Обратные задачи для линейных уравнений Соболевского типа

Постановка задачи.

При попытке описать внутренние характеристики среды, в которой протекают различные физико-химические процессы, по результатам наблюдений над этими процессами в доступной для измерений области во многих прикладных науках возникают обратные задачи [2, 35, 58, 62]. В частности, речь идет об обратных задачах по определению правой части систем уравнений в частных производных. Именно такие обратные задачи для уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени, исследуются в данной работе.

Пусть U и Т — банаховы пространства, операторы L Ы —> Т линейный непрерывный (L е C{U J7)), ker L ф {0}, M: domМ F линейный замкнутый плотно определенный в Ы (М 6 С1(Ы]Т)): функция /: [0, Т] —)¦ Ж, вектор-функция F: [0,Т] —Т, вектор q G Т, /i: [0, Т] —> Ж — функция ограниченной вариации. Рассмотрим соотношения.

Задача нахождения функции и из соотношений (0.1), (0.2) называется прямой задачей (или задачей Коши), а задачу нахождения пары («, q) € Сх ([0,T], U) х Т из соотношений (0.1) — (0.3) будем называть обратной задачей или задачей прогноз-управления, следуя терминологии, используемой, например, в [57].

Lu{t) = Mu{t) + f (t)q + F (t), t E [0, T] ^(0) = u0.

0.1) (0.2).

0.3) 0.

Кроме задачи (0.1) — (0.3), в которой искомый параметр q не зависит от времени, рассмотрим ещу одну, так называемую нестационарную обратную задачу. Пусть У — банахово пространство, оператор В Е ?(И-У), f: [0,Т] С (УР) — теперь оператор-функция, q: [0,Т] —у J7, Ф: [0,Т] —> У — вектор-функции. Заменим условие переопределения (0.3) на условие.

Bu{t) = v (t)t te[0,T}. (0.4).

Нестационарной обратной задачей будем называть задачу отыскания из соотношений (0.1), (0.2), (0.4) пары функций и? С1([0, T], W) и qeCl ([o, T], y).

Цель работы — исследовать разрешимость обратных задач (0.1) -(0.3) и (0.1), (0.2), (0.4), то есть получить необходимые и достаточные условия существования решения, его единственности, а также оценки устойчивости полученного решения. Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании обратных задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени.

К задачам вида (0.1) — (0.3) и (0.1), (0.2), (0.4) редуцированы соответствующие обратные задачи для класса уравнений в частных производных с дифференциальным по пространственным переменным оператором L, включающего в себя многие уравнения теории фильтрации, например, уравнение Баренблатта — Желтова — Кочиной [3], уравнение Дзекцера [11], а также для систем уравнений в частных производных, в которых не присутствуют некоторые из производных по времени от неизвестных функций. В частности в работе рассмотрена аналогичная обратная задача для линеаризованной системы уравнений фазового поля [55, 56], линеаризованной системы Осколкова[53], системы уравнений Соболева [72].

Историография вопроса и современное состояние.

Уравнения в частных производных, не разрешенные относительно старшей производной по выделенной переменной, изучались впервые, видимо, в работе А. Пуанкаре [97] в 1885 году. Результаты, полученные в работах C.W. Oseen, F.K.G. Odqvist, J. Leray и J. Schauder, E. Hopf, O.A. Ладыженской по системе Навье-Стокса и исследования С.JI. Соболева [72] задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости заложили фундамент нового направления, которое первоначально развивали ученики С. Л. Соболева Р.А. Александрян [1], Т. И. Зелеияк [15], С. А. Гальперн [8] и другие.

В настоящее время выделились два направления исследований уравнений, не разрешенных относительно производной: решение задач для конкретных уравнений и систем уравнений в частных производных и изучение абстрактных уравнений типа (0.1) с приложением к задачам математической физики.

К первому направлению следует отнести работы С. А. Гальперна [8], А. Г. Костюченко и Г. И. Эскина [22], Т. И. Зеленяка [15], В. Н. Врагова [6], А. И. Кожанова [17], Г. В. Демиденко, С. В. Успенского [10] и многих других. Здесь «прикладная» задача выступает как объект исследования, а методом исследования служат результаты «чистой» математики.

