Сравнение двух экспериментальных распределений в таблицах большей размерности, чем 2X2, с помощью критерия хи-квадрат

Теперь решим задачу, в которой сравниваются две выборки, имеющие по четыре значения каждая.

Задача 8.7. В двух школах района выяснялась успешность знания алгебры учащимися десятых классов. Для этого в обеих школах были случайным образом отобраны 50 учащихся и с ними проведены контрольные работы. Проверялось предположение о том, что существенной разницы в уровне знаний учащимися алгебры в двух школах не существует.

Решение. Результаты контрольных работ представим сразу в виде табл. 8.9.

Таблица 8.9

В табл. 8.9 О— число учащихся первой школы, получивших оценку 2 в контрольной работе по алгебре; 0₁₂ — число учащихся первой школы, получивших оценку 3 в контрольной работе по алгебре; Охз — число учащихся первой школы, получивших оценку 4 в контрольной работе по алгебре, и т. д.

«Визуальный» анализ данных таблицы показывает, что во второй школе число «двоечников» в три раза больше, чем в первой, и, наряду с этим, число «отличников» в два раза меньше, чем в первой школе. Казалось бы, можно сделать вывод о том, что вторая школа показывает существенно худшие результаты, чем первая. Однако подобные утверждения можно делать только на основе статистической обработки экспериментальных данных.

В общем случае для подобных задач подсчет эмпирического значения хи-квадрат осуществляется по формуле (8.6), являющейся модификацией формулы (8.2):

где Пх — число испытуемых в первой выборке; п₂ — число испытуемых во второй выборке; Оц и 0₂, — частоты классов (в нашем случае число участников опроса, отметивших первую, вторую и т. д. альтернативы) первой и второй выборки.

Подставим данные задач в формулу (8.6), получим:

Число степеней свободы в данном случае равно По табл. 11 Приложения находим:

Строим «ось значимости»:

Полученные различия попали в зону незначимое™. Иными словами, следует принять нулевую гипотезу Н$ о сходстве или о том, что уровень знания учащимися алгебры в двух разных школах статистически значимо не отличается между собой. Выше, при простом визуальном анализе экспериментальных данных мы высказывали предположение, что во второй школе успеваемость учащихся по алгебре существенно хуже, чем в первой, однако критерий хи-квадрат показал, что это далеко не так.

Задачи, аналогичные рассмотренной выше, легко решаются с помощью формулы 8.6.

Решим задачу 8.7 в пакете STADIA. Последовательность действий описана выше. Напомним, что в панели (см. рис. 8.1) выбора вида второго распределения нужно выбрать цифру 1:

КРИТЕРИЙ ХИ-КВАДРАТ Переменные: xl, х2+.

Хи-квадрат=6,45, Значимость=0,0917, степ. своб=3.

Гипотеза 0:

Особо подчеркнем, что в пакетах STATISTICA и SPSS сравнение двух эмпирических распределений по критерию хи-квадрат не предусмотрено.

С помощью формулы (8.6) решим еще раз задачу 8.4, оставив ее старый номер.

Задача 8.4. Какова степень удовлетворенности работой на одном предприятии у двух неравных по численности групп?

Решение. Для решения этой задачи социолог провел на том же предприятии (как в задаче 8.3) опрос о степени удовлетворенности работой еще в одной группе, но уже из 80 респондентов. Теперь у социолога есть две выборки испытуемых: первая — 65 человек и вторая — 80 человек. Распределение испытуемых по альтернативам представлено в табл. 8.10. Полученные данные позволяют использовать критерий хи-квадрат по-другому, без вычисления теоретических частот.

Таблица 8.10

Для решения задачи следует использовать формулу 8.6. Подставим данные табл. 8.10 в формулу (8.6), получим:

Ответ оказался аналогичным ответу, полученному при решении задачи 8.4. При сопоставлении двух эмпирических распределений число степеней свободы определяется, но формуле: v = = (к — 1)(с — 1), где к — число строк в таблице эмпирических частот только для первой выборки (или только для второй); с — количество сравниваемых распределений.

