Разбиение множества на классы

Два множества, содержащих одинаковые элементы, называются пересекающимися. В этом случае говорят, что множества пересекаются.

Два множества, нс имеющих общих элементов, называются непересекающимися. В этом случае говорят, что множества не пересекаются.

Пример 6.3.1. Множества {1,2,3,4,5}, {а, б, в, г, д} нс псрссскаются.

Непересекающимися являются множество треугольников и множество параллелограммов.

Также нс псрссскаются множества решений уравнений *³=3*² и *+3=0. •.

Пример 6.3.2. Пусть А - множество треугольников, площадь которых равна 6, В — множество прямоугольных треугольников.

А и В — пересекающиеся множества, так как существует треугольник, являющийся одновременно элементом множеств А и В, например треугольник со сторонами 3, 4, 5. Он прямоугольный и имеет площадь.

равную 6 (проверьте эти утверждения). Этот пример нс единственен. Приведите пример еще одного такого треугольника.

Пересекаются также множества решений уравнений х²+х=0 и х²-х=0, так как оба эти множества содержат число 0. •.

Заметим, термины «множества пересекаются» и «множества не пересекаются» определены для двух множеств. Если множеств будет больше, то необходимы уточнения. Например, множества могут нс иметь ни одного общего элемента, но некоторые из множеств могут пересекаться.

Пример 6.3.3. Множества {1,2}, {2,3} и {1,3} не пересекаются в совокупности, то есть нет ни одного элемента, который принадлежал бы каждому из множеств. Однако любая пара этих множеств имеет общий элемент. •.

Пусть дана совокупность множеств. Говорят, что множества этой совокупности попарно не пересекаются, если никакие два (различных) множества совокупности нс псрссскаются.

Пример 6.3.4. Множества {1,2,3}, {5,7}, {4,6,8} и {9} попарно не пересекаются. •.

Два множества могут находиться в следующих отношениях:

• 1) множества могут быть пересекающимися,
• 2) множества могут быть нспсрссскающимися,
• 3) множества могут быть связаны отношением включения.

Ясно, что первые два отношения исключают друг друга, то есть каждое из предложений «Множества псрссскаются» и «Множества нс псрссскаются» является отрицанием другого. Пересекающиеся множества, в частности, могут быть связаны отношением включения. На первый взгляд может показаться, что нспсрссскающисся множества не могут находиться в отношении включения. Это так, но только с некоторым исключением.

Пример 6.3.5. Рассмотрим два предложения:

Р = «Множества А и В пересекаются»,.

Q = «Множество А содержится в множестве В».

Ясно, что РФ (). Оказывается, обратное утверждение в общем случае тоже неверно, то есть ()ФР. Контрпример: Л=0, В — любое. Как известно, 0сЯ, но это непересекающиеся множества.

Если же исключить случай пустого множества, то Q => Р. Действительно, берем любой элемент а из А. Так как A то аеВ. Значит, а общий элемент множеств А и В. •

Теперь введем важное понятие разбиения множества на классы.

Пусть дана система К непустых подмножеств некоторого множества S. Говорят, что множества системы К образуют разбиение множества 5, если выполняются два условия:

• 1) подмножества попарно не пересекаются;
• 2) каждый элемент множества S лежит в некотором подмножестве.

Подмножества системы К называются классами разбиения. Количество классов может быть любым, в том числе бесконечным.

Вначале ограничимся примерами разбиений на конечное число классов.

^2″ • • ч А_п.

Пример 6.3.6. Множества всех четных чисел {л* х2} = {2п neZ} и всех нечетных чисел {2л+1 | пеZJ образуют разбиение множества Z на два класса.

Множество всех простых чисел, множество всех составных чисел и множество {1} образуют разбиение множества N на три класса.

Множество всех положительных чисел, множество всех отрицательных чисел и множество {О J разбивают множество R на три класса •.

Пример 6.3.7. Докажем, что множество всех треугольников можно разбить на три класса:

А — множество остроугольных треугольников (треугольник называется остроугольным, если все его углы острые);

А-у — множество прямоугольных греугольников (треугольник называется прямоугольным, если он имеет прямой угол);

Аз множество тупоугольных треугольников (треугольник называется тупоугольным, если он имеет тупой угол).

Действительно, каждый треугольник относится к одному из рассмотренных видов. При этом никакие два класса нс пересекаются. А нс пересекается ни с каким классом по определению. Покажем отсутствие общих элементов у множеств Л₂ и А₃. Предположим, что в треугольнике есть прямой угол и тупой угол. Тогда их сумма будет больше 180 фадусов, поэтому сумма всех трех углов треугольника будет больше 180 градусов. А эго противоречит теореме о сумме углов rpeyi ольника. •.

Пример 6.3.8. Разобьем множество всех десятичных цифр {0,1,2,3,4,5,6;7,8,9} на 4 класса. Это можно сделать разными способами.

Первое разбиение: {1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}, {0}.

Другое разбиение: {0,4,8}, {1,5,9}, {2,6}, {3,7}. •.

Подсчет числа всех разбиений л-элементного множества на определенное число классов является непростой задачей и решается средствами комбинаторного анализа.

При построении второго разбиения в примере мы использовали следующий принцип: вначале записали все цифры, кратные 4 (это числа вида 4/г), затем все цифры, дающие при делении на 4 остаток I (числа вида 4л+1), далее те цифры, которые дают остаток 2 (числа вида 4л+2) и, наконец, цифры, дающие остаток 3 (числа вида 4л+3).

Указанный принцип позволяет разбить на 4 класса все множество целых или натуральных чисел, при этом классы будут являться бесконечными множествами.

Теперь рассмотрим пример разбиения на бесконечное множество классов.

Пример 6.3.9. Возьмем числовую прямую. Тогда целые числа разделят прямую на промежутки. Однако это еще не совсем разбиение, нужны уточнения. Если рассмотреть отрезки, то, например, [2; 3] и [3; 4] будут иметь общий элемент 3. Не включить целые числа означает разбить не все множество R. Поэтому отнесем целое число к одному из концов промежутка, например к правому. Получим семейство промежутков вида (я;л+1], п — целое число.

Итак, семейство множеств К= {(п; п+] neZ} образует разбиение множества R действительных чисел на классы.

Приведенный пример разбиения множества R на бесконечное число классов не единственен. Например, можно считать множество Z целых чисел отдельным классом, а все другие классы — это интервалы вида (л; п+1). Есть и другие примеры разбиений. •.

Заметим, что любая классификация вещей, процессов или понятий приводит к соответствующим разбиениям.