Выявление и измерение сезонных колебаний

Сезонные колебания — регулярно повторяющиеся подъемы и снижения уровней динамического ряда внутри года на протяжении ряда лет. Сезонность имеет место во многих областях экономики: погодные изменения влияют на ассортимент реализации обуви, овощей и других товаров, на деятельность туристических фирм, сельскохозяйственные работы, потребление электроэнергии, объем строительства и т. п.

Существуют две модели сезонности: аддитивная и мультипликативная. Аддитивная модель предполагает агрегирование отдельных компонент уровней динамического ряда. В зависимости от того, есть или нет тенденция в ряду динамики, она может иметь следующий вид:

— при отсутствии тенденции;

— при наличии тенденции, где у_с — уровень ряда динамики в период времени t; у — средний уровень динамического ряда; у_с = Т—теоретический уровень ряда согласно тенденции; S — сезонная составляющая, измеренная в тех же единицах, что и уровень ряда; Е — случайная компонента, измеренная в тех же единицах, что и уровень ряда.

Например, в I квартале выручка составила 3 млн руб. При этом согласно действующей тенденции она должна быть 4 млн руб., а сезонные колебания уменьшили ее на 800 тыс. руб. Случайная компонента привела ее к снижению еще на 200 тыс. руб., поскольку 3 = 4 — 0,8 — 0,2 (млн руб.).

В мультипликативной модели уровень динамического ряда рассматривается как произведение его компонент:

где у_с — фактический уровень ряда; y_t — теоретический уровень ряда согласно тенденции; K_s — коэффициент сезонности; E_t — коэффициент случайной компоненты.

В данной модели у, ? K_s представляет собой тренд с учетом сезонности (y_s). Так, если в I квартале согласно тенденции объем продукции составил 5 тыс. ед., а коэффициент сезонности 1,2, то уровень ряда, обусловленный влиянием тенденции и сезонности, составит 6 тыс. ед. (у5). Если фактический уровень оказался 6,6 тыс. ед., то случайный фактор привел к росту объема продукции на 0,6 тыс. ед. Однако в мультипликативной модели принято случайную составляющую показывать в коэффициентах:

По данным примера Е_с = ^^ = 1,1. Тогда согласно модели получим 6,6 = 5 • 1,2 • 1,1. ⁶

В мультипликативной модели при наличии тенденции в ряду динамики амплитуда сезонных колебаний меняющаяся. Так, если для I квартала коэффициент сезонности равен 1,2, то при повышающейся тенденции прирост в 20% будет для I квартала каждого года принимать большее абсолютное значение.

Изучение сезонных колебаний предполагает их измерение, что позволяет использовать показатели сезонности в практической деятельности предприятий (при планировании объема продаж, оценке потребности в рабочей силе, материалах и др.) Существует два показателя сезонности:

• 1) абсолютный S (при аддитивной модели);
• 2) относительный, или коэффициент сезонности K_s (при мультипликативной модели).

Абсолютный показатель сезонности для периода j определяется как.

— при отсутствии тенденции в ряду динамики;

— при наличии тенденции, где У] — средний уровень за п лет для пеоиола / fмесяца, кваотала).

у — среднемесячный (среднеквартальный) уровень за весь период,.

где у_с — фактический уровень ряда для периода j; y_t — выровненный уровень по скользящей средней (или по уравнению тренда). Коэффициент сезонности определяется как

(если предварительное выравнивание ряда не проводилось) или.

— при проведении предварительного выравнивания ряда. Этот вариант используется наиболее часто.

Рассчитав показатели сезонности, проводят десезонализацию динамического ряда, т. е. из уровней ряда исключают сезонную компоненту:

— при аддитивной модели;

— при мультипликативной модели, где S_; и K_sj — скорректированные показатели сезонности.

Это позволяет изучить тенденцию ряда по уровням, элиминировав сезонность: строить уравнение тренда (U_t) и оценивать прогнозное значение уровня Су_р) по формулам:

— при аддитивной модели;

— при мультипликативной модели.

Скорректированная сезонная компонента используется в анализе:

• • для исключения сезонности из данных, чтобы получить более ясную картину тенденции;
• • включения сезонности в модель для прогноза.

Пример 5.7.

Имеются квартальные данные о продаже товара за три года (табл. 5.22).

Таблица 5.22

Объем продаж товара А, ед.

Исходя из годовых объемов продаж ряд имеет тенденцию к увеличению. Амплитуда колебаний уровней в рамках года (разность максимального и минимального значений) слабо различается по годам: 25; 25; 30, что указывает на возможность построения аддитивной модели. Это же можно видеть по графическому изображению ряда (рис. 5.7).