В исследованиях по второму направлению наблюдается другой подход: «прикладные» задачи являются иллюстрациями исследования «абстрактных» задач. Первые исследования такого типа проводились М. И. Вишиком [5], С. Г. Крейном и его учениками [16, 27]. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают R.E. Showalter [100 — 103], Н. А. Сидоров и его ученики [70, 71]. Один из подходов к исследованию задачи Коши для уравнений соболевского типа предполагает использование методов теории полугрупп операторов. Такой подход используется в работах A. Favini, A. Yagi [91 — 93], И. В. Мельниковой и ее учеников [43 — 46, 95], Г. А. Свиридтока и его учеников [64 — 69], В. Е. Федорова [81 — 86].

Отдавая дань вкладу C.JI. Соболева, который первым начал систематическое исследование уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени, уравнения вида (0.1) и конкретные его интерпретации часто называют уравнениями соболевского типа. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов «псевдопараболические уравнения» [19], «уравнения типа Соболева» [68], «уравнения типа Соболева — Гальперна» [22], и «уравнения не типа Коши — Ковалевской» [39]. Уравнения соболевского типа составляют значительную часть обширной области пекласси-ческих уравнений математической физики. В настоящее время такие уравнения по-прежнему привлекают внимание исследователей, о чем свидетельствуют большое количество посвященных их изучению монографий, вышедших в последние годы [10, 12, 63, 95, 99, 104].

Обратные задачи представляют собой активно развивающуюся область современой математики. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено многочисленными проблемами практики, требующими для своего решения разработки математических методов обработки и интерпретации результатов наблюдений. Цель многочисленных экспериментов и наблюдений, проводимых в различных областях человеческой деятельности, состоит в изучени свойств объектов или процессов, интересующих исследователей. При этом распространенными являются ситуации, в которых объект или процесс либо принципиально недоступны для непосредственного наблюдения, либо оно связано с большими затратами. Характерной чертой возникающих при этом задач интерпретации результатов эксперимента является то, что наблюдатель должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом, речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны полученные в результате наблюдений следствия. Задачи такого типа естественно назвать обратными.

Интерес к обратным задачам возник где-то на рубеже XIX и XX столетий, в частности, когда в геофизике был поставлен вопрос: нельзя ли, располагая картиной движения фронтов сейсмических волн по поверхности Земли от различных землетрясений, найти скорость распространения сейсмических воли внутри Земли? Итогом его исследования стала постановка обратной кинематической задачи, впервые рассмотренная немецкими геофизиками Г. Герглотцем и Е. Вихертом.

С гравитационной и магнитной разведкой связанно возникновение другой обратной задачи — теории потенциала. Общая ее формулировка заключается в следующем: вне некоторой области, ограниченной поверхностью 5, задан потенциал, порожденный телом, лежащим внутри S, требуется найти форму и плотность тела. Первая теорема единственности для обратной задачи теории потенциала была доказана С. П. Новиковым в 1938 г. В дальнейшем исследованием обратных задач теории потенциала в различных постановках занимались А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, М. М. Лаврентьев, В. Н. Страхов, А. И. Прилепко и их ученики. В настоящее время теория обратной задачи потенциала существенно развита, разработаны и численные методы решения этих задач.

Кроме того, активно исследовались обратные задачи электромагнитной разведки, квантовой теории рассеяния и многие другие. И в настоящее время интерес к обратным задачам не ослабевает, а наоборот, постоянно появляются новые постановки обратных задач и, соответственно, новые результаты об их разрешимости.

Подход к решению обратных задач динамического восстановления параметров управляемых систем, который развивали школы Н.Н. Кра-совского, В. К. Иванова и др., основан на сочетании методов теории позиционного управления [20, 21, 24, 25, 49, 50] и методов решения некорректных задач [4,14, 36, 74]. Исходной динамической системе сопоставляется специальным образом конструируемая управляемая динамическая система-модель. Управление этой системой-моделью осуществляется позиционным способом по принципу обратной связи в дискретной по времени схеме. Речь идет о позиционном способе управления моделью, известном в теории позиционных дифференциальных игр [24, 25, 49, 50] как способ управления с поводырем. Идея построения подходящего закона управления моделью заложена в способе экстремального сдвига из теории позиционного управления, который локально регуляризируется методом сглаживающего функционала или методом невязки [14, 75]. В отличие от других подходов к решению обратных задач динамики, в которых используется програмный подход и задача регуляризируется в целом на всем отрезке времени [7, 9, 13, 28, 29, 62, 74], в позиционном подходе регуляризация осуществляется локально в соответствующие моменты времени по ходу движения системы.