В нашем случае к = 5, с = 2, следовательно.

По табл. 11 Приложения находим:

Строим «ось значимости»:

Полученные различия попали в зону незначимое™. Т. е. следует принят!, нулевую гипотезу //₀ о сходстве. Иными словами, распределения двух выборок значимо не отличаются между собой, и, следовательно, у двух групп опрошенных респондентов отсутствуют предпочтения в выборе удовлетворенности или неудовлетворенности работой.

В двух следующих двух задачах сравниваются две выборки, в которых значений переменных достаточно много, настолько, что предыдущие способы сравнения оказываются трудновыполнимыми. Поэтому все экспериментальные данные в этих двух задачах разбиты на группы (интервалы).

Задача 8.8. Психолог сравнивает два эмпирических распределения, в каждом из которых было обследовано 200 человек по тесту интеллекта. Вопрос, различаются ли между собой эти два распределения?

Решение. Представим эмпирические данные в виде табл. 8.11, в которой приведены также предварительные расчеты, необходимые для получения Хами;

Таблица 8.11

Для случая равенства числа испытуемых в первой и второй выборках расчет производится по формуле (8.7):

где/1 — частоты первого распределения;/2 — частоты второго; N— число элементов в каждой выборке. В нашем случае в каждой из выборок оно равно 200.

Произведем расчет, но формуле (8.7), основываясь на данных из табл. 8.11:

В данном случае число степеней свободы v = (k — 1)(с — 1) = = (9 — 1)(2 — 1) = 8, где к — число интервалов разбиения, а с — число столбцов.

В соответствии с табл. 11 Приложения находим:

Строим «ось значимости»:

Полученные различия попали в зону неопределенности. Психолог может как принять, так и отклонить гипотезу Hq.

Рассмотрим еще одну аналогичную задачу, в которой число значений в каждой из выборок различно. В этом случае используют другую формулу расчета.

Задача 8.9. Психолог сравнивает два эмпирических распределения, в каждом из которых было обследовано по тесту интеллекта разное количество испытуемых. Вопрос — различаются ли между собой эти два распределения?

Решение. 11рсдставим эмпирические данные сразу в виде табл. 8.12, отметив при этом, что число градаций IQ увеличилось, в отличие от табл. 8.11, до 150.

Таблица 8.12

Окончание табл. 8.12

Здесь произведены предварительные расчеты, необходимые для вычисления критерия эмпирического значения хи-квадрат при условии разного числа испытуемых в первой и второй выборках. В этом случае расчет производится по формуле (8.8):

где — частоты первого распределения, а /₂ — частоты второго; N — сумма числа элементов в первой (п j) и второй (г^) выборках. В нашем случае оно равно 177 = 124 + 53, а сумма уже подсчитана в нижней строчке последнего столбца табл. 8.12.

Осталось произвести расчет по формуле (8.8).

В данном случае число степеней свободы v = (k — 1)(с — 1) = = (10- 1)(2 — 1) = 9, где k — число интервалов разбиения, а с — число столбцов.

В соответствии с табл. 11 Приложения находим:

Строим «ось значимости»:

Полученная величина эмпирического значения хи-квадрат попала в зону значимости. Иными словами, следует принять гипотезу Н[ о том, что распределения уровней интеллекта в двух неравных по численности выборках статистически значимо отличаются между собой.

Задачи 8.8 и 8.9 очень легко могут быть решены только в пакете STADIA. Пример решения аналогичных задач в пакете STADIA приведен выше при решении задачи 8.7. В остальных пакетах решение задач по критерию хи-квадрат, в которых сравниваются два экспериментальных распределения, не предусмотрено. Исключение — задачи, решаемые с помощью четырехпольных таблиц сопряженности.