В табл. 5.23 представлены расчеты для построения аддитивной модели.

Поскольку сезонность отражает внутригодичные колебания уровней, то при сглаживании уровней ряда (y_t) методом скользящих средних период скольжения должен быть равен году, чтобы погасить влияние сезонности. Поэтому используется четырехчленная (как в примере) или 12-членная скользящая (при наличии месячных данных). Скользящие средние за четыре квартала приведены в графе 3 табл. 5.23. Однако скользящие средние при четном периоде скольжения не относятся к конкретному периоду времени (кварталу, месяцу). Так, первая скользящая средняя 25 = (10 + 30 + 35 + 25) / 4 относится к середине между II и III кварталами первого года. Вторая скользящая средняя 27,5 = (30 + 35 + 25 + 20) / 4 относится к середине между III и IV кварталами первого года и т. д. Чтобы найти сглаженный уровень для конкретного квартала (y_t), проводится операция центрирования, т. е. находится средняя величина из двух смежных скользящих средних, что отражено в графе 4 табл. 5.23. Центрированная скользящая средняя для III квартала первого года получена как (25 + 27,5) / 3 = 26,25.

Аддитивная модель сезонности.

Таблица 5.23

Сглаженные уровни (у₍) отражают объем продаж, в котором погашено влияние сезонности. Сезонные колебания S, представлены в графе 5 табл. 5.23. Это разность фактических уровней у, и центрированных скользящих средних, у₍.

Поскольку анализируются данные за ряд лет, то для каждого квартала j имеем несколько показателей сезонности: в примере по два для каждого квартала. Чтобы иметь оценку сезонной компоненты, для одноименных периодов рассчитываются средние показатели сезонности как средняя арифметическая простая:

Показатели сезонности для данного примера представлены в табл. 5.24.

Показатели сезонности.

Как видим, в I и IV кварталах наблюдается снижение, а в II и III — повышение объема продаж.

Сезонные колебания взаимопогашаются в течение года, поэтому =0. В практических расчетах может возникнуть некоторая погрешность и сумма показателей сезонности будет не равна нулю. В этом случае проводится корректировка сезонной компоненты:

где Д — поправка; S, — скорректированная величина сезонной компоненты. Поправка

Если Д >0, то на эту величину необходимо уменьшить Sf, если Д <0, то нужно увеличить.

В нашем примере (по данным табл. 5.23) = 1.875, ?S_;— за два года = 3,75.

Следовательно, Д составляет 0,46 875 (1,875/4). На эту величину должны быть уменьшены средние показатели сезонности (см. графу S, табл. 5.23). Исключив сезонность из данных временного ряда, получим десезонализированный объем продаж (графа 8 табл. 5.23). Выравнивание этих данных приводит к линейному тренду U_t= 19,359+ l, 637t, где t= 1,2,…, 12. Построенное уравнение отражает собственно влияние тенденции, ибо оно найдено по уровням ряда при устранении воздействия сезонного фактора. Подставив в это уравнение значения t, получим теоретические значения (см. табл. 5.23). Случайная компонента составит или

что соответствует аддитивной модели (последняя графа табл. 5.23).

Прогноз на I и II кварталы четвертого года, исходя из тренда и сезонности составит для 1 квартала = (19,359 + 1,637 • 13) + (-11,1) = 29,5 тыс .ед; II квартала = (19,359 + 1,637 • 14) + 12,7 = 54,9 тыс. ед.

Пример 5.8.

Имеются квартальные данные о прибыли предприятия за три года, млн руб.

Таблица 5.25

Исходные данные.

Как видим, имеет место не только тенденция, но и сезонность с возрастающей амплитудой колебаний: 9; 15; 18. Этот вывод подтверждает и график ряда динамики (рис. 5.8). Поэтому применим мультипликативную модель.

Рис. 5.8. Динамика квартальной прибыли предприятия за три года, млн руб.

Представим необходимые расчеты в табл. 5.26.

Мультипликативная модель сезонности.

Таблица 5.26

Центрированные скользящие средние у, найдены аналогично тому, как было показано для аддитивной модели (см. графу 3, табл. 5.26). Они характеризуют четкую тенденцию возрастания прибыли. Коэффициенты сезонности К_$. представлены в графе 4. Приведено восемь коэффициентов (по два для каждого квартала).

Чтобы получить обобщенную оценку сезонности для / квартала, найдем средние коэффициенты сезонности по средней арифметической простой.

