Нормальное распределение. 
Статистика

Распределение непрерывной случайной величины х называют нормальным N (х, а), если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой

Нормальное распределение признака наблюдается в тех случаях, когда на величину вариантов, входящих в состав вариационного ряда, действует множество случайных, независимых или слабо зависимых факторов, каждый из которых играет в общей сумме незначительную роль. Нарушение нормального характера распределения часто является свидетельством неоднородности совокупности.

Кривая нормального распределения представляет собой одновершинную симметричную колоколообразную фигуру, правая и левая ветви которой равномерно и симметрично убывают, асимптотически приближаясь к оси абсцисс (рис. 5.1). Отличительной особенностью этой кривой является совпадение в ней средней арифметической, моды и медианы. Если всю площадь между кривой нормального распределения и осью абсцисс принять за 100%, то в пределах одной а заключено 68,3% частот, в пределах двух, а — 95,4%, в пределах трех, а — 99,7% («правило трех сигм»).

Рис. 5.1. Кривая нормального распределения.

Нормальное распределение имеет следующие свойства.

1. Значения признака имеют тенденцию концентриро;

х — X

ваться около точки t — 0, где t =-является нормирован;

а ным отклонением.

• 2. Нормальная кривая симметрична относительно вертикальной оси.
• 3. Значения наблюдений не ограничены по своей величине.
• 4. х, Mo, Me имеют одно и то же значение при t = 0.
• 5. Изменение величины t характеризует различные типы распределения.

Случайные величины, распределенные по нормальному закону, различаются значениями параметров х и а. Чем меньше величина а, тем более вытянута вверх кривая распределения, данное вытягивание вверх компенсируется сжатием около центра распределения х и более быстрым приближением кривой к оси абсцисс. Чем больше величина а, тем более плоской и растянутой вдоль оси абсцисс становится кривая распределения. Если величина, а остается неизменной, а х изменяется, то кривые нормального распределения имеют одинаковую форму, но отличаются друг от друга положением максимальной ординаты.

Теоретические частоты при нормальном законе распределения случайной величины определяют следующим образом: сначала по эмпирическим данным рассчитывают среднюю арифметическую ряда и среднее квадратическое отклонение, находят нормированное отклонение каждого варианта от средней арифметической. Затем по таблице значений функции нормального распределения определяют ее значения и вычисляют теоретические частоты.

Теоретические частоты при нормальном законе распределения случайной величины определяют по формуле.

где N — объем совокупности; h_k — длина интервала; t — нормированные отклонения каждого варианта от средней арифметической; ф (?) — функция нормирования отклонения, ее значения определяют по таблице распределения функции (табл. П2.5 в приложении 2).

Нормальное, или симметричное, распределение соответствует природе ряда явлений, однако для отдельных общественных явлений оно нехарактерно, так как в нем отражаются различия, вызванные внешними воздействиями, присущие колеблющейся совокупности единиц. При этом для большинства социальных явлений характерна асимметричность рядов и кривых распределения. Именно наличие асимметрии, или «скошенности», в рядах однородных совокупностей служит косвенным указанием на то, что исследуемый процесс проходит активную стадию развития.