Дизъюнкция. 
Булева алгебра

Операция называется дизъюнкцией и обозначается символом «p/q» (иначе ее называют альтернацией, адъюнкцией, логическим сложением), или «р + q». Дизъюнкция выражается с помощью операций конъюнкции и отрицания.

Связь, созданная между двумя высказываниями при помощи уступительного союза «или», является такой операцией, которой в области логических значений соответствует операция дизъюнкции: высказывание является ложным тогда и только тогда, если оба высказывания ложны.

(Союз «или» в таком случае применяется в значении допущения, если допускается правильность обоих высказываний). Например: «выпал дождь или полили парк». Поэтому такое соединение двух высказываний также называется дизъюнкцией. (Символ «V» читается также как «или»).

Операция конъюнкция выражается с помощью операций дизъюнкции.

Таким образом, руководствуясь теоремой, что каждая логическая операция может быть выражена с помощью только операций дизъюнкции и отрицания «ни-ни».

ИМПЛИКАЦИЯ

Операция «р влечёт q» и называется импликацией (с предварительным членом р и с последующим членом q).

Допустим, что если р = п, то значение выражения р влечёт q будет или п, или л в зависимости от того, является ли значение q п, или л. Это аналогично тому, что высказывание типа «если А, то В», в котором первый член, А является правильным, считается или правильным, или ложным в зависимости от того, правильный или ложный второй его член В. Поэтому соединению типа «если А, то В» соответствует импликация в области логических значений. Но в то же время при ложном высказывании, А предложение типа «если А, то В» может вообще не считаться высказыванием Например: если горит лампочка, то лифт работает.

Если высказывание «горит лампочка» правильно, то правильностью высказывания «лифт работает» однозначно решается правильность вышеприведенного предложения. Но если высказывание «горит лампочка» ложно, то ничего нельзя сказать о правильности вышеприведенного предложения. Можно сказать: надо подождать, пока лампочка загорится Приведем пример, в котором не будет даже возможности «подождать»:

Если 2 * 2 = 5, то Дунай является европейской рекой. Если принять то, что соединение типа «если.. .то» соответствует операции импликации, при соблюдении последнего тождества высказывание «если А, то В» выражалось бы с помощью операций конъюнкции и отрицания в следующем виде: «неправильно, что: А и не В» (здесь присутствует выражение «не В» вместо выражения «неправильно, что В»; таким образом, ясно, что выражение «неправильно, что», расположенное в начале высказывания, относится не только к Л, но и к выражению «А и не В»). В соответствии с этим приведенные выше два предложения в примере могут быть переформулированы следующим образом:

• а) Неправильно, что горит лампочка и лифт не работает.
• б) Неправильно, что 2 * 2 = 5 и Дунай не является европейской рекой. Если выражение «горит лампочка» ложно, то ложно и выражение «лампочка горит и лифт не работает», а отрицание его — по а) — является правильным. Выражение. «2 * 2 = 5» ложно, ложно также и выражение «Дунай не является европейской рекой»; их конъюнкция — также ложна, а отрицание этой конъюнкции — по б) — является правильным. Здесь нет противоречия по сравнению с обычным пониманием вещей, так как обычно не обращают внимание на правильность сложного предложения типа «если. .. то» в том случае, когда первый член соединения является ложным.

Выражения вида «если А, то В» можно считать синонимами выражений вида «неправильно, что: «А и не В»; они называются импликациями (с предварительным членом А, с последующим членом В); для их обозначения применяется символ, А влечёт В.

Представленное в области логических значений понятие импликации типа р влечёт q соответствует понятию вышеприведенной операции высказывания.

Операции на высказываниях, выражаемые с помощью союзов и частиц, сформулированы недостаточно точно; в большинстве случаев, они до некоторой степени двусмысленны. По всей вероятности распознавание операций конъюнкции и отрицания наименее проблематично в их грамматической форме представления. Поэтому большое значение имеет возможность выражения любой логической операции через операции конъюнкции и отрицания. Как было показано выше, это позволило нам истолковать образование сложного предложения вида «если. .. то» как операцию.

Упоминаются еще некоторые грамматические синонимы операции «А влечёт В»: «В, если только Л», «Только тогда А, если В», «Достаточным условием В является А», «Необходимым условием, А является В», «В если не А».

И конъюнкция и дизъюнкция выражаются с помощью операций импликации и отрицания.

Поэтому любая логическая операция может быть выражена с помощью операций отрицания и импликации.

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

Последний вид выражения операции эквивалентности.

Так как высказывание p эквивалентно q = n тогда и только тогда, когда p = q, то данная логическая операция соответствует образованию сложного предложения вида «А тогда и только тогда, когда В». Понимание и логическое значение предложения такого характера, образованного из двух любых высказываний, иногда затруднительно для восприятия человека, как и понимание предложения вида «если. .. то». Например, «2 < 3 тогда и только тогда, если светит солнце».

Поэтому данное предложение понимается операцией калькуляции высказываний исключительно в том случае, если считать его синонимом высказываний вида «неправильно, что, А и не В, и, неправильно, что не, А и В». В этом случае данная операция «А влечёт В» и называется эквивалентностью.

Часто встречаются следующие синонимы данной операции: «Для, А необходимо и достаточно б», «А именно тогда, когда В».