Интенсивность смертности и ее связь с функцией дожития

При описании смертности за определенный период времени абсолютные показатели недостаточны. Например, согласно таблице смертности и ожидаемой продолжительности жизни мужчин в 2009 г. по г. Москве (приложение 10) из 100 000 новорожденных в разных возрастных категориях умерло примерно схожее количество людей: в возрасте 61−70 лет — 18 621 мужчина (dei + dV)2 + … + d70), в возрасте 81−90 лет — 19 764 мужчин (dHi + dH2+ … + dm). Однако необходимо учесть, что к моменту 61 года число живущих было 72 625 мужчин (/61), а к моменту 81 года — 29 306 мужчин (/81). Таким образом, для первого возрастного интервала доля числа умерших за период составит 25,6% от числа живых к началу этого периода, для второго — 67,4%. Эта доля выражает вероятность смерти в течение ближайшего 10-летия мужчины, дожившего до 61 и 81 года соответственно.

В общем случае вероятность смерти человека, дожившего до х лет, в течение ближайших t лет равна:

Если t или f (u) мало меняется на интервале х<�и< < (х + t), то, применяя формулу Тейлора, можно получить приближенное равенство:

(7.32).

Величина.

(7.33).

называется интенсивностью смертности (the force of mortality). При малых t величина ??(?) приближенно выражает вероятность смерти в интервале (х, х + t) человека, дожившего до х лет.

Представление о характере зависимости рд. и х можно получить из таблицы смертности. Наряду с другими характеристиками продолжительности жизни в ней табулирована функция.

(7.34).

Отсюда следует, что ?? > 0.

Определение ?? как /:'(.r)/(l — F (x)) или ~s'(x)/s (x) можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно F (x) (или относительно х (х)), решая которое мы получаем следующие формулы:

(7.35).

Условие означает, что верно свойство:

Указанные свойства являются характеристическими свойствами интенсивности смертности. Интенсивность смертности может быть также использована в качестве первичной характеристики при исследовании продолжительности жизни.

Распределение остаточного времени жизни. Среднее остаточное время жизни

Распределение остаточною времени жизни

Страховая компания имеет дело с конкретными людьми, дожившими до определенного возраста. Статистические свойства времени жизни таких людей существенно отличаются от свойств времени жизни новорожденных. Если человек в возрасте х лет обратился в страховую компанию, то заведомо известно, что он дожил до х лет. Поэтому все случайные события, связанные с этим человеком, должны рассматриваться при условии, что Т > х. В частности, среднее время жизни этого человека — это условное среднее М (ТТ >.г), и оно не обязано совпадать с М (Г). Так, вероятность смерти этого человека в течение ближайших 10 лет — это вероятность того, что выполняется неравенство х<�Т < <(х +10) при условии, что Т > х.

Для человека в возрасте х лет обычно рассматривают не продолжительность жизни Т, а остаточное время жизни Тх = (Г — х). Распределение случайной величины Тх - это условное распределение величины (Т х) при условии, что Т > х. Таким образом, для имеем:

(7.36).

Соответствующая функция выживания определяется по формуле (7.19):

(7.37).

Тогда плотность fx(t) случайной величины Г, может быть определена, но формуле.

(7.38).

Интенсивность смертности, связанная с величиной 7, определяется выражением Это соотношение означает, что интенсивность смертности спустя время t для человека, которому сейчас х лет, равна интенсивности смертности в возрасте (.г + г) для новорожденного. Иными словами, интенсивность смертности в данном возрасте (х +t) не зависит от уже прожитых лет. Значит, график функции y=fx(t) — это сдвинутая влево и сжатая по вертикали кривая смертности /(.г).

Рассмотрим основные характеристики остаточного времени жизни. Вероятность Р (ТХ < t) в актуарной науке обозначается символом tqx:

(7.40).

Она выражает вероятность смерти человека возраста х лет в течение ближайших t лет. С учетом этого обозначения формулу (7.40) можно переписать в виде.

(7.41).

Дополнительная вероятность Р (ТХ > t) в актуарной математике обозначается символом tpx Она выражает вероятность того, что человек в возрасте х лет проживет еще, по меньшей мере, глет. Из (7.41) мы получим следующую формулу:

(7.42).

Случай г = 1 год играет особую роль и встречается наиболее часто. Для него принято опускать левый индекс у переменных tqr и fPx. Таким образом, как уже отмечалось, символ qx обозначает вероятность того, что человек в возрасте х лет умрет в течение ближайшего года, а символ рх - вероятность того, что человек в возрасте х лет проживет еще по меньшей мере один год.

Из общих формул (7.41) и (7.42) имеем:

(7.44).

С помощью вероятностей рх можно подсчитать и более общие вероятности , рл:

(7.45).

Поскольку то эту формулу можно переписать в виде:

(7.46).

Формула (7.45) имеет простой интуитивный смысл: она выражает тот факт, что человек в возрасте х лет проживет еще t лет:

• — если он проживет еще один год (вероятность этого события равна рх);
• — при условии, что он доживет до возраста (х + 1) лет, он проживет еще один год (вероятность этого события равна Рх-и);
• — при условии, что он доживет до возраста (х +1 — 1) лет, он проживет еще один год (вероятность этого события равна Px+t-1)•

Рассмотрим теперь более общее событие, заключающееся в том, что человек возраста х лет проживет еще t лет, но умрет на протяжении и последующих лет.

В терминах остаточного времени жизни Тх это событие можно выразить двойным неравенством: t < Тх < (t + и). Его вероятность обозначается .:

(7.47).

Эта вероятность может быть выражена как через функцию распределения остаточного времени жизни tqx, так и через дополнительную функцию распределения tpx:

(7.48).

