Дифференциальное уравнение

1. Решить уравнение Решение:

— уравнение с разделяющимися переменными Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

— общее решение уравнения Ответ:

2. Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение:

Сделаем замену Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:

— общий интеграл дифференциального уравнения Ответ:

3. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения

Решение:

Решаем уравнение методом Бернулли:

Для решения исходного уравнения необходимо решить систему уравнений

(*)

Решим первое уравнение системы (*):

Проинтегрируем обе части полученного уравнения Подставим найденное выражение для функции во второе уравнение системы (*) и решим его.

Проинтегрируем обе части полученного уравнения.

— общее решение дифференциального уравнения Найдем частное решение уравнении при условии .

— частное решение дифференциального уравнения Ответ:

4. Найти общий интеграл уравнения

Решение:

Таким образом, данное уравнение — уравнение в полных дифференциалах.

Решим второе уравнение системы:

Найдем от найденной функции и подставим в первое уравнение полученной выше системы:

— общий интеграл дифференциального уравнения Ответ:

5. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

,

Решение:

Найдем общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному. Для этого составим характеристическое уравнение:

Тогда общее решение однородного уравнения запишем в виде Для нахождения частного решения неоднородного уравнения составим систему Решим полученную систему методом Крамера. Вычислим главный определитель:

Вычислим побочные определители:

Частное решение запишем в виде Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение, отвечающее начальным условиям.

— решение задачи Коши Ответ:

6. Решить уравнение Решение:

Найдем общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному. Для этого составим характеристическое уравнение:

Тогда Найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку не является корнем характеристического уравнения, то искать его будем в виде Подставим найденные значении производных в исходное уравнение:

Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

общее решение неоднородного уравнения Ответ:

7. Исследовать сходимость ряда Решение:

Для исследования ряда на сходимость применим признак Даламбера.

Поскольку, то ряд расходится Ответ: ряд расходится

8. Найти область сходимости функционального ряда

(1)

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда (1):

— интервал сходимости ряда (1)

Исследуем сходимость ряда в граничных точках:

: (2)

Исследуем ряд (2)на сходимость:

условия теоремы Лейбница выполнены, т. е. ряд (2) сходится Рассмотрим ряд из модулей (3)

Данный ряд расходится как геометрический.

Поскольку ряд (2) сходится, а ряд (3) из модулей расходится, то ряд (2)сходится условно.

: (4)

Исследуем ряд (4)на сходимость:

условия теоремы Лейбница выполнены, т. е. ряд (4) сходится Рассмотрим ряд из модулей (5)

Данный ряд расходится как геометрический.

Поскольку ряд (4) сходится, а ряд (5) из модулей расходится, то ряд (4) сходится условно.

Таким образом, окончательно получаем интервал сходимости

Ответ: ряд сходится при; причем, при соответствующие знакочередующиеся ряды сходятся условно

9. Разложить в степенной ряд функцию в окрестности точки и найти интервал сходимости ряда.

Решение:

Вычислим несколько производных указанной функции:

Найдем радиус сходимости полученного ряда:

Исследуем граничные точки.

: (1)

т. е. не существует предела частичных сумм ряда (1), следовательно, этот ряд расходится

: (2)

т.е. не существует предела частичных сумм ряда (2), следовательно, этот ряд расходится Ответ:, данный ряд сходится при

10. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом, заданную на отрезке .

Решение:

Поскольку — нечетная функция на, то ее ряд Фурье будет содержать только синусы.

Вычислим коэффициенты ряда Фурье:

Тогда ряд Фурье исходной функции имеет вид:

1. На книжной полке случайным образом расставлены 4 учебника и 3 задачника. Найти вероятность того, что все учебники окажутся рядом.

Решение:

Событие: все учебники окажутся рядом Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности.

Общее число исходов равно числу перестановок семиэлементного множества:

Благоприятствующее число исходов определим следующим образом как квадрат числа перестановок четырех элементного множества. Поскольку все учебники должны оказаться рядом, то рассмотрим их как единый элемент. Тогда с учетом еще трех задачников получаем 4 элемента. Число всех возможных размещений таких элементов — число перестановок четырехэлементного множества. Но «внутри» единого элемента учебники тоже могут меняться местами (при этом они все равно будут рядом), поэтому

.

