Математический комментарий 2. Цена земли и ценной бумаги

Выведем простую формулу для оценки стоимости участка земли, который ежегодно и неограниченно долгий срок приносит своему владельцу рентный доход, равный R при упрощающей предпосылке, что процентная ставка все время остается неизменной и равной г. Текущая стоимость всех доходов от участка земли равна.

Получившееся выражение — это не что иное, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вида.

В нашем случае Л, первый член прогрессии, равен , а знаменатель прогрессии Q равен . Применив формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим, что.

Итак, если участок земли бесконечно долго приносит своему владельцу по /? руб. в конце каждого года, то при процентной ставке г оценкой его стои;

мости будет — руб. Например, если [1=]00 000 руб., а г составляет 5% годовых,.

г

участок можно оценить в.

Кстати, полученную нами формулу можно интерпретировать и совершенно иным образом. Предположим, участок земли стоит X руб. Если эту сумму положить в банк, она ежегодно будет приносить процентный доход в размере г • X руб. Если же на нее купить землю, сдача ее в аренду будет приносить ежегодную ренту в размере /? руб. Если два вложения будут одинаково выгодны, т. е. г — X = /?, отсюда вновь получится, что.

Подобную формулу можно использовать и для оценки стоимости других активов, приносящих доход, например ценных бумаг. Если ежегодный доход от некоторой ценной бумаги постоянен, неизменен и равен О (таким свойством обладают, к примеру, некоторые виды облигаций¹)/ то при ставке процента г

стоимость этой ценной бумаги может быть оценена как .

Конечно, выведенная нами формула содержит грубые допущения (в частности, она предполагает, что ставка процента будет вечно оставаться неизменной, что, разумеется, не так — фактически реальная ставка процента меняется постоянно с изменением темпа инфляции в стране), но зато она очень проста и дает некоторое первое приближение к оценке стоимости того или иного ресурса или актива.

Согласно формуле, полученной в математическом комментарии 2, стоимость ресурса прямо зависит от величины арендной платы, которую он может принести своему владельцу. Это дает лучшее понимание того, как связаны два типа рынков — рынки услуг ресурсов и рынки самих ресурсов.

В качестве примера рассмотрим два рынка — рынок услуг, на котором транспортным компаниям сдаются в аренду самолеты, и рынок самих самолетов. Предположим, в результате увеличения количества авиатуристов вырос спрос на аренду самолетов для их перевозки^[1][2]. В результате стоимость аренды самолета станет выше, а это, в свою очередь, повысит и стоимость самих самолетов — и будет стимулировать рост производства новых самолетов.

Это чрезвычайно важный факт — что для некоторых экономических ресурсов возможна не только покупка/продажа имеющихся, но и производство новых. Так, например, владельцем завода можно стать, не только купив уже имеющийся, но и построив его самостоятельно. Для этого необходимо сначала вложить средства в постройку завода (или, как говорят экономисты, осуществить инвестиции¹), и только потом, через некоторое время, построенный завод начнет приносить доходы своему владельцу. Принятие решения об осуществлении тех или иных инвестиций — одно из самых сложных и ответственных в бизнесе.

Обычно инвестирование требует больших средств, «приносить плоды» они только через достаточно долгий срок, так что нужно все как следует взвесить и рассчитать. Эти расчеты вновь основываются на использовании приведенных величин. Инвестиционные вложения, как правило, осуществляются не единовременно, а многократно, в течение длительного срока (например, сначала вкладываем деньги в разработку проекта завода, позже — в строительство, затем — в покупку и установку оборудования и т. д.), так что получить их сумму можно, только применив дисконтирование и рассчитав PV инвестиционных расходов. С другой стороны, и доходы наш объект инвестирования будет приносить долго, в разные моменты времени — так что, не обойтись без расчета PV доходов. В итоге, если осуществляется какой-либо инвестиционный проект (например, строительство завода), для него могут быть рассчитаны PV расходов, PV доходов, а также их разность, которую называют чистой текущей (или приведенной) стоимостью и обозначают NPV (от англ, net present value).

NPV — это некий аналог понятия «прибыль» для случая, когда доходы и издержки «растянуты» во времени. Если этот показатель получился положительным, инвестиционный проект может заслуживать внимания. Если же NPV < 0, проект будет непривлекательным для инвестора.

• [1] Облигация — ценная бумага, с помощью которой выпустивший ее (эмитент) можетполучить заем от купившего ее. Покупателю она обычно приносит фиксированный периодический доход (дополнительный доход также может принести разность между ценой покупкии ценой погашения облигации).
• [2] Как вы помните, спрос на услуги капитала (в данном случае самолетов) — производный от спроса на продукцию, производимую с его помощью (в данном случае перевозкутуристов).