Параметрическое торможение осциллятора

Рассмотрим задачу оптимального быстродействия для управляемой системы вида.

Здесь q — отклонение маятника, р — его скорость; коэффициент и соответствует квадрату частоты собственных колебаний маятника, он зависит от массы и расстояния от точки подвеса до центра тяжести. Последнее можно изменять.

Задано начальное состояние системы р₀, q₀, значение полной энергии в конечный момент т и ограничения на управление.

Величина и₀ фиксирована, и ее без ограничения общности можно принять равной единице. Требуется найти такой закон управления п*(t), для которого.

Ограничение (5.142) может быть переписано в интегральной форме.

На фазовой плоскости при постоянном значении и траектории образуют фазовый портрет типа центр (систему эллипсов), изменение фазового состояния во времени соответствует движению по часовой стрелке, при котором.

Время явно не входит в правые части уравнений (5.141), однако знак правых частей меняется, поэтому в исходной постановке нельзя сократить размерность задачи за счет замены времени одной из переменных состояния.

Решение задачи (5.141), (4.143), (5.144) с использованием принципа максимума достаточно сложно, оно требует решения краевой задачи для системы из четырех уравнений (два из них соответствуют сопряженным переменным). К этим уравнениям нужно добавить условия трансверсальности, найти особое решение или доказать его отсутствие.

Переход к новым переменным состояния позволяет существенно упростить решение. Введем новые переменные z (p, q) и е (р, q) так, чтобы в силу уравнений (5.141) скорость изменения первой из них не меняла знака, а вторая не входила в правые части дифференциальных уравнений преобразованной задачи. Это позволит уменьшить размерность задачи за счет замены аргумента t на аргумент z, а также позволит заменить условие в форме дифференциального уравнения для ё интегральным равенством.

Скорость изменения z (p, q).

Так как управление положительно, достаточно, чтобы знак частной производной по р был противоположен знаку q, а знак производной по q совпадал со знаком р. Если z (p, q) = z₁(p)z₂(q), причем производная Zj по р положительна, а знак совпадает со знаком р, то нужно, чтобы знак второго сомножителя был противоположен знаку q, а производная z₂ по q была положительна. Этим условиям удовлетворяет, например, замена, при которой.

Скорость изменения z в силу уравнений (5.141).

Скорость изменения энергии осциллятора Е = р² + q² = q²(l + z²).

Значение энергии входит в правую часть дифференциального уравнения (5.146) в форме множителя, а в уравнение (5.145) оно совсем не входит. Чтобы найти преобразованную переменную, которая не входила бы в правые части дифференциальных уравнений, воспользуемся тем, что производная логарифма Е равна —, и выберем в качестве вто;

Е

рой переменной состояния в преобразованной задаче е = InЕ = 1п (р² + + q²). Получим.

Правая часть уравнения (5.147) положительна для всех допустимых z, и, а значит, переменную z можно использовать в качестве аргумента вместо t, уменьшив размерность задачи на единицу. Переменная е не входит в правые части уравнений (5.145), (5.147), значения этой переменной заданы в начальный и в конечный моменты времени, что позволяет заменить уравнение (5.147) интегральным ограничением. Из условий (5.145), (5.147) следует.

так что задача примет форму.

при условии.

и ограничениях на управление.

Таким образом, задача оказалась преобразованной в существенно более простую, содержащую вместо двух дифференциальных уравнений одно интегральное ограничение. Условия ее оптимальности выражаются через функционал Лагранжа.

и его подынтегральное выражение.

Справедлива следующая теорема^[1].

Теорема 5.1. А. Оптимальное управление имеет переключательный характер; линиями переключения на плоскости р, q являются ось ординат и линия с наклоном z_r =—•, проходящая через второй и четвер-

Л.

тый квадранты этой плоскости.

Б. Особого решения не существует.

В. Множитель Лагранжа, А в выражениях (5.150), (5.151) положителен.

Зоны, в которых оптимальное управление постоянно, показаны на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Линии переключения оптимального управления.

• [1] Цирлин А. М., Саламон П., Хоффман К-Х. Замена переменных состояния в задачахпараметрического управления осцилляторами. // Автоматика и телемеханика. 2011.№ 8. С. 53—64.