Исследование закона распределения случайной величины

Задача. В течение 100 лет (1841−1940) в Стокгольме наблюдалась средняя температура в июле:

температура частота до 12,4 10.

• 12,5−12,9 12
• 13,0−13,4 9
• 13,5−13,9 10
• 14,0−14,4 19
• 14,5−14,9 10
• 15,0−15,4 9
• 15,5−15,9 6
• 16,0−16,4 7

от 16,5 8.

б1= 0,05, б2= 0,02, б3= 0,01, r = 0.56.

• 1. Построить графики эмпирической функции распределения и полигона частот исследуемой случайной величины.
• 2. Вычислить несмещенные оценки математического ожидания Х и дисперсии у2.
• 3. Выдвинуть и проверить гипотезу о законе распределения генеральной совокупности с уровнем значимости б1.
• 4. Проверить гипотезы о среднем значении:

эмпирический график гипотеза величина Н0: ЕХ = [Х] Н0: EХ=[Х]+I.

Н1: EX? [Х] Н4: EХ<[Х]+I.

с уровнем значимости б2 и б3 соответственно.

5. Построить доверительный интервал для математического ожидания исследуемой случайной величины и в случае нормального распределения генеральной совокупности для дисперсии с уровнем доверия r.

Решение.

Мы имеем интервальный ряд, для таких рядов обычно строят гистограмму частот, а полигон частот строится для дискретного ряда. Поэтому преобразуем данные наблюдений в дискретное статистическое распределение: за значение случайной величины Х примем середину интервала, вероятность рассчитаем p (i) =n (i)/N.

Проверим: сумма вероятностей должна быть равна 1: 0,1+0,12+0,09+0,1+0,19+0,1+0,09+0,06+0,07+0,08 = 1.

Строим график эмпирической функции распределения:

0 при х .

0,1 при 12,4? х < 12,5.

0,22 при 12,5? х < 13.0.

F (x) = 0,31 при 13,0? x < 13,5.

0,41 при 13,5? х < 14.0.

0,6 при 14.0? х < 14,5.

0,7 при 14,5? х < 15.0.

0,79 при 15.0? х < 15,5.

0,85 при 15,5? х < 16.0.

0,92 при 16.0? х < 16,5.

1 при х? 16.5.

Полигон частот — ломаная, отрезки которой соединяют точки (t; n). Если соединить ломаной точки (Х, р), получим полигон относительных частот.

2. Вычислить несмещенные оценки математического ожидания Х и дисперсии у2.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности: Хср = М (Х) = (?Xi*ni)/n =(12,4*10+12,7*12+13,2*9+13,7*10+14,2*19+14,7*10+15,2*9+15,7*6+16,2*7+16,5*8)/100 = 14,254.

Найдем выборочную дисперсию по формуле: Dв = 1/n * ?ni*Xi2 — (Xcp)2 =.

=(12,42*10+12,72*12+13,22*9+13,72*10+14,22*19+14,72*10+15,22*9+15,72*6+16,22*7+16,52*8)/100 — 14,2542 = 1,659.

Чтобы получить несмещенную оценку генеральной дисперсии, нужно выборочную дисперсию умножить на дробь n/(n-1) :

M (D) =S2 = Dв * n/(n-1) = 1.659*100/99 = 1,676.

Несмещенное среднее квадратическое отклонение у = ?ЇS2 = 1.295.

3. Выдвинуть и проверить гипотезу о законе распределения генеральной совокупности с уровнем значимости б1.

Форма полигона частот дает возможность выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Проверим эту гипотезу, используя критерий Пирсона. Вычислим теоретические вероятности попадания случайной величины в данный интервал, используя таблицы значений функции Лапласа и найденную оценку среднего квадратического отклонения:

p (a.

p (0.

p (12,4.

p (12,9.

p (13,4.

p (13,9.

p (14,4.

p (14,9.

p (15,4.

p (15,9.

p (16,4.

Занесем рассчитанные величины в таблицу и рассчитаем разности между теоретическими и фактическими частотами p (i) — w (i), а также величины (p (i) — w (i))2 /w (i) :

Расчетное значение критерия Пирсона Х2 = n* (p (i) — w (i))2 /w (i) = 100*0.118 474 = 11.8474.

При уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы 10−3 = 7 (10-число интервалов, 3 — т.к. нормальное распределение) находим по таблице критическое значение Х2крит = 14,07.

Т.к. расчетное значение Х2 меньше критического, то при заданном уровне значимости (опасности отвергнуть правильную гипотезу не более чем в 5% случаев) гипотеза о нормальном распределении не отвергается. Вероятность того, что фактическое распределение можно считать нормальным, не менее 0,105 т. е. 10,5%.

5. Построить доверительный интервал для математического ожидания исследуемой случайной величины и в случае нормального распределения генеральной совокупности для дисперсии с уровнем доверия г = 0.56.

Если Хср = 14,254 — выборочная средняя, а М (Х) — математическое ожидание генеральной совокупности, то нам нужно найти д такое, чтобы Р (¦М (Х) — Хср¦< д) = г Так как генеральная дисперсия нам неизвестна, используем исправленную дисперсию S2.

Доверительный интервал имеет вид: (Хср — tг*S/vЇn; Хср + tг*S/vЇn), где tг находим по таблице коэффициентов доверия при уровне доверия 0,56 и объеме выборки 100: tг = 0,765.

14,254 — 0,765*1,295/10 < M (X) < 14,254+0,765*1,295/10; 14,155 < M (X) < 14,353.

Доверительный интервал для математического ожидания с надежностью 0,56: (14,155; 14,353).

Оценим неизвестную генеральную дисперсию с надежностью г = 0.56. При неизвестном математическом ожидании доверительный интервал для дисперсии имеет вид:

(n-1) * S2 /ч2L < у2 < (n-1) * S2 /ч2R где значения критерия находим по таблицам при числе степеней свободы n-1 = 100−1 = 99: ч2R — для вероятности г = 0.56, ч2L — для вероятности 1 — г = 0,44.

Находим по таблице: ч2R = 96,233; ч2L = 100,465;

Рассчитываем: (n-1)*S2 /ч2R = 99*1.676/96,233 = 1,724; (n-1)*S2 /ч2L = 99*1,676/100,465 = 1,652;

Доверительный интервал для генеральной дисперсии с надежностью 0,56: (1,652; 1,724).

• 4. Проверить гипотезы о среднем значении:
• 1) Н0: ЕХ = [Х] 2) Н0: EХ=[Х]+I

Н1: EX? [Х] Н1: EХ<[Х]+I.

б2 = 0,02 б3 = 0,01.

с уровнем значимости б2 и б3 соответственно Итак, 1) нужно проверить гипотезу о равенстве генерального мат. ожидания выборочной средней при неизвестной генеральной дисперсии. Альтернативная гипотеза: генеральная средняя не равна выборочной средней. Уровень значимости 0,02.

Критерий для принятия нулевой гипотезы следующий: ¦ЕХ — Хср¦*vЇ(n-1) /S < tn-1,1-б/2.

По таблице критических точек распределения Стьюдента для двусторонней области находим:

при n-1 = 100−1 =99; 1−0.02/2 = 0.99 tn-1,1-б/2= 2.36.

Двусторонняя критическая область имеет вид: Н1 Н0 Н1 -2,36 0 2,36.

Т.к. -2,36 < (14 -14,254)*vЇ(100−1) /1,295 < 2,36; -2,36 <1.95 < 2,36; то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве генеральной средней и выборочной средней.

2) проверим гипотезу Н0: EХ=[Х]+1 т. е ЕХ = 14,254+1 = 15,254 при альтернативной гипотезе Н1: ЕХ<15,254 на уровне значимости 0,01.

Здесь будет левосторонняя критическая область, при n-1 = 100−1 = 99; 1−0.01/2 = 0.995 найдем tn-1,1-б/2= - 2,626. Построим критическую область: Н1 Н0 -2,626.

Вычисляем значение статистики: (Хср — ЕХ)*vЇ(n-1)/S = (14,254−15,254)*vЇ99 /1,295 = -7,6833.

Это значение попадает в критическую область, что дает нам основание отвергнуть нулевую гипотезу об отклонении генеральной средней от выборочной средней на 1 и принять альтернативную гипотезу: отклонение генеральной средней от выборочной меньше 1 при уровне значимости 0,01.