Ответ:

2. Вероятность отказа каждого элемента в течение времени равна. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведенной схеме.

Пусть событие означает отказ элемента с номером, а событие — отказ цепи за время (прекращение тока в цепи). Требуется написать формулу, выражающую событие через все события. Найти вероятность события при .

Решение:

Поскольку событие — отказ элемента с номером, тогда — нормальная работа элемента с номером. Для наступления события необходимо, чтобы

· отказали все три элемента с номерами 1, 2, 3, но мог работать хотя бы один из элементов 4, 5;

· отказали оба элемента с номерами 4, 5, но мог работать хотя бы один из элементов 1, 2, 3;

· отказали все элементы в цепи.

В формульном виде это можно записать следующим образом:

Найдем вероятность события на основании теорем сложения и умножения вероятностей.

Поскольку

то Ответ:

3. Противник может применить в налете самолеты одного из двух типов и с вероятностями соответственно 0,7 и 0,3. Самолет типа сбивается ракетой с вероятностью 0,7, типа — с вероятностью 0,9. По появившемуся самолету выпущены одновременно две ракеты. Найти вероятность того, что сбитый самолет был типа .

Решение:

Событие: самолет сбит Событие: самолет типа

Событие: самолет типа

Событие: самолет типа сбит Событие: самолет типа сбит Событие: оказавшийся сбитым самолет был типа

, ,

По формуле полной вероятности По формуле Байеса Ответ:

4. Каждый прибор проходит два независимых испытания. Вероятность выхода из строя прибора при первом испытании равна, при втором —. Испытано независимо 5 приборов. Найти вероятность выхода из строя не более одного прибора.

Решение:

Событие: при независимом испытании 5 приборов из строя вышло не более одного прибора Вероятность для одного прибора пройти оба испытания

тогда вероятность того, что прибор испытания не пройдет равна

Вероятность события определим по формуле Бернулли:

Ответ:

5. Самолеты испытываются при перегрузочных режимах. Вероятность каждого самолета пройти испытание равна 0,8. Испытания заканчиваются после первого самолета, не выдержавшего испытания. Составить закон распределения и функцию распределения числа испытаний самолетов.

Решение:

— вероятность того, что самолет пройдет испытание

— вероятность того, что самолет не пройдет испытание Пусть — случайная величина — число самолетов, прошедших испытание Данная случайная величина распределена по биномиальному закону. Составим закон распределения данной случайной величины:

Составим функцию распределения:

6. Дана плотность вероятности случайной величины :

Найти, ,, , .

Решение:

Известно, что

Вычислим данный интеграл:

Оценим вероятность с помощью неравенства Чебышева:

переменная дифференциальный неравенство гистограмма Ответ:

, , .

7. Случайная величина распределена по закону Гаусса с и. Найти вероятность попадания в интервал .

Решение: Поскольку и, то ,

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой Ответ:

8. Ряд наблюдений для отклонения воздушного судна от заданной высоты полета (в м) имеет вид:

+27; +38; -5; -36; -62; -77; -85; -54; -8; +25; +34; +73; +112; +90; +61; +37; -15; -29; -62; -33; -44; -17; +20; +40; +47; +61; +10; -8.

Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки среднего значения, дисперсии и среднего квадратичного отклонения генеральной совокупности, а так же интервальную оценку с доверительной вероятностью 0,99. Построить статистические графики — гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами и) и выборочную функцию распределения.

Решение: Упорядочим данный ряд по убыванию:

+112; +90; +73; +61; +61; +47; +40; +38; +37; +34; +27; +25; +20; +10; -5; -8; -8; -15; -17; -29; -33; -36; -44; -54; -62; -62; -77; -85.

Тогда ,

Число интервалов определим по формуле Стерджеса:

Длина каждого частичного интервала Построим интервальный вариационный ряд:

Найдем статистические оценки Найдем интервальную оценку. Поскольку доверительная вероятность, то

Тогда искомый доверительный интервал Плотность нормального распределения с параметрами и имеет вид:

Построим гистограмму и функцию плотности на одном графике:

Построим выборочную функцию распределения