Движение математического маятника

Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

" СЫКТЫВКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Кафедра математического моделирования и кибернетики КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: «Движение математического маятника»

Направление подготовки: 10 200.62 — Математика и компьютерные науки Научный руководитель: Беляева Н. А.,

Исполнитель: Ерофеевская Е. П.,

Сыктывкар, 2013

• 1§. Введение
• 2§. Составление уравнения движения математического маятника
• 3§. Решение уравнения
• 4§. Эллиптический интеграл
• 5§. Закон движения маятника (в эллиптических функциях)
• 6§. Графики траекторий движения маятника
• 7§. Заключение
• 8§. Список литературы
• 9§. Приложение

1§. Введение

Движение математического маятника — одна из тем изучения по дисциплине «Дифференциальные уравнения». Выявляя траекторию движения, мы увидели, что при разных условиях, например, произвольные или малые колебания, с трением движение маятника или без, различаются уравнения движения математического маятника, способ решения уравнений и графики траекторий.

В своей работе я рассмотрю движение математического маятника без трения в случае произвольных колебаний.

Объект исследования: математический маятник.

Цель исследования: построить численно соответствующие кривые движения при различных начальных условиях.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Изучить учебную литературу о колебаниях.

2. Составить уравнение движения математического маятника без трения.

3. Найти закон движения (в эллиптических функциях).

4. Изучить учебную литературу об эллиптическом интеграле.

5. Научиться строить графики траекторий в математической системе Maple.

6. Сделать выводы.

Элементы новизны нашей работы заключаются в том, что мы изучили движения математического маятника при произвольных колебаниях без трения и построили график движения.

По структуре работа представлена в таком виде:

В 1-ом разделе рассказывается об устройстве математического маятника, составлении уравнения движения его.

Во 2-ом разделе — находится поэтапное решение уравнения движения математического маятника.

В 3-ем разделе изучается теория об эллиптическом интеграле.

В 4-ом разделе находится закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию.

В 5-ом разделе строятся численно соответствующие кривые движения при различных условиях.

В приложении будет представлен код построения кривых движения маятника в математической системе Maple. А в заключении будут подведены итоги всей работы.

При написании этой работы я пользовалась следующей литературой:

Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969.

Боровой А., Херувимов А. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981. — помогли в выводе и составлении уравнения движения маятника;

Беляева Н. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения Сыктывкар, 2012 — в решении дифференциального уравнения движения маятника;

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления 2 том М.: Наука. 1969. — в изучении теории об эллиптическом интеграле и нахождении закона движения маятника, выраженного через эллиптическую функцию.

движение математический маятник траектория

2§. Составление уравнения движения математического маятника

Пусть материальная точка массы m подвешена на нерастяжимой нити или стержне длины l (весом которых пренебрегаем) так, что может двигаться по дуге окружности (рис.). Эта система называется математическим маятником. Выведя маятник из положения равновесия OA в положение OB (б<�р/2), предоставим маятник самому себе, не сообщая ему начальной скорости.

Маятник перейдёт в симметричное положение OB', потом вернётся в положение OB и т. д. Пусть и — угол отклонения маятника от вертикали. Задача состоит в установлении характера колебаний маятника, т. е. в выяснении зависимости между углом и = AOM и времени t. Для определённости рассмотрим движение точки M по дуге AB, отсчитывая пройденный путь s=АВ=lи от точки А, а время t-от момента прохождения маятника через положение равновесия.

Составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения

mW=F+N, (1)

где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи.

Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе,

т.е.. (2)

Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде

или mW=F, где W есть ускорение точки.

Итак, уравнение (1) в проекции на ось t даст нам одно из естественных уравнений движения точки по заданной неподвижной гладкой кривой:

или .

В нашем случае получим в проекции на ось t

где m есть масса маятника.

Также согласно законам механики, угловое ускорение пропорционально моменту силы веса:. Здесь — момент инерции.

Так как ₍тангенциальное ускорение), отсюда находим

.

Сократим на m и положим, тогда уравнение движения маятника без трения при произвольных колебаниях будет иметь следующий вид:

. (3)

3§. Решение уравнения

уравнение движения математического маятника без трения.

Для решения используем метод понижения порядка.

=p, p=p (и) — делаем замену;

;

— применяем замену;

— разделили переменные;

- проинтегрировали;

— нашли решение по переменной p;

— вернулись к исходным данным;

— разделили переменные.

Интегрируя слева от 0до t, а справа от 0 до и, приходим к искомой зависимости:

— проинтегрировали (4)

Возьмём, то

(5)

общее решения уравнения в явном виде.

4§. Эллиптический интеграл

(5)

общее решения уравнения в явном виде.

Перед нами эллиптический интеграл.

В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером.

В современном представлении, эллиптический интеграл — это некоторая функция, которая может быть представлена в следующем виде:

где — рациональная функция двух аргументов, — квадратный корень из многочлена 3 или 4 степени с несовпадающими корнями, — константа.

