Модели гиперболического типа

Модели гиперболического типа успешно применяются в экономике при моделировании:

• • зависимости спроса от цен;
• • зависимости спроса от дохода (кривые Эйнгеля);
• • спроса на предметы роскоши от дохода (функции Торнквиста);
• • уровня относительного изменения заработной платы в зависимости от относительного изменения уровня безработицы (кривая Филипса).

Модель гиперболического типа имеет вид (для простоты рассмотрим модель парной регрессии):

(9.5).

Сделав замену переменной •, получим спецификацию линейной модели парной регрессии с экзогенной переменной 2.

(9.6).

В практических приложениях гиперболические модели используются в тех случаях, когда при неограниченном увеличении регрессора значение эндогенной переменной ассимптотически стремится к некоторому значению. В конкретной модели (9.5) при стремлении регрессора к бесконечности, значение эндогенной переменной стремится к значению параметра , который экономически интерпретируется как предельный уровень эндогенной переменной. Параметр характеризует скорость приближения эндогенной переменной к этому уровню.

Модели полулогарифмические

К данному типу моделей, как правило, относят уравнения парной регрессии, в которых объясняющая переменная используется в логарифмическом виде.

Полулогарифмические модели используются в случаях, когда ставится задача определить темп роста или темп прироста каких-либо экономических показателей, например, при анализе банковского вклада по его первоначальному значению и процентной ставки, при исследовании зависимости прироста объема выпуска от относительного увеличения затрат ресурсов, бюджетного дефицита от темпа роста ВНП, темпа роста инфляции от объема денежной массы в обращении и т. п. Спецификация полулогарифмической модели имеет вид:

(9.7).

Возникает вопрос: по какому основанию проводить логарифмирование объясняющей переменной? Вообще говоря, по любому. Основание логарифма является еще одним параметром модели, значение которого, как правило, находится методом подбора.

В качестве примера рассмотрим построение модели потребления мяса цыплят в зависимости от среднедушевого дохода в Великобритании в гиперболическом и полулогарифмическом виде. В табл. 9.1 приведены данные^[1] наблюдений за 20 лет, как в реальном исчислении, так и в преобразованном виде для построения гиперболической и полулогарифмической моделей.

Таблица 9.1

Данные наблюдений для построения гиперболической и полулогарифмической моделей

№ п/п.	Потребление, у	Доход, x1.
	30,8.	459,7.	0,0022.	6,1306.
	31,2.	492,9.	0,0020.	6,2003.
	33,3.	528,6.	0,0019.	6,2702.
	35,6.	560,3.	0,0018.	6,3285.
	36,4.	624,6.	0,0016.	6,4371.
	36,7.	666,4.	0,0015.	6,5019.
	38,4.	717,8.	0,0014.	6,5762.
	40,4.	768,2.	0,0013.	6,6441.
	40,3.	843,3.	0,0012.	6,7373.
	41,8.	911,6.	0,0011.	6,8152.
	40,4.	931,1.	0,0011.	6,8364.
	40,7.	1021,5.	0,0010.	6,9290.
	40,8.	1165,9.	0,0009.	7,0612.
	42,7.	1349,6.	0,0007.	7,2076.
	44,1.	1449,4.	0,0007.	7,2789.
	46,7.	1575,5.	0,0006.	7,3623.
	50,6.	1759,1.	0,0006.	7,4726.
	50,5.	1994,2.	0,0005.	7,5980.
	51,7.	2258,1.	0,0004.	7,7223.
	52,9.	2478,7.	0,0004.	7,8155.

Оцененные по этим данным модели получили вид. Модель полулогарифмического типа:

(9.8).

Модель гиперболического типа:

(9.9).

На рис. 9.2 представлены диаграмма рассеяния по данным табл. 9.1 и графики функций по моделям (9.8) и (9.9).

Рис. 9.2. Диаграмма рассеяния и графики моделей (9.8) и (9.9):

сплошная линия — гиперболическая модель; пунктирная линия — логарифмическая модель.

Как следует из полученных данных, обе модели отвечают критерию качества спецификации и на визуальном уровне, можно сказать, достаточно точно описывают поведение процесса. Из сравнения значений ESS следует отдать предпочтение полулогарифмической модели, ESS которой практически вдвое меньше, чем у гиперболической.

Замечание. Недостаток метода замены переменных заключается в том, что вектор оценок неизвестных параметров модели находится не из условия минимума суммы квадратов отклонений исходных переменных, а из условия минимизации суммы квадратов отклонений преобразованных переменных. В связи с этим может понадобиться уточнение полученных оценок.

• [1] Задача и исходные данные взяты из книги: Мхитарян В. С. Указ. соч.