Вопрос о построении позиционных динамических регуляризирую-щих вольтерровых алгоритмов решения обратных задач динамики был поставлен в работах Ю. С. Осипова, А. В. Кряжимского, В. И. Максимова [30 — 34, 41, 42, 51, 52]. В этих работах рассматривались задачи о позиционном динамическом восстановлении различных параметров динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. В частности, в работах [30 — 32, 52] строились алгоритмы восстановления минимального по норме управления, порождающего наблюдаемое движение, в случае измерения полного вектора состояния системы. В случае измерения части координат аналогичные алгоритмы строились в [31]. Задача об устойчивом позиционном восстановлении множества всех входов, порождающих наблюдаемое движение, рассматривалась в [31]. Задача о восстановлении начальных состояний, запаздываний и управлений в системах с запаздыванием изучалась в [34, 41]. Аналогичные вопросы решались также для систем, не разрешенных относительно производной [42], для дифференциальных включений [40]. Общая постановка задачи о динамическом восстановлении параметров и метод ее решения, основанный на привлечении оценочных функционалов типа Ляпунова, рассматривались в [51].

Изучению условий корректной (в определенном смысле) разрешимости абстрактных обратных задач для уравнения (0.1) с тождественным оператором L при различных предположениях на оператор М и различных условиях переопределения, а также связи обратных задач с нелокальными задачами посвящено множество работ А.И. Прилеп-ко, его учеников Д. Г. Орловского, И. В. Тихонова и др. (см., например, [47, 61, 78]).

Несмотря на то, что уравнения соболевского типа часто встречаются в приложениях, работ по исследованию обратных задач для таких уравнений немного. Задача (0.1) — (0.3) в случае kerL ф {0} исследуется в работах H.JI. Абашеевой [88, 89] при условии самосопряженности операторов L и М и других ограничениях. В работе [90] A. Favini и М. А1 Horani рассматривали задачу (0.1) — (0.3) в более простом по сравнению с настоящей работой случае, когда ядро единицы соответствующего однородного уравнения вырождается только на ядре оператора L. При этом использована теория многозначных линейных операторов. В работах А. И. Кожанова и его учеников исследуется, в частности, корректная разрешимость обратных задач для уравнений составного типа в цилиндрических областях ([18, 94] и др.).

Актуальность темы

исследования и практическая значимость работы.

Как уже было замечено, одним из важных видов прикладных задач являются различные обратные задачи, которые для уравнений соболевского типа практически не исследованы. Уравнения соболевского типа возникают при моделировании различных процессов в естественных и технических науках [10, 93, 104]. К абстрактному уравнению (0.1) редуцируются, например, многие уравнения в частных производных с многочленами от эллиптического по пространственным переменным оператора, в частности многие уравнения теории фильтрации, например, уравнение Баренблатта — Желтова — Кочиной фильтрации жидкости в трещиноватой среде [3], уравнение Дзекцера эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости [11].

Кроме того, к виду (0.1) можно привести системы уравнений в частных производных, в которых не присутствуют некоторые из производных по времени от неизвестных функций. Так в работе рассмотрена обратная задача для линеаризованной системы уравнений фазового поля, описывающей в рамках мезоскопической теории фазовые переходы первого рода [55, 56]. Кроме того, к таким системам обычно относятся часто встречающиеся в механике системы, которые содержат уравнение несжимаемости V-v = 0. Речь в данном случае идет о системе Соболева, описывающей при некоторых дополнительных предположениях динамику малых внутренних движений стратифицированной жидкости в равновесном состоянии [72], о системе уравнений Оскол-кова, которая в линейном приближении моделирует динамику вязко-упругой несжимаемой жидкости Кельвина — Фойгта порядка 1 [54].

