Кривые линии. 
Инженерная графика

Общие сведения о кривых линиях и их проецировании

Кривую линию можно рассматривать как траекторию движения точки на плоскости или в пространстве, а также как совокупность точек, удовлетворяющих определенному уравнению. Кривая линия может являться результатом пересечения между собой кривых поверхностей или кривой поверхности и плоскости.

Кривая линия определяется положением составляющих ее точек. Точки кривой определяются их координатами.

Кривую линию называют плоской, если все точки линии лежат в одной плоскости, и пространственной, если точки не принадлежат одной плоскости. Примеры плоских кривых линий — окружность, эллипс, парабола, спираль Архимеда; примеры пространственных кривых — винтовая линия, линия пересечения боковых поверхностей прямых круговых цилиндра и конуса, оси которых не пересекаются.

Один из вариантов построения эллипса по большой (2R) и малой (2г) осям приведен на рис. 7.1. При построении проводят окружности радиусами г и Лиз одного центра Ои произвольный радиус ОА. Из точек пересечения 1 и 2 проводят прямые, параллельные осям эллипса, и в точке их пересечения отмечают точку М эллипса. Аналогично строят необходимое число точек. Вариант построения овала, близкого к эллипсу, приведен на рис. 11.9.

Построение сопряжений. Касательная из точки (А) к окружности (рис. 7.2).

На отрезке ОА как на диаметре строят окружность радиуса R = 0,5[ОА. Точка 1 ее пересечения с заданной окружностью радиуса г-точка сопряжения (0−1-А = 90°). Через точки А и / проводят искомую касательную.

Касательная к двум дугам (!!!Лил рис. 7.3, внешнее касание). Проводят дугу ра;

Рис. 7.1.

Рис. 7.2.

Рис. 7.3.

Рис. 7.4.

диуса R — г из центра О дуги большего радиуса. Строят касательную МО к этой дуге, проходящую через центр дуги меньшего радиуса . На продолжении луча OM отмечают точку касания /. Из центра O1 проводят прямую , через точки? и 2 — искомую касательную.

Касательные к двум дугам (Лиг, рис. 7.4, внутреннее касание). Из центра O1 дуги большего радиуса проводят дугу радиуса R + г. Строят касательную к этой дуге в точке М, проходящую через центр О (см. рис. 7.2). Отмечают точку касания 1 на дуге радиуса /?, строят точку касания 2 на дуге радиуса или . Проводят искомую касательную.

Сопряжение двух дуг вогнутое (рис. 7.5). Радиус сопряжения R; центр ^[1]

Точки сопряжения

Сопряжение двух дуг выпуклое (рис. 7.6). Радиус сопряжения Л; центр

Точки сопряжения

Рис. 7.5.

Сопряжение окружности с прямой (рис. 7.7). Центр С дуги сопряжения радиуса R строят в пересечении дуги радиуса (г + R) и прямой, параллельной заданной прямой АВ на расстоянии [Л]. Точки 1 и 2 — точки сопряжения.

Построение овалов. Овал — это фигура, состоящая из двух опорных окружностей, внутренне сопряженных дугами. Построение овала с опорными окружностями разных диаметров (рис. 7.8) сводится к построению выпуклого сопряжения двух дуг (см. рис. 7.6) двумя дугами одинакового радиуса из центров С) и С2. Такой овал имеет одну ось симметрии. Если опорные окружности одинакового диаметра, то овал имеет две оси симметрии.

Построение овала по двум заданным осям (рис. 7.9). Широко применяется, например, следующее построение. На продолжении малой оси отмечают точку /([0/1] = [О — /]) и на отрезке АС дугой радиуса С- 1 отмечают точку 2. Через середину 3отрезка А — 2проводят перпендикуляр и находят центры С, опорной окружности радиуса г и С2 сопрягающей дуги R. Точка сопряжения (4) = (arcг) п (С, С2). Центры С3 и С4 находят как симметричные. Заметим, что по двум осям может быть построено бесконечно большое число овалов.

Рис. 7.6.

Рис. 7.7.

Рис. 7.8.

Рис. 7.9.

Построение спирали Архимеда. Траектория точки, равномерно передвигающейся по равномерно вращающемуся радиусу вокруг неподвижного центра, представляет собой плоскую кривую, называемую спиралью Архимеда. Расстояние между точками, лежащими на одном радиусе, называют шагом спирали. На это расстояние точка удаляется от центра при повороте на 360°. Спираль Архимеда имеет две ветви, одна из них образуется при вращении радиуса по часовой стрелке, вторая — против часовой. Построение спирали Архимеда при заданном шаге R показано на рис. 7.10. Окружность радиуса R и шаг спирали делят на одинаковое количество равных частей (например, на 12). Пересечение концентрических дуг, проведенных радиусами 01, 02, 03,… с лучами 01, 011, 0111,…, определяет точки А, Аг, А),… спирали. Для построения касательной и нормали к любой точке используют окружность радиуса Rh длина которой равна шагу Л спирали. Касательная к окружности радиуса R, является нормалью к спирали в точке их пересечения, например нормаль MNв точке /17 спирали. Касательная А1 в точке А7 перпендикулярна нормали MN.

Для построения проекций кривых линий строят проекции ряда принадлежащих ей точек (рис. 7.11).

Пространственная кривая проецируется в виде плоской, плоская кривая — также в виде плоской или в виде прямой линии, если кривая находится в проецирующей плоскости. Кривая, представляющая собой прямоугольную проекцию кривой некоторого порядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка. Эллипс и окружность проецируются в эллипс (см. рис. 7.13) или, в частном случае, в окружность; проекция параболы — парабола, гипер;

Рис. 7.10.

Рис. 7.11.

болы — гипербола. Техника построения плоских кривых и их проекций подробно рассмотрена в справочниках.

Касательная к кривой проецируется в общем случае в виде касательной к проекции этой кривой. Например, на рис. 7.11 касательная DC в точке 3 к кривой AB проецируется на плоскость? в виде касательной DttC0 в точке 3° к проекции A 0B0 кривой. Проецирующая.

Рис. 7.12.

плоскость, проходящая через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве.

Длина некоторого участка кривой линии определяется приближенно, путем замены кривой линии ломаной, вписанной в эту кривую, и измерением длины звеньев этой ломаной линии (если длину нерационально определить расчетом). Для уменьшения ошибки отрезки ломаной берут мало отличающимися по длине от дуг кривой, хордами которых являются эти отрезки. Пример определения длины кривой ABC приведен на рис. 7.12; горизонтальная проекция — кривая А’В’С' - разбита на малые части и «развернута» в прямую на оси х так, что отрезки A0I0, 1020 и т. д. соответственно равны хордам А’Г, !'2' и т. д.; в точках A0, 10,20 и т. д. проведены перпендикуляры к оси х и на них отложены аппликаты точек кривой. Длина построенной линии AlBiCl может быть приближенно принята за длину кривой АВС.

• [1] Circ — условная запись слов «окружность» или «дуга окружности» .