Дифференциальные уравнения

http://www..ru/

http://www..ru/

Задача 1. Найти экстремум функционала при

Решение

Найдём частные производные подынтегральной функции:

; .

Вычислим полную производную по x от F_y' по формуле дифференцирования сложной функции:

функция линейное разностное уравнение экстремум Имеем .

Составляем дифференциальное уравнение Эйлера вида:

.

Т.е. или (1).

Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение — характеристические числа. Следовательно, общее решение однородного уравнения будет. Т.к. мы имеем неоднородное уравнение со специальной правой частью, частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть есть многочлен нулевой степени, умноженный на синус, поэтому. Подставим это решение в исходное уравнение:

Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид

.

Для нахождения произвольных постоянных C₁ и C₂ подставим полученное решение в граничные условия:

и тогда уравнение экстремали имеет вид:

.

Проверим достаточные условия сильного экстремума:

а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби вида:

.

Т.к., уравнение Якоби имеет вид:

или .

Его общее решение есть .

Из условия, т. е., имеем. Т. е. u (x), удовлетворяющее условию, имеет вид, где С — константа. Так как нетривиальное решение уравнения Якоби при, то условие Якоби выполняется.

б) проверим условие Лежандра: поскольку F_y'y' = 2 > 0 при любых y', то на кривой достигается сильный минимум. Очевидно, на этой же кривой достигается и слабый минимум.

Значение функционала на найденной экстремали равно примерно -79,3784 (вычислено в математическом пакете Maple).

Ответ: -79,3784 достигается на кривой .

Задача 2. Найти

Решение

Для вычисления воспользуемся следующим свойством:

и известным значением гамма-функции

.

Тогда имеем

в свою очередь

и так далее, таким образом, получим, что Ответ: .

Задача 3. Найти решение уравнения y_k+2 — 19 y_k = 4^k, y₀ = 1, y₁ = 1.

Выполнить проверку решения

Решение

Имеем неоднородное линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами.

Его общее решение имеет вид, где у — общее решение соответствующего однородного уравнения, — какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

Характеристическое уравнение

— характеристические числа. Т.к. они действительные и различные, то

.

Т.к. мы имеем неоднородное уравнение со специальной правой частью, частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть есть полином нулевой степени, умноженный на действительное число степени k, не совпадающее ни с одним из характеристических чисел, поэтому. Подставим это решение в исходное уравнение:

Следовательно, решение исходного разностного уравнения есть

=.

Произвольные постоянные решения С₁ и С₂ найдем, используя начальные условия:

;

.

Окончательно имеем решение

.

Проверим решение:

подставим в исходное уравнение, получим Ответ: .

Размещен на