Результаты исследования задач (0.1) — (0.3) и (0.1), (0.2), (0.4) использованы в данной работе при рассмотрении обратных задач для перечисленных уравнений и систем уравнений математической физики. Тем самым работа не только представляет теоретический интерес, но и интересна с практической точки зрения.

Новизна полученных результатов.

Основными результатами данной диссертационной работы являются теоремы о разрешимости задачи прогноз-управления и нестационарной обратной задачи для линейного дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с вырожденным оператором при производной.

Так при исследовании задачи прогноз-управления для уравнения (0.1) в случае, когда ker L ф {0}, а оператор М сильно (?, р)-радиален, сильно (?, р)-секториален или (?, р)-ограничен, получен критерий корректной разрешимости. Кроме этого исследована связь единственности решения такой задачи с расположением точечного L-спектра оператора М.

Также для уравнения (0.1) в предположении, что оператор М сильно (1/, р)-радиален исследована нестационарная обратная задача, получены условия существования и единственности ее решения.

Все полученные абстрактные результаты являются новыми. Они использованы при исследовании обратных задач для уравнений и систем уравнений математической физики, перечисленных в предыдущем параграфе.

Методы исследования.

В данной работе при исследовании обратных задач для вырожде-ных уравнений используются методы теории вырожденных полугрупп. Суть методов заключается в редукции уравнения (0.1) при исследовании задачи прогноз-управления или нестационарной обратной задачи к паре эквивалентных уравнений, определенных однако, не на пространстве U, а на взаимно дополнительных подпространствах, одно из которых является образом, а другое — ядром единицы разрешающей полугруппы соответствующего однородного уравнения. Следуя этому методу, мы приходим к двум уравнениям г^СО = L^Mm'it) 4- ЬГУ/ОО + L? k{t), t е [0,Т], (0.5) Hu°{t) = U°(t) + М0″ У/(*) + M0-^(t), t G [0, T], (0.6) па подпространствах U1 и № соответственно, здесь оператор Н = Mq1Lq. Таким образом, исследование обратной задачи для уравнения (0.1) сводится к исследованию двух соответствующих обратных задач для уравнений (0.5) и (0.6).

При исследовании задачи прогноз-управления для уравнения (0.5) использованы результаты, полученные раннее в работах И. В. Тихонова и Ю. С. Эйдельмана [76 — 79]. При исследовании нестационарной обратной задачи для этого уравнения использованы результаты, изложенные в монографии А. И. Прилепко, Д. Г. Орловского, И .А. Васина [98]. Исследовать же обратные задачи для уравнения (0.6) позволяет нильпотентность оператора Н.

Краткое содержание диссертации.

Диссертация, кроме Введения, содержит три главы и Список литературы.

Список литературы

не претендует на полноту и отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора.

Первая глава содержит предварительные сведения. В ней собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первом параграфе представлены сведения об относительных резольвентах. Второй, третий и четвертый параграфы содержат основные факты о сильно (?, р)-радиальных, сильно (1/, р)-секториальных и (L,^{-ограниченных} операторах и соответствующих им сильно непрерывных полугруппах, аналитических полугруппах и аналитических группах операторов с ядрами, доказанные ранее в работах Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова (см., например, [104]). В пятом и шестом параграфе представлены необходимые результаты об однозначной разрешимости задачи прогноз-управления для уравнения, разрешенного относительно производной [76 — 79]. Седьмой параграф содержит результаты о разрешимости нестационарной обратной задачи для уравнения, разрешенного относительно производной [98]. В восьмом параграфе собраны необходимые результаты по теории многозначных линейных операторов [92, 105].

Вторая и третья главы содержат новые результаты о разрешимости задачи прогноз-управления и нестационарной обратной задачи для уравнения соболевского типа.

Вторая глава посвящена исследованию задачи прогноз-управления для линейного уравнения соболевского типа. В первом и втором параграфах дается определение решения и корректности обратной задачи для уравнения (0.1) в случае сильной (1/, р)-радиальности оператора М. Найдены необходимые и достаточные условия существования и единственности решения обратной задачи и ее корректности. В третьем и четвертом параграфе исследуется точечный спектр многозначного линейного оператора и связь его расположения с единственностью решения обратной задачи. В шестом параграфе найдены критерии корректности задачи прогноз-управления для системы уравнений Соболева, в седьмом — для линеаризованной системы Осколкова. В восьмом, девятом и десятом параграфах полученные абстрактные результаты о корректности и единственности решения обратной задачи применяются для исследования системы уравнений фазового поля, в том числе сильно вырожденной. В одиннадцатом параграфе исследуется корректность обратной задачи для уравнения с многочленами от эллиптических операторов.