Это название, в точном смысле, относят обычно лишь к тем из них, которые не берутся в конечном виде; другие же называют псевдоэллиптическими.

В общем случае, эллиптический интеграл не может быть выражен в элементарных функциях; исключением являются случаи, когда P имеет повторяющиеся корни или когда R (x,y) не содержит нечётных степеней y. Однако для каждого эллиптического интеграла существует механизм приведения его к сумме элементарных функций и трёх нормальных эллиптических интегралов (то есть эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода).

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:

· б — модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой);

· - модуль эллиптического интеграла;

· - параметр;

Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.

Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:

где — эллиптическая функция Якоби;

— амплитуда;

Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что u зависит также и от m. Несколько дополнительных уравнений связывают с другими параметрами:

и

Последнее иногда называется дельта амплитуда и записывается как

.

Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительный модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:

— дополнительный параметр

— дополнительный модуль

— дополнительный модулярный угол

Все эллиптические интегралы с помощью элементарных подстановок — и с точностью до слагаемых, выражающихся в конечном виде, — приводятся к следующим трём стандартным интегралам:

и ,

где (0<�к<1).

Эти интегралы, как показал Луивилль, в конечном виде не берутся. Их Лежандр назвал эллиптическими интегралами, соответственно, 1-го, 2-го и 3-го рода. Первые два содержат лишь один параметр к, а последний, кроме него, ещё (комплексный) параметр h. Лежандр внес в эти интегралы ещё дальнейшие упрощения, выполнив в них подстановку z=sinц (ц изменяется от 0 до р/2). При этом из них непосредственно переходит в интеграл. (A)

Второй преобразуется так:

,

т.е. приводится к предыдущему интегралу и к новому интегралу

. (B)

Наконец, третий интеграл при указанной подстановке переходит в

. (C)

Интегралы (A), (B) и © также называются эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода — в форме Лежандра.

5§. Закон движения маятника (в эллиптических функциях)

(5)

общее решения уравнения в явном виде.

Видно, что квадратура в конечном виде не берётся: интеграл справа непосредственно приводится к эллиптическому интегралу 1го рода.

Так как, ,

то

Подставляя этот результат в уравнение (5), получаем:

и положив =к (0< к<1), введём новую переменную интегрирования ц

по формулам,; (6)

откуда

Кроме того,

при этом изменению и от 0 до б отвечает изменение ц от 0 до р/2. Тогда получим закон движения маятника в виде

(7)

Интеграл, стоящий в правой части равенства (7), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина к называется модулем эллиптического интеграла.

Так как по первой из формул (6) легко выразить ц через и, то зависимость t от и можно считать установленной.

Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля. Желая выразить, наоборот, и через t, мы нуждаемся в обращении эллиптического интеграла

(8)

Если в равенстве (8) рассматривать верхний предел, а как функцию от интеграла u, монотонно возрастающую непрерывную (и даже дифференцируемую) функцию от ц в промежутке (-; то такая функция носит название амплитуды u (am u) — как её обозначил Якоби — и обозначается так: , или . (9)

А мы обозначим так: , то , или .

Из (8) теперь ясно, что и, значит, .

Беря от обеих частей равенства (9) синус, мы получим:

(10)

Функцию («синус амплитуды» или «эллиптический синус») обычно обозначают просто через sn u. (Функция sn u, рассматривается как функция комплексного аргумента, является одной из простейших (введённых Абелем и Якоби), так называемых, эллиптических функций.). Итак, окончательно, зависимость и от t выражается равенством

Функция sn u представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (7), u=t, то, переходя в равенстве (10) с помощью формулы (6), найдём закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию sn, в виде

. (11)

6§. Графики траекторий движения маятника

Построим численно кривые движения математического маятника при различных начальных условиях используя закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию. Задавая угол и промежуток времени, мы строим графики зависимости (). Возьмём =Pi/4 и для точности определения зависимости () возьмём t1=0.10, t2=0.20, t3=0.30. При =5 — > () = - 1,2; =15 — > () =1,2 Замечаем, что через каждые 10с, повторяется угол отклонения.

Возьмём =Pi/3 и для точности определения зависимости () возьмём t1=0.10, t2=0.20, t3=0.30.

При =5 — > () = - 1,84; =8,44 — > () =1,86 Замечаем, что через почти каждые 3,5с, повторяется угол отклонения.

Таким образом, мы видим, что движение маятника периодическое. За 1 период при увеличении времени угол сначала увеличивается, а потом уменьшается.

7§. Заключение

В данной работе мы выполнили поставленные задачи и достигли заданной цели. Мы познакомились с такими понятиями, как «математический маятник», «эллиптическая функция» и «эллиптический интеграл» … Отметили, как численно строить соответствующие кривые движения при различных начальных условиях.

8§. Список литературы

1. Беляева Н. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения Сыктывкар, 2012

2. Боровой А., Херувимов А. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981.

3. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969.

4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления 2 том М.: Наука. 1969.

9§. Приложение

>

>

Ш

Ш

>

>

>

>

>

>

>

>