Актуальность темы
диссертационного исследования обусловлена необходимостью применения ультразвуковых волн в следующих медицинских и технических сферах:
1) Ультразвуковая медицинская томография — метод неразрушающего послойного исследования внутренней структуры объекта посредством его многократного просвечивания в различных пересекающихся направлениях. Эта область, предполагающая развитие методов томографирования и их приложение к медицинской диагностике, с каждым годом привлекает все большее внимание. Остро стоит проблема выявления патологически измененного участка органа человека на самой ранней стадии развития болезни, когда лечение является еще сравнительно легким и эффективным. Так, желательно обнаружение злокачественной опухоли, когда ее размеры составляют около 1 мм или даже доли миллиметра. Диагностика с помощью ультразвука, согласно современным медицинским стандартам, безвредна (в отличие от рентгеновской томографии), а акустические медицинские приборы намного дешевле ЯМР-томографов (которые не превзойдены в настоящее время по качеству, однако крайне дороги и потому малодоступны).
2) Ультразвуковая терапия — метод, основанный на действии на ткани высокочастотных звуковых колебаний. Ее эффективность обусловлена совокупным влиянием механических, химических и тепловых факторов. Принцип методики заключается в направленном воздействии на биологические ткани высокочастотных волн. Они вызывают ограниченное движение и изменение объема клеток, в результате которого массаж происходит на микроскопическом уровне. Эго улучшает проницаемость клеточных мембран, ускоряет обменные процессы, способствует рассасыванию уплотнений. Изменения на клеточном уровне вызывают повышенный синтез ферментов и гиалуроновой кислоты, следствием которого является рассасывание рубцовых и спаечных образований. Ускоряются окислительно-восстановительные процессы, образование биологически активных веществ. Клетки начинают ускоренно делиться, и ткани быстрее обновляются. Ультразвук: обладает тонизирующим, противовоспалительным, обезболивающим и спазмолитическим действием. Благотворное действие ультразвуковой терапии применяют при лечении аллергических реакций, заболеваний кожи и суставов [25].
3) Ультразвуковой неразрушающий контроль — хорошо отработанная технология обеспечения качества продукции. Ультразвуковые волны позволяют измерять толщину материалов, определять степень их монолитности и исследовать их другие физические свойства. Используя методы ультразвукового неразрушающего контроля, можно получать быстрые и надежные результаты измерений толщины или обнаруживать скрытые внутренние дефекты без разрезания или разделения объектов контроля. Одной из самых важных областей применения ультразвукового контроля является измерение остаточной толщины стенок металлических труб, резервуаров или баллонов, подверженных коррозии с внутренней стороны [24].
Закономерности распространения волновых пучков большой амплитуды отличаются от законов линейиого распространения, поэтому любые приложения интенсивных звуковых полей требуют уточнения физической и математической модели эволюции волновых возмущений конечной амплитуды.
Нелинейные процессы в ультразвуковых пучках вследствие отсутствия физической дисперсии в большинстве звукопрозрачных сред представляют собой сложные пространственно-временные явления, описываемые квазилинейными уравнениями со степенным характером нелинейных членов [2,14]. В большинстве практически важных случаев решение модельных уравнений не может быть получено аналитическими методами. Единственной возможностью изучения и применения нелинейных волновых процессов является математическое моделирование.
В настоящее время математическое моделирование вступает в новый, принципиально важный этап своего развития, встраиваясь в структуры так называемого информационного общества. Впечатляющий прогресс средств переработки, передачи и хранения информации отвечает мировым тенденциям к усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Без владения информационными ресурсами нельзя и думать о решении все более укрупняющихся и все более разнообразных проблем, стоящих перед мировым сообществом. Однако информация как таковая зачастую мало что дает для анализа и прогноза, для принятия решений и контроля за их исполнением. Нужны надежные способы переработки информационного «сырья» в ютовый «продукт», г. е. в точное знание. История методологии математического моделирования убеждает: она может и должна быть интеллектуальным ядром информационных технологий, всего процесса информатизации общества [22].
Несмотря на большое количество математических моделей в настоящее время отсутствуют доступные специализированные модели, описывающие распространение звуковых пучков в нелинейных средах. Как правило, результаты по существующим моделям носят частный характер и встречаются в научной литературе по нелинейной акустике. Отсутствие таких моделей и их программной реализации сдерживает практическое применение нелинейных эффектов в гидроакустике, неразрушающем контроле, медицинской диагностике.
Построенная модель подразумевает её внедрение в инженерные методики для расчета полей параметрических антенн, мощных сфокусированных излучателей, работающих с волнами конечной амплитуды, и т. д.