В третьей главе изучается нестационарная обратная задача для линейного уравнения соболевского типа. В первом параграфе путем редукции системы интегральных уравнений к уравнению Вольтерра второго рода найдены достаточные условия существования решений повышенной гладкости у невырожденной нестационарной обратной задачи. Во втором параграфе получены условия существования и единственности решения нестационарной обратной задачи для уравнения соболевского типа. В третьем параграфе полученные абстрактные результаты применяются для исследования нестационарной обратной задачи для системы уравнений Соболева, в четвертом — для линеаризованной системы Осколкова. В пятом параграфе найдены условия существования и единственности решения нестационарной обратной задачи для линеаризованной системы уравнений фазового поля. В шестом параграфе исследуется нестационарная обратная задача для уравнения с многочленами от эллиптических операторов.

Апробации.

Результаты, изложенные в диссертации, были представленны на XXVIII и XXX научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Челябинск, 2004, 2007) [111, 112], на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2004) [107], на Международных научных конференциях «Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования» (Ханты-Мансийск, 2005) [108], «Математики. Механика. Информатика» (Челябинск, 2006) [113], на Междунродной конференции по дифференциальным уравнениям, посвященной 100-летию Я.Б. Лопатинского" (Львов, 2006) [121], «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006) [106], «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Самара, 2007) [115], «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск, 2008) [116], «Дифференциальные уравнения и динамические системы» (Владимир, 2008) [117], «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2008) [118], «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008) [119]/на семинаре в Институте математики им. C.JI. Соболева СО РАН под руководством проф. А. И. Кожанова, на семинаре кафедры математического анализа в Челябинском государственном университете (руководитель — проф. В.Е. Федоров), на семинаре каедры уравнений математической физики в Южно-Уральском государственном университете (руководитель — проф. Г. А. Свиридюк), на семинаре в Институте математики и механики УрО РАН (руководитель — член-корреспондент РАН, проф. В.В. Васин).

Данное исследование поддержано стипендией Президента РФ (2008) и грантами правительства Челябинской области (2004;2006) [114].

Результаты диссертации опубликованы в работах [106−121]. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненых в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и некоторые идеи доказательств. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Теоремы о корректности задачи прогноз-управления для линейного уравнения соболевского типа в случаях сильно (L,^{-радиального,} сильно (1/, р)-секториального и (?, р)-ограничсного оператора М.

2. Теоремы о существовании и единственности решения нестационарной обратной задачи для линейного уравнения соболевского типа в случае сильно (Ь, р)-радиального оператора М.

3. Теоремы о существовании и единственности решения обратных задач для системы Соболева, линеаризованной системы Осколко-ва, линеаризованной системы уравнений фазового поля, вырожденной и сильно вырожденной, некоторых других уравнений математической физики.

Благодарности.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить огромную благодарность моему научному руководителю профессору В. Е. Федорову за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работеколлективу кафедры математического анализа ЧелГУ за строгую, но конструктивную критику. Хочу также поблагодарить моих родителей Любовь Иосифовну и Виктора Николаевича за заботу и помощь.

1. Александрян Р. А. Спектральные свойства операторов, порождаемых системами дифференциальных уравнений типа Соболева // Тр. Моск. мат. о-ва. 1960. Т. 9. С. 455 — 505.

2. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978.

3. Баренблатт Г. И., Желтое Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикл. математика и механика. 1960. Т.24, вып.5. С.852−864.

4. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993, 260 с.

5. Вишик М. И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Мат. сб. 1956. Т. 38. № 1. С. 51 148.

6. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Новосибир. гос. ун-т, 1983.

7. Галиуллин А. С. Обратные задачи динамики. М.:Наука, 1986.

8. Галъперн С. А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными // Тр. Моск. мат. о-ва. 1960. Т. 9. С. 401 423.