Коэффициенты сезонности.

Таблица 5.27

Видим резкое увеличение прибыли в IV квартале и ее спад в I квартале. Сумма коэффициентов сезонности за год должна равняться четырем, а средняя из них равна единице. Поскольку в примере =3,985, то требуется корректировка средних коэффициентов сезонности: K_s. = K_S. ?К —.

поправки, где K_s.— скорректированный коэффициент сезонности, К — попра;

' 4.

вочный коэффициент, который определяется как «——. В нашем примере.

L^KS)

К = 1,3 764. Умножив на эту величину средние коэффициенты сезонности, получим скорректированные коэффициенты сезонности K_Sj (см. графу Ksj в табл. 5.26).

Проведем десезонализацию ряда, т. е. найдем размер прибыли, элиминировав влияние сезонности (U,) как U, = у, /K_s. (см. табл. 5.26). Эти данные будут отражать влияние тенденции и случайности. Поэтому осуществляем их выравнивание, найдя линейный тренд: U_t =4,175 + l, 907t.

Далее, подставляя в это уравнение соответствующие значение t, получим теоретические значения U_t, т. е. трендовую составляющую ряда (см. графу 7 табл. 5.26). Найдем тренд с учетом сезонности :

Результаты расчета представлены в табл. 5.26. Значенияy_s отражают теоретический уровень ряда, обусловленный влиянием тенденции и сезонности (см. графу 8, табл. 5.26).

Ошибки, возникшие в расчетах по мультипликативной модели, показаны в графе 9, табл. 5.26. Чем ближе значения к единице, тем лучше модель описывает исходный временной ряд. Величина 1 — Е_с показывает, какую долю составляет случайная компонента в теоретическом значении уровня временнбго ряда. В большинстве случаев влияние случайной компоненты не превышает 5% (лишь в первой строке табл. 5.26 оно весьма весомо — 6/4,76 = 1,26, т. е. 26%). В целом влияние случайной компоненты оценивается с помощью расчета средней величины:

Полученное значение незначительно отклоняется от единицы, что свидетельствует о хорошем качестве модели. Этот же вывод можно получить на основе коэффициента корреляции между фактическими уровнями ряда у, и теоретическими y_s: Ry_ry_s = 0,9968.

Прогноз по тренду с учетом сезонности на следующие два квартала четвертого года составит: I квартал = (4,175 + 1,907 • 13) • 0,782 = 22,7 млн руб.; II квартал = (4,175 + 1,907 • 14)? 0,922 = 28,5 млн руб.

В прогнозе можно учесть и случайную составляющую. Для этого нужно найти средние коэффициенты случайности (по средней арифметической), для соответствующего квартала. По данным примера получим для I квартала.

т? 1,26 + 0,93 + 1,02, «- 0,95 + 0,97 + 1,03.

Е =—-= 1,07, а для II квартала Е = ——--— = 1,983. Соответственно прогноз на I квартал четвертого года составит 22,7 • 1,07 = 24,3 млн руб., на II квартал четвертого года — 28,5 • 0,983 = 28,0 млн руб.

Построение прогноза по сезонным моделям возможно и другими путями: например, путем включения в модель фактора сезонности в виде фиктивных переменных. С этим приемом можно ознакомиться в курсе эконометрики. О построении тренд-сезонных моделей см. также «Методика сезонного сглаживания социально-экономических показателей. Федеральная служба государственной статистики РФ. Predictive Solutions 2 апреля 2013». Для прогнозирования сезонных временных рядов в настоящее время разработано множество методов. Например, трендовая компонента ряда описывается полиномом, а сезонная составляющая — рядом Фурье. Другим подходом является использование сезонной модели AR1MA. Условием применения сезонной модели ARIMA является наличие информации за пять—шесть периодов колебаний.

Рассмотренная сезонная декомпозиция в настоящее время широко используется в моделях Х-11 -ARIMA, Х-12-ARIMA, TRAMO/SEATS. Они позволяют учитывать различное влияние дней недели, отдельных месяцев, проводить многократное применение скользящей средней и одновременно оценивать сезонную компоненту на каждой стадии обработки материала. С 2010 г. Росстат проводит расчеты на федеральном уровне с использованием методики сезонного сглаживания на основе метода TRAMO/SEATS и программного обеспечения Demetra. Разработаны учебные материалы и руководство по сезонному сглаживанию и проведено обучение специалистов Центрального аппарата и территориальных органов Росстата (2012 г.).