Основной научной целью данной работы является построение прецизионной консервативной конечно-разностной модели для квазилинейного уравнения, описывающего распространение звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде, и исследование пространственных нелинейных эффектов в волновых полях конечной амплитуды.
Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие основные задачи:
• обзор известных непрерывных и дискретных моделей распространения звуковых пучков;
• разработка комплекса дискретных моделей распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде повышенного порядка точности;
• выполнение программной реализации модели;
• проведение вычислительного эксперимента по исследованию пространственных нелинейных эффектов в волновых полях конечной амплитуды.
Научная новизна состоит в следующем:
1. Построена конечно-разностная модель для квазилинейного уравнения, описывающего распространение звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде, повышенного порядка точности.
2. Доказана консервативность и устойчивость построенной модели.
3. Выполнен вычислительный эксперимент, показана возможность существования в квадратично-нелинейных средах без физической дисперсии явлений компрессии и декомпрессии звуковых импульсов.
4. С помощью построенной модели выполнен численный эксперимент и доказана возможность существования фокусировки.
Практическая значимость исследования состоит в том, что построен комплекс программ для представленной модели и на его основе могут быть выполнены высокоточные расчеты для распространения ультразвуковых пучков в нелинейно-диссипативных средах в задачах медицинской диагностики и терапии (ультразвуковая терапия, ультразвуковая томография), а также неразру-шающего контроля и других областях.
Апробация результатов исследования. Результаты диссертации обсуждались на VI Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии» (26−28 февраля 2008, Томск) — IX Всероссийской научной конференции «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2008) — Международной научно-технической конференции «Модели и алгоритмы для имитации физико-химических процессов» (8−12 сентября, 2008, Таганрог) — V Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России (1—5 июня, 2009, Ростов — на Дону). По теме диссертации опубликованы 6 печатных работ, из них 1 статья — в отечественном реферируемом журнале, входящем в список изданий, рекомендованных ВАК.
Краткое содержание и структура работы.
Диссертация изложена на 138 страницах, включает в себя 29 иллюстраций, 4 таблицы и список из 61 использованных источниковсостоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литершуры и приложений.
Выводы по третьей главе: выполнена программная реализация математической модели распространения звуковых пучков на языке программирования С+± программа выполняет расчет функции скорости частиц среды и коэффициентов ряда Фурье функции скорости частиц среды.
Глава 4. Результаты численных экспериментов для звуковых пучков конечной амплнтуды.
В данной главе приводятся результаты численных экспериментов для двух различных начальных распределений звуковых пучков.
4.1. Распространение гауееовского пучка.
Рассмотрим распространение звукового пучка с начальным значением скорости частиц среды V (6,r) = e~r sin (в). На рис. 4.1 [34−37] черным цветом изображена исходная функция скорости частиц среды, а цветной поверхности соответствует функция скорости частиц при следующих параметрах: z = 0.5, Г = 0.001, N = 0.4,.
Р —100, М — 2п. Нарис.4.2 цветной поверхности соответствует искомая функция при других значениях: z — 1, Г = 0.001, N=0.4, /^ = 100, М = 212. На представленных рисунках количество дискретных значений по оси, соответствующей переменной О, равно 512- по оси, соответствующей г- 100- по оси, соответствующей z— 50. Таким л 2 лобразом, шаг дискретизации по в равен-, по г — 0.05, по z — 0.1.
Рис. 4.1. Функции скорости частиц Рис. 4.2. Функции скорости частиц сре-среды при z — 0 и z = 0.5 ды при z = 0 и z = 1.
На рис. 4,3 представлены изменения профилей волны на оси симметрии (г = О) с ростом в, при этом графику красного цвета соответствует исходная функция (при z — 0), остальным фафикам соответствуют значения z=0.5,1,1−5. Из рис. 4.1, рис. 4.2 и рис. 4.3 видно, что с ростом z интенсивность сигнала на его оси уменьшается и исходный гауссовский пучок расширяется.
Рис. 4.3. Изменения профилей волны на оси симметрии (г = 0) с ростом в.
На рис. 4.4 представлены изменения профилей волны с ростом параметра в для разных значений радиуса г: г = 0,0.25,0.5,1 при фиксированном значении z. Графикам красного цвета соответствует профиль при г = 0, фафикам фиолетового цвета — профиль при г —1. Видно, что с увеличением значения г амплитуда сигнала уменьшается.