9. Гусев М. И., Куржанский А. Б. Обратные задачи динамики управляемых систем // Механика и научно-технический прогресс. Т.1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. С. 187 195.

10. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998.

11. Дзекцер Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью // ДАН СССР. 1972. Т. 202. № 5. С. 1031−1033.

12. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

13. Жевнин А. А., Колесников К. С., Криценко А. П., Толокнов В. И. Синтез алгоритмов терминального управления на основе концепций обратных задач динамики (обзор) // Изв. АН СССР. Сер. техн. ки-берпет. 1985. № 4. С. 180−187.

14. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

15. Зеленяк Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: Новосибир. гос. ун-т, 1970.

16. Зубова С. П., Чернышов К. И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной // Диффе-ренц. уравнения и их применения. 1976. Т. 14. С. 21 39.

17. Кооюанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Новосибир. гос. ун-т, 1990.

18. Кооюанов А. И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности // Сиб. матем. журн., 46:5 (2005) С. 1053 1071.

19. Кооюанов А. И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений // ДАН СССР. 1992. Т. 326. № 5. С. 781 -786.

20. Короткий А. И., Осипов Ю. С. Аппроксимация в задачах позиционного управления параболическими системами // Прикл. матем. и механ. 1978. Т. 42. № 4. С. 599 605.

21. Короткий А. И., Осипов Ю. С. О позиционном управлении в системах с распределенными параметрами // Прикл. матем. и механ. 1980. Т. 44. № 4. С. 611 617.

22. Костюченко А. Г., Эскин Г. И. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна // Тр. Моск. мат. о-ва. 1961. Т. 10. С. 273 285.

23. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

24. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

25. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

26. Крейн С. Г Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

27. Крейн С. Г., Чернышов К. М. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Новосибирск, 1979. (Препринт // Ин-т математики СО РАН).

28. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М.: Наука, 1987.

29. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.

30. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Сер. техн. кибернет. 1983. № 2. С. 51 60.

31. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Обратные задачи динамики и управляемые модели // Механика и научно-технический прогресс. Т.

32. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. С. 196 211.

33. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Устойчивое решение обратных задач динамики управляемых систем // Оптимальное управление и дифференциальные игры. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1988. Т. 185. С. 126 146.

34. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О методах позиционного моделирования в динамических системах // Качествен, вопросы теории дифференц. уравнений и управляемых систем. Свердловск, 1988. С. 34 44.

35. Кряэ/симский А.В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. О позици-ониом моделировании в динамических системах // Прикл. матем. и механ. 1983. Т. 47 № 6. С. 883 889.

36. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

37. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М., 1980.

38. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.

39. Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.

40. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1965.

41. Ловцкий К. Э. К задаче о моделировании управлений // Автоматика и телемеханика. 1987. № 6. С. 19 25.

42. Максимов В. И. Позиционное моделирование некоторых параметров дифференциально-функциональных систем // Некоторые методы позиционного и програмного управления. Свердловск. 1987. С. 84 106.

43. Максимов В. И. О динамической регуляризации в некоторых системах неразрешенных относительно производной // Диффереиц. уравнения. 1985. Т. 21 № 2. С. 305 316.

44. Мельникова И. В., Алъшанский М. А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // ДАН. 1994. Т. 336, № 1. С. 17 20.

45. Мельникова И. В., Альшанский М. А. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы // ДАН. 1995. Т. 343, № 4. С. 448 -451.

46. Мельникова И. В., Филииков А. И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, № 6. С. 111 -150.

47. Мельникова И. В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений // Сиб. матем. журн. 2001, Т.42, № 2, С. 318 — 331.

48. Орловский Д. Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 9. С. 1614−1621.

49. Орловский Д. Г. Определение параметра параболического уравнения в гильбертовой структуре // Мат. заметки. 1994. Т. 55, № 3.

50. Осипов Ю. С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами // ДАН СССР. 1975. Т. 223 № 6. С. 1314 1317.

51. Осипов Ю. С. Позиционное управление в параболических системах // Прикл. матем. и механ. 1977. Т. 41 2. С. 195 201.

52. Осипов Ю. С., Кряоюимский А. В. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269 № 3. С. 552 556.

