Законы смертности. 
Актуарные расчеты

Выделяют два основных подхода к исследованию законов смертности населения.

Первый подход выражен в стремлении найти единую математическую формулу «закона смертности», представить вероятность умереть, как непрерывную величину, значения которой можно рассчитать на любой момент жизни человека, уточнив тем самым тариф. Недостатком этого подхода является некоторая усредненность, сглаженность законов смертности.

Второй подход заключается в построении таблиц смертности. Он позволяет учесть в таблицах смертности, усредненные для данного возраста, но не сглаженные вероятности умереть. Его недостатком является отсутствие достоинств аналитического сглаживания.

В актуарных расчетах чаще используют второй подход, дополняя его некоторыми допущениями о характере смертности между отдельными годами жизни.

Многие авторы пытались выразить зависимость смертности от возраста одной общей формулой и дать аналитический закон смертности. Попытки эти, однако, не увенчались успехом ввиду крайней сложности и многочисленности факторов, влияющих на смертность, многие из которых пока даже не поддаются цифровому учету.

Одна из первых попыток получить аналитическое выражение для s(x) принадлежит де Муавру (1725). Он предположил линейный характер убывания функции дожития:

(7.54).

и для интенсивности смертности:

(7.55).

При этом плотность смертности постоянна: F (x) = 1/?.

Конечно, в дальнейших исследованиях выяснилось, что эта гипотеза противоречит опытным данным.

В 1825 г. английскому ученому Гомперцу (Сотрет) удалось найти более подходящую общую формулу, усовершенствованную впоследствии Мейкхемом (Makeham), выражающую зависимость между смертностью и возрастом — формулу, дающую для средних возрастов результаты, близкие к полученным из наблюдений. Согласно этому закону логарифмы вероятностей прожить следующий год жизни следуют закону геометрической прогрессии. Формула

Гомперца — Мейкхема, хоть и является законом приближенным, широко применяется в современной практике для выравнивания показателей таблиц смертности.

Сначала Гомперц предложил экспоненциальную формулу для силы смертности:

(7.56).

(7.57).

(7.58).

(7.59).

(7.60).

(7.61).

Затем в 1860 г. Мейкхем наряду с фактором, связанным с «естественной» смертностью В • Сх, принял во внимание смертность от внешних, не связанных со старением причин (например, смерть от несчастного случая и т. п.) (константа А) и уточнил формулу Гомперца в виде:

(7.62).

(7.63).

(7.64).

В 1869 г. он предложил еще одно линейное слагаемое, и тогда выведенный им закон смертности принял следующий вид:

(7.65).

(7.66).

(7.67).

В 1931 г. Пек (или Перке) предложил соотношение.

(7.68).

Широкое распространение в анализе данных типа «времени жизни» получила формула Вейбулла:

(7.69).

(7.70).

(7.71).

Однако универсальной формулы смертности, дающей хорошее приближение для всего диапазона возрастов, пока не существует. Различные законы дают разную степень точности для разных возрастных групп. Поэтому на практике используют кусочные комбинации этих выражений.

ПРИМЕР 7.12^[1]

Специалисты считают, что разработка нового лекарственного препарата увеличит ожидаемую среднюю продолжительность жизни на 4 года. Предполагается, что смертность (до разработки лекарственного препарата и после) описывается законом де Муавра. Определите, как изменится предельный возраст ?.

Решение

Для решения задачи введем обозначения. Пусть? — предельный возраст до разработки лекарственного препарата; ?' - предельный возраст после разработки лекарственного препарата.

Так как смертность описывается законом де Муавра, то остаточное время жизни Г (х) равномерно распределено на отрезке (0,? — х). Следовательно, ожидаемая продолжительность жизни до разработки лекарственного препарата по формуле (7.52):

Тогда ожидаемая продолжительность жизни после разработки лекарственного препарата:

По условию задачи

Тогда.

Ответ: предельный возраст увеличится на 8 лет.

• [1] Фалин Г. И. Указ. соч.