Рис. 4.4. Профили волны для разных значений радиуса г /- = 0,0.25,0.5,1 при фиксированном значении г: a) z — 0, б) z = 0.5, в) z = 1, r) z = 2.
На рис. 4.5 представлена функция двух переменных при фиксированных значениях z: z — 0,0.5,1,2,3,4. При этом вертикальная ось соответствует переменной г, а горизонтальная — переменной 0. С ростом z пучок расширяется вдоль координаты г, положительный и отрицательный фронты сближаются.
Рис. 4.5. Функция двух переменных v{6,r) при фиксированных значениях z z=0,5.
ООО кхя km 1.
Л > о о о о о.
N ч о о о 0.
Ч ч ooq 4лд НС).
N ок.
О 10 20 JO 40 3d 60 70 И) 40 100.
7=1.
0J.
ООО AAA ш.
О 10 20 JOМ 40 60 70 № VU U*l z=4.
Рис, 4.6. Зависимости амплитуд первой, второй и третьей гармоник от г при фиксированных z.
На рис. 4.6 представлены зависимости амплитуд первой, второй и третьей гармоник |4|с2|,|с3| от г при различных фиксированных z: z = 0,0.5,1,2,4.
Красному цвету соответствует первая гармоника, синему — вторая, коричневому — третья. С ростом z происходит перераспределение энергии между гармопиками за счет нелинейности процесса распространения волны. Данный процесс отчетливо виден на рис. 4.7. ч о о { > ООО йДй ххх tw 1 мне 2 trace J.
О о о О о о и< ч) Л.
А Ь :*ХХХ> > N, а X*1 X* Л XI о-^- <*ХХХ, 'ххх*, 14'44| :хххх>
О 5 10 IS 20 25 Ю iS 4″ 45 50.
Рис. 4.7. Зависимости амплитуд первой, второй и третьей гармоник от z на оси симметрии tr? д О.
4 О '.О.
X—L 8Ж&bdquox~g8.
8С.
Тхх®-8 $ ааапаастсаар
ООО tiw I ддд trace 2 ><Х> тсс J trace 4 Dbn л ' г, а апа (.
0 5 to 15 20 25 30 15 40 45 50.
Рис. 4.8. Первая гармоника с, с ростом z при разных значениях г.
На рис. 4.7. приведены зависимости амплитуд первой, второй и третьей гармоник (|с,|,|с2|,|с3|) от z на оси симметрии (г = 0). Видно, что при z — 0 присутствует только первая гармоника, затем, с увеличением z, на некотором промежутке возрастают интенсивности остальных гармоник, после чего они затухают.
На рис. 4.8 представлена первая гармоника |с,| с ростом z при разных значениях г: г = 0,0.25,0.5,1 (при этом значению г-0 соответствует график красного цвета, а значению г — 1 — график фиолетового цвета).
2 «8.
• «.
А эоо (да 1 h л д truce 2 0 4 0″ 0.2 ii 1 О Л >OG ttW I в, и** 2 осш J jOQ true 4.
X X о D 2 к в.
15 2D z=0.
10 15 z=0.5 ft Л Л № 1.
Х (№ 3 зею ыш*4 r- -a., f i л л i 0 5 0 s Z=1 в 13 30.
Э*>С 1 1ЛЛ tract -. ц N MM J (rarr 4.
I? ° S. x>: икх 1 ft л л mac 2 ¦ ' - 1ш* J ]QL tear 4.
J к a В X.
8 «'l a «f m. Q ° о? '» ЙЯИммищ.*. л i.
10 IS 20 23 2.
15 20 z=4.
Рис. 4.9. Зависимости с I от п при различных фиксированных значениях z.
На рис. 4.9 изображены зависимости |с&bdquo-| от п при различных фиксированных значениях z: z = 0,0.5,1,2,4. При этом кругами обозначен график, соответствующий г = 0, треугольниками — г = 0.25, крестами — г- 0.5 и квадратамиг = 1. z=2.
Рис. 4.10. Зависимости (р от г для п = z=4.
1,2,3 при фиксированных значениях z z=0,5.
Рис. 4.1 1. Зависимость <р от г для z =0,0.5,1,2,4 -п -1.
На рис. 4.10 представлены зависимости фазы волны (р от г для разных пп- 1,2,3 при фиксированных значениях z: z =0.5,1,2,4. На рис. 4.11 изображена зависимость фазы волны ^ от г для разных z: z =0,0.5,1,2,4 и фиксированного и — 1,.
4.2. Распространение пучка с равномерным амплитудным и параболическим фазовым распределением.
