Факторные и индексные модели

Основные понятия

Без всякого сомнения, работа Марковица и других экономистов в области теории оптимизации портфеля стали прорывом в области финансов. Тем не менее, на практике остается некоторые проблемы. Во-первых, процедура выбора портфеля Марковица требует много входящих данных. Допустим, ваши суммарные инвестиции состоят из 100 активов. Напомним, что только всем известный агрегированный индекс Standard & Poors 500 содержит 500 различных акций компаний. Eurostoxx50 включает в себя акции 50 европейских компаний. Таким образом, число п = 100 акций, безусловно, не слишком велико.

Далее представлены необходимые данные для расчета оптимального рискового портфеля:

• • 100 приблизительных данных по ожидаемой доходности
• • 100 оценок дисперсий
• • (п²-п)/2 = (10,000−100)/2 = 4,950 двумерных корреляций
• • = 5,250 расчетов

Таким образом, большое количество двумерных корреляций заставляет делать много расчетов. Большое количество расчетов на самом деле не создает проблемы благодаря использованию современных компьютеров, но возникает другая проблема. Мы не можем ожидать, что все эти числа постоянны. Мы можем наблюдать изменяющиеся во времени корреляции, ожидаемые доходы также могут изменяться и в том числе и риски — все это является фактом для финансовых временных рядов рынка. Но если все наши оценки в лучшем случае приближены к истинному ожидаемому числу, то все эти ошибки можно суммировать.

Во-вторых, проблема, связанная с процедурой Марковица (выбор оптимального портфеля) может быть еще хуже: результаты чрезвычайно чувствительны относительно небольших изменений. Если мы обновим наши оценки различий, т. е. ожидаемые доходности и корреляции, то мы наверняка получим большие изменения в наших оценках. В этом случае, инвестором придется сделать большие изменения в структуре портфеля. Из-за транзакционных издержек инвесторы или управляющие фондами должны часто балансировать и пересматривать портфель. Это очень дорого.

В-третьих, даже если вы решаете не обновлять свои оценки, портфель может быть неустойчивым. Сектора с низкой капитализацией и низкой изменчивостью могут вызвать проблему, так как процедура предлагает, чтобы они получили большие веса. Вообще, оптимизированные портфели имеют тенденцию к весомым активам (или с небольшим весом) и с крупными (или маленькими) ожидаемыми доходностями, отрицательными (или положительными) корреляциями и маленькими (или большими) различиями. Есть два способа решить эти проблемы. Можно попытаться изменить процедуру отбора портфеля Марковица, как в подходе Блэк-Литермана. Другой, более распространенный способ состоит в том, чтобы уйти от основных установок оптимизации средней дисперсии и интерпретировать ожидаемые доходы актива в контексте факторных моделей.

Факторная модель связывает доход актива со значениями ограниченного числа факторов. Это отношение обычно описывается линейным уравнением следующей формы:

где (iu-rf) является доходом актива i за время t, и Fi_tl и F_n, t являются факторами. Какой фактор зависит от точной цели модели? Факторами могут быть макроэкономические переменные, такие как бизнес-цикл, инфляция или валютный курс. Можно также выбрать предопределенные портфели или индексы как факторы (что наиболее популярно на практике). Факторы могут быть получены из экономической теории, или из статистического анализа, они только должны быть коррелированными с доходом актива.

Коэффициент а, представляет потенциальный доход актива, который часто является неправильно оцененным. Коэффициенты Pi и р_п показывают, как сильно доход актива воздействует на изменения факторов. Они обычно применяются как фактор чувствительности, фактор нагрузки, фактор воздействия или просто бета-фактор.

Для усиления модели мы должны рассмотреть некоторые дополнительные предположения:

• 1. ЩеО = 0: определенные новости об активе находятся в среднем на нуле, таким образом, нет новостей.
• 2. E (?j?j) = 0: определенные новости об i-той ценной бумаге не зависят от новостей) -той ценной бумаги. Таким образом, можем сказать, что два актива коррелируют между собой, если новости об одном активе влияют на другой, а значит, они подвержены одному общему фактору.
• 3. E ((F-E (F))?j) = 0: Определенные новости не зависят от новых изменений в факторе. Это предположение является менее ограничительным, как может казаться. Если ошибки были коррелированы с фактором, мы могли сделать его равным нулю, корректируя соответствующий фактор Pj. Действительно, это следует из стандартных методов для оценки множественной линейной регрессии, которые делают минимальным остаточное различие.