53. Осипов Ю. С., Кряо! симский А. В. Метод функций Ляпунова в задаче моделирования движения // Устойчивость движения. Новосибирск. 1985. С. 53 56.

54. Осколков А. П. Начально краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. Мат. ип-та АН СССР. 1988. Т.179. С.126−164.

55. Плеханова М. В., Федоров В. Е. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. № 5. С.40−44.

56. Плотников П. И., Клепачева А. В. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций // Сиб. мат. журн. 2001. Т.42, № 3. С.651−669.

57. Плотников П. П., Старовойтов В. П. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифферент уравнения. 1993. Т. 29, № 3. С. 461−471.

58. Прилепко А. И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач. Прогноз-управление и прогноз-наблюдение эволюционных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 2005. Т.41, № 11. С.1560−1571.

59. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические и гиперболические уравнения и уравнения переноса) // Матем. заметки. 1973. Т.14, № 5. С.755−767.

60. Прилепко А. П., Васин И. А. Некоторые обратные начально-краевые задачи для нестационарных линеаризованных уравнений НавьеСтокса // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25, № 1. С.106−117.

61. Прилепко А. П., Васин И. А. Некоторые нестанционарные задачи гидродинамики с финальным переопределением // ДАН СССР. 1990.Т.314, № 5. С.1075−1078.

62. Прилепко А. И., Тихонов И. В. Единственность решения обратной задачи для эволюционного уравнения и приложения к уравнению переноса // Матем. заметки. 1994. Т. 51. Вып. 2. С. 77−87.

63. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

64. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

65. Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т.49, № 4. С.47−74.

66. Свиридюк Г. А. Об одной задаче динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, № 11. С.1992;1998.

67. Свиридюк Г. А., Кузнецов Г. А. Об относительно сильной р-секто-риальности линейных операторов // ДАН. 1999. Т.365, № 6. С.736−738.

68. Свиридюк Г. А., Сукачева Т. Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений // Дифференц. уравн. 1990. Т. 26, № 2. С. 250−258.

69. Свиридюк Г. А., Федоров В. Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. ИЗО 1145.

70. Свиридюк Г. А., Федоров В. Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39, № 3. С.604−616.

71. Сидоров Н. А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией // Мат. заметки. 1980. Т. 95, № 4. С.569 578.

72. Сидоров Н. А., Фалалеев М. В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 4. С. 726 728.

73. Соболев C.JI. Об одной новой задаче математической физики// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т.18, № 1. С.3−50.

74. Солоиников В. А. Оценки тензоров Грина для некоторых граничных задач // Докл. АН СССР. 1960. Т.130, № 5. С.988−991.

75. Тихонов А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления // ДАН СССР. 1965. Т. 162, № 4. С. 763 765.

76. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задачах. М., 1979.

77. Тихонов И. В. О связи между обратными задачами с финальным и интегральным переопределением // Успехи матем. наук. 1992. Т. 47. № 4. С. 211−212.

78. Тихонов И. В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Изв. РАН Сер. мат. 2003. Т. 67. № 2. С. 133−166.

79. Тихонов И. В., Эйделъман Ю. С. Вопросы корректности прямых и обратных задач для эволюционного уравнения специального вида // Мат. заметки. 1994. Т. 56, № 2. С.99−112.

80. Тихонов И. В., Эйделъман Ю. С. Теоремы об отображении точечного спектра для Co-полугрупп и их применение в вопросах единственности для абстрактных дифференциальных уравнений // ДАН. 2004. — Т. 394, № 1. — С. 32−35.

81. Трибелъ X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.:Мир, 1980.

82. Федоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т.12, вын.З. С.173−200.

83. Федоров В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Мат. сб. 2004. Т.195, № 8. С.131−160.

84. Федоров В. Е. Единицы вырожденных аналитических полугрупп операторов и относительная р-секториальность // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. работ. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. С. 138 155.

85. Федоров В. Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2001. Т.37, № 12. С.1646−1649.

86. Федоров В. Е. Сильно непрерывные полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2000. С. 32−40.

87. Федоров В. Е. Обобщение теоремы Хилле Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, № 2. С. 426−448.