Рассмотрим распространение звукового пучка с другим начальным значением скорости частиц среды: K (0,r) = sin (# + кг2^, к = 1,6л-. На рис. 4.12 изображена исходная функция скорости частиц среды, а на рис. 4.13 — функция скорости при следующих параметрах: z = 0.5, Г = 0.001, N = 0.2, Р = 100,.
М = 216. Видно, что происходит фокусировка звукового пучка.
Рис. 4.12. Функция скорости частиц ".. у Рис. 4.13, Функция скорости частиц среды при zО л, г среды при z~ 0.5.
На рис. 4.14 изображена функция v (0,r) при УУ = 0.2и фиксированных z: z = 0,0.5,1,1.5. Видно, что с ростом z происходит фокусировка звукового пучка. z=1 z=1.5.
Рис. 4.14. Функция v (0,r) при N = 0.2 и фиксированных z.
Рис. 4.15. Зависимости скорости частиц среды от 9 на оси симметрии при разных z: z = 0,0.5,1,1.5.
Рис, 4.16. Зависимости скорости частиц среды от z на оси симметрии.
На рис. 4.15 представлены трафики зависимостей скорости частиц среды v от переменной 9 на оси симметрии (г = 0) при разных z: z = 0,0.5,1,1.5, при этом графику красного цвета соответствует значение z = 0, а графику фиолетового цвета — значение z = 1.5. Крестами обозначены максимальные значения скорости частиц среды при фиксированных z = 0,0.1,0.2,., 1.5, а кругами — минимальные значения скорости при тех же значениях z.
На рис. 4.16 изображены графики зависимости скорости частиц среды v от переменной z на оси симметрии (г = 0), при этом красным цветом обозначена функция v+ (z) = maxjv (z,#, r) j, а синим — v" (z) = min{v (z,#, r)}. Ha рис. 4.17 представлены функция двух переменных cn (z, r) при фиксированных значениях п: п = 1,2,3 и функция интенсивности /(z, r) = j^c2 (z, r). Из.
V n=l рис. 4.17 видно, что фокусное расстояние z и 1.
Рис. 4.17. а) зависимость с, от z, r, б) зависимость с2 от z, r, в) зависимость с3 от z, r, г) функция интенсивности /(z, r).
Рис. 4.18. Зависимости первых трех гармоник и интенсивности от z на оси симметрии.
На рис. 4.18 приведены зависимости первых трех гармоник и интенсивности от z на оси симметрии (г = 0), при этом первой гармонике соответствует график синего цвета, второй гармонике — график зеленого цвета и третьей гармонике — график фиолетового цвета. Из рисунка видно, что при z~ 1.5 интенсивности второй и третьей гармоник больше интенсивности первой гармоники.
Рис. 4.19. Функция v (d, z) на оси симметрии.
На рис. 4.19 изображена функция двух переменных v (0,z) на оси симметрии (г = 0). При этом горизонтальная ось соответствует переменной 0, а вертикальная ось — переменной z.
Рис. 4.20. Зависимость фазы (р от г для значений z: z = 0,0.5,1,1 -5.
На рис. 4.20 представлена зависимость фазы волны ^ от г для разных значений z: z = 0,0.5,1,1.5. Видно, что при z = 1.5 (после перехода через фокус) появляются осцилляции фазы волны.
Таким образом, представлены результаты численных экспериментов для двух различных начальных распределений функции скорости частиц среды:
V (#, r) = e~r sin (#) и V (6,r) — sin (<9 + kr2^j, к —, 6л. Первое распределение представляет собой гауссовский пучок. С ростом z он расширяется и снижается интенсивность сигнала. Второй пучок имеет равномерное амплитудное распределение и параболическое фазовое распределение. Он с ростом z фокусируется. Результаты, полученные при численном моделировании обоих распределений волн, не противоречат физическим явлениям. При моделировании процесса фокусировки было задействовано в 16 раз больше узлов, чем при моделировании распределения гауссовского пучка, что было обусловлено необходимостью выполнения условия устойчивости. В процессе моделирования были замечены появления численных осцилляций только в случае невыполнения условий устойчивости (2.92).
Результаты численных экспериментов согласуются с результатами, полученными другими авторами, в частности, Савицким О. А. В работе [61] рассматривается круг задач, в которых диссипативными процессами можно пренебречь. В данном случае процесс распространения волновых пучков конечной амплитуды описывается уравнением Хохлова-Заболотской, которое после обезразмеривания принимает вид: dz дв дв.