Имея в виду формулы (7.41) и (7.42), перейдем к основной функции демографической статистики — функции выживания s (x):

(7.50).

Случай, когда и = 1, представляет собой особый интерес для приложений к страхованию жизни. Как обычно, соответствующий индекс принято опускать: , qx — это вероятность того, что человек в возрасте х лет проживет еще t лет, но умрет на протяжении следующего года.

Приведенные выше общие формулы дают:

(7.51).

ПРИМЕР 7.9

Используя данные таблицы, найдите вероятность того, что 20-летний молодой человек:

• а) доживет до 40 лет и умрет затем в ближайшие 10 лет,
• б) проживет еще 40 лет и умрет в ближайшие 10 лет.

Решение

а) Для определения вероятности умереть в промежутке от (.г + ?) до (х + t + и) лет следует воспользоваться формулой (7.50). По условию задачи: х = 20, (х + ?) = 40, t = 20, и = 10. Тогда.

б) Для определения искомой вероятности необходимо воспользоваться формулой (7.50). По условию: х = 20, Г = 40, и = 10. Тогда.

Ответ: для 20-летнего молодого человека вероятность: а) дожить до 40 лет и умереть затем в ближайшие 10 лет равна 5,97%, б) прожить еще 40 лет и умереть в ближайшие 10 лет равна 18%.

ПРИМЕР 7.10^[1]

Предположим, что в возрасте от 30 до 33 лет интенсивность смерти описывается формулой: ?? = 0,001.г. Необходимо определить для 30-летнего мужчины вероятность умереть в промежутке между 32 и 33 годами.

Решение

Запишем искомую вероятность, используя формулу (7.51):

Воспользуемся формулой (7.35), представив ее в виде:

Тогда.

где.

Ответ: для 30-летнего мужчины вероятность умереть в промежутке между 32 и 33 годами равна 0,03.

Что касается характеристики «ожидаемая продолжительность предстоящей жизни», то в контрактах по страхованию жизни, где страховщика интересует вероятность дожития застрахованного до определенного возраста, данная характеристика не очень информативна. С ее помощью можно лишь достаточно грубо оценить ситуацию для конкретного застрахованного лица.

В пенсионном же страховании роль этой характеристики несколько выше, так как она позволяет в первом приближении оценить объем ответственности страховщика. Тем не менее при решении актуарных задач этого явно недостаточно. Необходимо оценить возможные отклонения от среднего значения с указанием вероятности этого отклонения.

Принципиальным моментом является исследование поведения «хвоста» кривой дожития. Подбор аналитических кривых преследует именно эту цель. Актуарий должен построить кривую для конкретного клиента и проверить, сколько таких (или по крайней мере подобных) кривых (т.е. застрахованных) есть в его портфеле.

Если портфель достаточно многочисленный, то на основании закона больших чисел ожидаемый суммарный ущерб можно аппроксимировать нормальным законом. В противном случае (а именно это и имеет место в портфелях большинства страховых компаний, особенно российских на современном этапе) ориентация на математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение — недостаточно оправданна.

Приходится рассчитывать рисковую надбавку, опираясь на процентные точки кривой распределения. А для суммарного ущерба использовать аппарат «свертки». На основе распределения величины суммарного ущерба (точнее, его процентных точек) можно указать величину, ограничивающую суммарный ущерб с заданной вероятностью. Тогда разность этой величины и среднего ущерба указывает суммарную рисковую надбавку, обеспечивающую заданную надежность (см. гл. 3).

Разумеется, здесь предполагается, что следующий диапазон величины суммарного ущерба перекрывается резервом, а при необходимости — перестрахованием.

Если расчеты проводятся в обратном направлении, т. е. сначала определяется тариф исходя из ситуации на рынке, затем находится нетто-премия, а рисковая премия определена на основе кривой дожития, то разность между ними показывает суммарную рисковую надбавку, т. е. позволяет оценить надежность, обеспечиваемую взносами. Тогда дальше учитываются возможности повышения устойчивости страховщика за счет резервов, собственного капитала, перестрахования и т. д.^[2]

Среднее остаточное время жизни

Продолжительность жизни при достижении человеком возраста х лет определяется вероятностными характеристиками процесса вымирания начальной совокупности родившихся. В случае, если этот процесс описывается функцией дожития sx(i), продолжительность жизни конкретного лица в возрасте х лет может принимать любые значения в диапазоне от 0 до (со — х) лет (где? — предельный возраст). В этом случае средняя продолжительность жизни — это математическое ожидание случайной величины Тх (где Тх — оставшееся время жизни для лица в возрасте х лет).

Среднее значение остаточного времени жизни человека в возрасте х лет называется полной ожидаемой продолжительностью жизни (complete expectation of life) и определяется как математическое ожидание случайной величины Тх по формуле.

(7.52).

Для того чтобы определить взаимосвязь между дискретной и непрерывной характеристиками средней продолжительности жизни, необходимо выдвинуть гипотезу относительно вида функции дожития х (х). Например, если считать функцию дожития линейной на всем промежутке между целыми значениями возрастов, можно определить равенство.

(7.53).

В общем случае также используют формулу (7.53) при учете приближенных результатов.

ПРИМЕР 7.11^[3]

Предположим, что функция выживания имеет вид:

Необходимо найти:

• а) вероятность того, что 50-летний человек умрет в течение ближайшего года;
• б) среднее остаточное время его жизни.

Решение

а) Используем формулу (7.43):

б) 1-й способ: Воспользуемся правой частью формулы (7.52):

2-й способ: Воспользуемся средней частью формулы (7.52). Для решения необходимо вспомнить правило интегрирования методом замены переменной:

Тогда.

где

• [1] Фалин Г. И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. М.: Анкил, 2007.

  .

• [2] Фалин Г. И. Указ. соч.
• [3] Там же.