88. Хилл Э., Филлипе Р. Функциональныц анализ и полугруппы. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

89. Abasheeva N.L. Determination of a right-hand side term in an operator-differential equation of mixed type //J. Inv. Ill-Posed Problems. 2002. V. 10. № 6. P. 547−560.

90. Abasheeva N.L. Some inverse problems for parabolic equations with changing time direction // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2004. V.12, № 4. P.337−348.

91. Al Horani M., Favini A. An identification problem for first-order degenerate differential equations // J. of Optimization Theory and Applications. 2006. V.130, No.l. P.41−60.

92. Favini A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems // Rend. mat. 1979. V. 12, № 3 4. P. 511 — 536.

93. Favini A., Yagi A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations // Ann. Mat. pur. ed appl. 1993. V. CLXIII. P. 353−384.

94. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. N.Y.: Marcel Dekker, 1999.

95. Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems. Utrecht: VSP, 1999.

96. Melnikova I. V., Filinkov A.I. Abctract Cauchy problems: three approaches. Boca Raton, FL: 2001. MCS 2000.

97. Oseen C. W. Hydrodynamik. Leipzig, 1927.

98. Poincare H. Sur l’equilibre d’une masse fluide animee d’un mouve-ment de rotation // Acta Math. 1885. V. 7. P. 259 380.

99. Prilepko A.I., Orlovsky D. G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New YorkBasel: Marcel Dekker Inc., 2000.

100. Sidorov N.- Loginov В, Sinithyn A. and Falaleev M. Lyapunov-Shmidt Metods in Nonlinear Analysiis and Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2002.

101. Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type // Pacific J. Math. 1963. V. 31, № 3. P. 787 793.

102. Showalter R. E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type // SIAM J. Math. Anal. 1975. V. 6, № 1. P. 25 42.

103. Showalter R. E. The Sobolev type equations. I. Appl. Anal. 1975.V. 5, № 1. P. 15 22.

104. Showalter R. E. The Sobolev type equations. II. Appl. Anal. 1975. V. 5, № 2. P. 81 99.

105. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. UtrechtBoston: VSP, 2003.

106. Yagi A. Generation theorems of semigroup for multivalued linear operators // Osaka J. Math. 1991. V. 28. P. 385−410.

107. Федоров В.E., Уразаева А. В. Некоторые обратные задачи для систем уравнений гидродинамики // Тихонов и современная математика. Тезисы докладов секции № 4. М, Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова, 2006. С.55−56.

108. Федоров В. Е., Уразаева А. В. Обратная задача для одного класса сингулярных линейных операторно-дифференциальных уравнений // Тр. Воронежск. зимн. мат. шк. Воронеж: ВГУ, 2004. С.161−172.

109. Федоров В. Е., Уразаева А. В. Обратные задачи для некоторых неклассических уравнений математической физики // Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования. Матер, конф. Ханты-Мансийск, ЮНИИИТ, 2005. С.71−73.

110. Уразаева А. В., Федоров В. Е. Задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений гидродинамики // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, т. С. 1111−1119.

111. Уразаева А. В., Федоров В. Е. О корректности задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений// Матем. заметки, 2009, Т. 85 №-3, С. 440−450.

112. Уразаева А. Корректность обратной задачи для линейного уравнения соболевского типа // Студент и научно-технический прогресс: Тезисы докладов XXVIII студенческой научной конференции. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2004. С. 5.

113. Уразаева А. В. Корректность обратной задачи для уравнений гидродинамики // Студент и научно-технический прогресс: Тезисы докладов XXX студенческой научной конференции. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2007. С. 15.

114. Уразаева А. В. Об одной обратной задаче для эволюционного уравнения // Математика. Механика. Информатика: Тез. докл. Все-рос. науч. конф., Челябинск, 19−22 сент. 2006 г., Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2006. С. 135.

115. Уразаева А. В. Обратная задача для системы Соболева // Сам Диф-2007: конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тезисы докладов. Самара: Изд-во «Универс групп», 2007. С. 144.

116. Уразаева А. В. Обратная задача для системы уравнений фазового поля // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Владимир: Владимирский гос. ун-т, 2008. С. 237 238.

117. Fedorov V.E., Urazaeva А. V. An inverse problem for linear Sobolev type equations // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2004. V.12, № 4. P.387−395.