Стационарное магнитное поле

Стационарное (не меняющееся со временем) магнитное поле создается стационарными токами.

Уравнения Максвелла для этого случая дают:

Здесь и далее мы полагаем «dS = dS.

Уравнение (8.2) означает, что линии индукции В замкнуты. Если контур /, по которому ведется интегрирование в левой части уравнения (8.1), совпадаете силовой линией, то интеграл ^5d/ заведомо не равен нулю, так как В dl не меняет знака, и поэтому Jу' dS * О,.

s

т. е. через поверхность, опирающуюся на силовую линию, всегда течет ток.

Силовая линия В охватывает ток.

ПОЛЯ С ХОРОШЕЙ СИММЕТРИЕЙ

Если распределение тока обладает хорошей симметрией, поле можно найти из уравнения (8.1).

Цилиндрическая симметрия

Пусть j = (0,0, J), т. е. ток течет вдоль оси z, и j (x, у, z) = j (х² + у²), т. е. j не зависит от г и на поверхности цилиндра х² + у² = г² j = const (рис. 8.1).

Это означает, что при сдвигах вдоль оси z и при поворотах вокруг этой оси распределение тока переходит в себя, а это, в свою очередь, означает, что при таких преобразованиях поле должно также переходить в себя. Это оставляет для замкнутых силовых линий единственную возможность — силовые линии должны быть окружностями в плоскостях z = const, и на окружности радиусом г

|й| = const, т. е. не зависит от г.

Выбирая в качестве контура / окружность радиусом г, для циркуляции В будем иметь:

(учтено, что Bdl и В = const при г = const). Согласно (8.1), эта величина равна току через площадь контура: /(/•) = J j dS:

s

откуда

Здесь В (г) — индукция поля на расстоянии г от оси симметрии; /(/•) — сила тока через площадь круга радиусом г (рис. 8.2).

Замечание 1. Обсуждаемая симметрия поля допускает поле вида В = (о, О, SJ, причем В, — B_z(x² + у²), т. е. не зависит от г и постоянно на поверхности цилиндра х² + у² = г². Однако, если отсутствуют азимутальные токи (текущие вдоль окружностей в плоскостях z = const), такое поле должно быть постоянным во всем пространстве и поэтому не представляет физического интереса. Случай с азимутальным током мы рассмотрим далее отдельно.

Замечание 2. Формула (8.3) верна и в более общем случае. При отсутствии азимутальных токов достаточно просто осевой симметрии.

Рис. 8.1 Рис. 8.2

Задача 8.1. Ток течет по цилиндрическому проводнику радиусом R, ориентированному вдоль оси z. Сила тока /, плотность тока.

j — const = I/nR². Найти зависимость В (г). Решение. Имеем: в области r> R B® = х_а½пг.

Рис. 8.3 В области 0 < г < R

График зависимости В от г изображен на рис. 8.3.

Если j = j® * const, то сила тока вычисляется так:

т. е. интегрирование ведется по кольцам радиусом г', шириной dг' и площадью dS = 2nr'dr'.

Задача 8.2. Длинный прямой проводник разорван, и в разрыв вставлен проводящий шар. Найти поле В в произвольной точке.

Решение. Источник поля обладает осевой симметрией, так что формула (8.3) справедлива. Вне проводника B® = х₀½пг, г — расстояние от оси симметрии. Внутри шара силовые линии — по-прежнему окружности и В (г) = ц₀/(г)/2яг, где /(г) — сила тока через площадь круга радиусом г. Но, чтобы найти эту величину, нужно знать распределение тока внутри шара. Это трудная проблема, которую мы не будем решать. Если бы вместо шара была сферическая оболочка, то 1(г) внутри оболочки равнялся бы нулю и поле внутри оболочки отсутствовало бы.

Задача 8.3. Ток течет по двум коаксиальным (с общей осью) цилиндрам радиусами Л, и (рис. 8.4). Найти поле В во всем пространстве.

Решение. Из формулы (8.3) имеем:

Рис. 8.4 Рис. 8.5

(если г > 7^, площадь круга пронизывают два одинаковых тока в противоположных направлениях и суммарный ток равен нулю).

Задача 8.4. Азимутальный ток. Пусть имеется бесконечно длинный тонкостенный круглый равномерно заряженный цилиндр и пусть этот цилиндр вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью ш (рис. 8.5). Тем самым создается упоминавшийся выше азимутальный ток. Найти поле В во всем пространстве.

Решение. Симметрия допускает поле вида В = В (г) к, г — расстояние до оси симметрии. Рассмотрим контур ABCD в плоскости yOz

и вычислим интеграл t> В? dl по этому контуру:

С другой стороны, этот интеграл должен равняться току, текущему через площадь контура. Но этот ток отсутствует. Отсюда следует, что В (г,) = В (г₂), т. е. В не зависит от г. Иначе говоря, поле В вне цилиндра постоянно вплоть до бесконечности. Такое поле не физично, и его следует исключить. Итак, вне цилиндра В — 0. Точно такое же рассуждение показывает, что поле В однородно и внутри р-d/ по контуру A’B’C’D':

но теперь ток через площадь контура не равен нулю.

Если в элементе объема содержится заряд Aq и скорость всех частиц одинакова и равна v, плотность тока по определению.

(см. п. 6.2.3) будет равна j = pv.

Таким образом,.

где р — плотность заряда в стенке цилиндра; а — толщина стенки (плотность тока j в плоскости контура отлична от нуля лишь в пределах полоски шириной а). Отсюда находим для поля внутри цилиндра.

Величина J называется линейной плотностью тока.

Рассмотренная ситуация выглядит довольно искусственной, и так оно и есть. Однако полученный результат не лишен практического значения. Он приближенно верен для поля длинного соленоида с подстановкой J = л/, где п — число витков на единицу длины соленоида. Отметим, что даже бесконечно длинный соленоид не обладает нужной симметрией: он переходит в себя при поворотах лишь на угол 2п и при сдвигах вдоль z лишь на шаг спирали намотки, так что симметрия поля соленоида лишь приближенно соответствует рассмотренной.