Задание 1
Вычислите и последовательности .
Решение.
Рассмотрим последовательность .
для любого натурального
Следовательно, множество является ограниченным сверху. Это означает, что последовательность имеет верхнюю точную грань: .
Следовательно, множество не является ограниченным снизу. Это означает, что нижняя грань последовательности не существует.
Ответ. не существует
Задание 2
Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что .
Доказательство.
Число называется пределом последовательности, если для любого положительного числа существует номер такой, что при выполняется неравенство .
Используя определение предела последовательности, докажем, что .
Возьмем любое число .
Если взять, то для всех будет выполняться неравенство. Следовательно, .
Доказано
Задание 3
Пользуясь определением предела функции, докажите, что .
Доказательство
Число называется пределом функции при, если для любого числа существует число такое, что для всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство .
Используя определение предела функции, докажем, что .
Возьмем любое .
Положим .
Если взять, то для всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство. Следовательно, .
Доказано.
Задание 4
Вычислите предел .
Решение.
Ответ.
Задание 5
Вычислите предел .
Решение.
Ответ.
Задание 6
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 7
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 8
Вычислить предел .
Решение
Ответ.
Задание 9
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 10
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 11
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 12
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 13
Вычислить предел .
Решение.
Ответ.
Задание 14
Вычислить предел .
Решение.
при функция является бесконечно малой
для любого функция является ограниченной.
Известно, что произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечно малая функция. Следовательно, функция является бесконечно малой при. Это означает, что .
Ответ.
