определим число умерших в течение 5 лет — в возрасте от х = 45 до (х + п) = = 50 лет:

для мужчин чел.;

для женщин чел.

По формуле (7.9) определим вероятность для мужчин и женщин умереть в возрасте от 45 лет до 50 лет:

для мужчин

для женщин

б) Для расчета вероятности умереть для 45-летних в возрасте 50−52 года по условию задачи определим х= 45, п = 5, т = 2. Тогда по формуле (7.10):

для мужчин.

для женщин.

Ответ: а) мужчины: 5⁴⁵ = 0,3 742, женщины: 5qi5 = 0,1 419; б) мужчины: 5|245 = 0,813.

.

ПРИМЕР 7.6

Докажите справедливость равенства птс!х = пРх п+тРх.

Доказательство

Представим для возраста х лет вероятность умереть в возрасте от (д: + п) до (д• + п + т) лет в виде:

Из курса теории вероятностей^[1] известны формулы:

Тогда.

или.

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 7.7

Используя данные таблицы смертности и ожидаемой продолжительности жизни населения г. Москвы за 2009 г. для мужчин и женщин (приложение 10), проверьте справедливость равенства.

при условии, что д'=45, п=5, т=2.

Решение

Используя условия задачи докажем справедливость равенства.

По результатам решения примеров (7.2) и (7.5) известны следующие значения показателей:

Показатель.	Мужчины.	Женщины.
	0,96 258.	0,98 581.
	0,3 742.	0,1 419.
	83 639.	93 320.

Необходимо определить значения показателей вероятности ??45 и 7qi5 для 45-летних мужчин и женщин прожить еще не менее 7 лет:

для мужчин

для женщин

Тогда вероятность умереть для 45-летних в течение следующих 7 лет:

для мужчин

для женщин

Полученные значения подставим в равенство:

для мужчин.

для женщин.

Полученные разности совпадают с результатами решения примера 7.5.

Следует отметить, что величина qx в таблицах смертности, рассматриваемая как вероятность для совокупности лиц возраста х умереть, не дожив до возраста (х + 1) лет, определяется на основании результатов наблюдения и имеет лишь формальный характер математической вероятности.

Определяя вероятность для достигших х лет умереть, не дожив до (х + 1) лет, некорректно применять эту вероятность к каждому наблюдаемому индивиду данной совокупности. Для х-летнего человека, имеющего диагноз смертельного заболевания, близка к qx = 1, но для вполне здорового эта вероятность может приближаться к нулю. Таким образом, здесь не соблюдено основное свойство классической вероятности — равновозможность случаев.

Необходимо, однако, иметь в виду, что статистика вообще не касается отдельных индивидуумов или отдельных слeчаев, но объединяет отдельные случаи в совокупности, как особые объекты научного изучения. Величина qx может рассматриваться как действительная вероятность для лиц данной совокупности х-летних умереть в течение следующего года жизни, так как присутствует общий признак — возраст.

• [1] Вентцель E. С. Указ. соч.