В данной работе рассматривается подход к получению асимптотических решений уравнения Хохлова-Заболотской для первоначально (при z=0) монохроматического гауссовского пучка v (z, 0, R:={) = е~'{2 sin (#). Результаты расчетов приведены на рис. 4.21, на котором изображены профили волны на оси симет-рии с ростом в при различных фиксированных z.
11ол ученное асимптотическое решение отражает все качественные особенности трансформации волнового профиля в интенсивном звуковом пучке большой аппертуры (N<1). На оси дифракция не замедляет нелинейных процессов, и при z=l, гак же, как и в плоских волнах конечной амплитуды, формируется вертикальный участок волнового профиля (рис. 4.2! — кривая 1). На больших расстояниях этот участок расширяется, что приводит к формированию слабой ударной волны {z> 1 на рис. 4.21). Влияние дифракции на оси пучка проявляется в несимметричном искажении положительного и отрицательного полупериодов волнового профиля. Длительность положительного полупериода уменьшается с одновременным увеличением его амплитуды, длительность отрицательного полупериода увеличивается, а его амплитуда уменьшается.
Видно, что результаты численных расчетов автора диссертации при малых значениях параметра диссипации I (рис. 4.3) согласуются с аналитическими результатами работы |611 (рис. 4.21).
Рис. 4.21. Изменения профилей волны на оси симметрии (г = 0) с ростом.
61].
В ы, а оды по четвертой главе: приведены результаты численных экспериментов для гауссовского пучка и пучка, имеющего равномерное амплитудное и параболическое фазовое распределениеданные результаты не противоречат физическим явлениям и согласуются с аналитическими результатами, полученными другими авторами.
Заключение
.
В диссертационной работе проведено исследование процесса распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде. Обзор известных непрерывных и дискретных моделей распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде показал, что, несмотря на большое количество математических моделей, в настоящее время отсутствуют доступные специализированные модели, описывающие распространение звуковых пучков в нелинейных средах. Как правило, результаты по существующим моделям носят частный характер и встречаются лишь в научной литературе по нелинейной акустике. Отсутствие таких моделей и их программной реализации сдерживает практическое применение нелинейных эффектов в гидроакустике, неразрушающем контроле, медицинской диагностике. Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом.
1. Для непрерывной модели, основанной на уравнении Хохлова — Заболотской — Кузнецова, построен комплекс экономичных дискретных моделей распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде, базирующийся на схемах расщепления по физическим процессам. В этом случае исходная задача разбивается на две подзадачи, одна из которых учитывает эффекты нелинейности и диссипации среды, а другая — диффузию энергии в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Также рассматривается дискретная модель, основанная на методе гармоник.
2. Для решения подзадач, полученных в результате применения схем расщепления по физическим процессам, используются методы, основанные на явных схемах, неявных схемах и схемах с весами. В работе определена вычислительная трудоемкость предложенных методов. Применение явных схем требует О = 20 PM log2 М + 18РМ арифметических операций, неявных схем — О = 20РМ log, М + 48РМ арифметических операций, а для схем с весами необходимо О = 20 РМ log2 М + 5 РМ арифметических операций, где Р и М — количество узлов сетки по переменным г и в соответственно. Из сравнения тру-доемкостей метода, основанного на схемах расщепления по физическим процессам, и метода гармоник (его трудоемкость составляет 0(М2Р) арифметических операций) следует, что метод, основанный на схемах расщепления по физическим процессам, является менее трудоемким по сравнению с методом гармоник.
3. В диссертационной работе исследована точность построенных схем. Использование явных и неявных схем приводит ко второму порядку по переменным г и в и первому порядку переменной z. Схемы с весами позволяют получить второй порядок погрешности аппроксимации по всем переменным r, 6, z, что позволяет повысить точность решения задач по сравнению с известными схемами.
4. Проведено исследование устойчивости построенных дискретных математических моделей с помощью метода Фурье. Модель, основанная на явных схемах, является неустойчивой. Модели, основанные на неявных схемах и схемах с весами, являются абсолютно устойчивыми.
5. Сравнение предложенных схем с точки зрения устойчивости и порядка погрешности аппроксимации показало, что для решения задачи распространения звуковых пучков конечной амплитуды в нелинейно-диссипативной среде целесообразно использовать схемы с весами.
6. В диссертационной работе доказана консервативность дискретной математической модели распространения нелинейных звуковых пучков конечной амплитуды, построенной на основе схем с весами.
7. Проведен ряд вычислительных экспериментов по исследованию пространственных нелинейных эффектов в волновых полях конечной амплитуды, результаты которых не противоречат реальным физическим явлениям и согласуются с результатами, полученными другими авторами.
