Комплексные частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом

Рассмотрим комплексные частотные характеристики делителей напряжения с одним реактивным элементом (рис. 3.12). Цепи этого типа являются двусторонними и поэтому обладают как входными, так и передаточными характеристиками. Обобщенная комплексная схема замещения делителей напряжения рис. 3.12 приведена па рис. 3.13, а. Для определения произвольной комплексной частотной характеристики этих, как и любых других, цепей необходимо, используя уравнения электрического равновесия цепи в комплексной форме, выразить соответствующую реакцию цепи 5* = Sk (t) через заданное внешнее воздействие X_v = а затем из полученного соотношения найти.

/4vO") = s_k/x_v.

Найдем, например, комплексное входное сопротивление делителя со стороны зажимов 1 — Г при произвольной резистивной нагрузке подключенной к зажимам 2 — 2'.

Рис. 3.12. Резистивно-индуктивные (а, 6) и резистивно-емкостные (в, г) делители напряжения с одним реактивным элементом.

(рис. 3.13,6). В данном случае внешним воздействием на цепь является ток x_v(t) = X_v = Д = i (t), а реакцией цепи — напряжение s/XO r= Sk= U == Mj (?), измеренные на входных зажимах цепи. Составив уравнения электрического равновесия рассматриваемой цепи в комплексной форме.

и исключив из них токи /₂ и /₃, выразим комплексное изображение напряжения на входе цепи через комплексное изображение входного тока:

Рис. 3.13. К определению комплексных частотных характеристик делителей напряжения откуда.

Наибольший интерес представляют случаи, когда сопротивление нагрузки равно нулю (режим короткого замыкания на зажимах 2 — 2'):

или бесконечно велико (режим холостого хода на выходе):

Аналогичным образом можно найти комплексные частотные характеристики цепи при любом варианте задания x_v(t) и Sk (t) при произвольной внешней нагрузке. Пусть внешнее воздействие на цепь задано в виде напряжения u == #2, а в качестве реакции цепи рассматривается напряжение U == U (рис. 3.13, в). Очевидно, что комплексная частотная характеристика цепи в данном случае будет представлять собой комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению от зажимов 2 — 2' к зажимам 1 — Г при произвольной резистивной нагрузке /?" на зажимах 1 — Г:

Используя уравнения электрического равновесия цепи.

выразим комплексное изображение реакции цепи^ U через комплексное изображение внешнего воздействия U₂:

откуда.

Интересно отметить, что при Z₂ ^ 0 напряжение на зажимах 1 — Г определяется коэффициентом деления делителя напряжения, составленного из сопротивлений R_u и Z_1? и не зависит от сопротивления Z₂. В режиме холостого хода на зажимах 1 — Г (R_u = °°) комплексный коэффициент передачи цепи равен единице, а в режиме короткого замыкания (К = 0) — нулю.

Подставляя в выражения для комплексных частотных характеристик делителей напряжения значения сопротивлений Z, Z₂ и представляя полученные выражения в показательной форме, можно определить АЧХ и ФЧХ всех рассматриваемых цепей.

При построении АЧХ и ФЧХ необходимо каждый раз пытаться чисто качественно, без математических выкладок, па основе физических представлений объяснить ход соответствующих характеристик. Умение проводить такой анализ имеет большое значение в деятельности радиоинженера, так как позволяет во многих случаях избежать грубых ошибок в расчетах и сэкономить время, которое могло бы уйти на анализ заранее неудачных схемных решений.

Построим АЧХ и ФЧХ комплексного входного сопротивления делителя напряжения (см. рис. 3.12, а) со стороны зажимов 1 — 1' при холостом ходе на зажимах 2 — 2'. Подставляя в выражение (3.8) Z = R, Z₂ =ycoL и переходя от алгебраической формы записи Z_llx(/co) к показательной.

находим аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Непосредственное использование выражений (3.10) для построения АЧХ и ФЧХ весьма неудобно, так как для каждой пары значений параметров R и L необходимо строить отдельную кривую. Построение существенно упрощается при замене абсолютных значений частоты со, комплексного сопротивления Z_llx(/со) и полного сопротивления Z ix (co) относительными (нормированными) значениями:

Из выражений (3.11) следует, что нормированная частота со, нормированное комплексное сопротивление Z_llxpco) и нормированное полное сопротивление z_llx(co) являются безразмерными величинами. С учетом выражений (3.11) пай;

Рис. 3.14. Нормированные АЧХ и ФЧХ входного сопротивления цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а.

дем выражения для нормированных АЧХ и ФЧХ входного сопротивления рассматриваемой цепи (рис. 3.14):

Годограф нормированного комплексного сопротивления этой цепи изображен па рис. 3.15. Аналогичный вид имеют нормированные частотные характеристики входного сопротивления цепи, схема которой изображена на рис. 3.12, б.

Анализ полученных результатов показывает, что в области сравнительно низких частот, когда полное сопротивление индуктивности мало по сравнению с R (соL <�К R или со <�ЗС 1), входные сопротивления цепей (см. рис. 3.12, а, б) определяются только значением R. Сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, поэтому на нулевой частоте входное сопротивление цепей имеет чисто резистивный характер (2_11х(со) = R срц_х(со) = 0). С ростом частоты модуль и аргумент входного сопротивления плавно увеличиваются, причем на достаточно высоких частотах (со 3> 1), входное сопротивление цепи определяется только сопротивлением ИНДУКТИВНОСТИ 2ц_х(С0 = ОО) = со 1=00, ср_11х(с0 = ОО) = я/2.

Найдем комплексную частотную характеристику цепи (см. рис. 3.12, а) в режиме холостого хода на зажимах 2 — 2'.

Рис. 3.15. Годограф Z_iix(j для случая, когда внешнее воздействие на цепь представляет собой напряжение на зажимах 1 — Г, а в качестве реакции цепи рассматривается напряжение на зажимах 2 — 2'.

Очевидно, что комплексная частотная характеристика цепи в данном случае имеет физический смысл комплексного коэффициента передачи цепи по напряжению от зажимов 1 — Г к зажимам 2 — 2' в режиме холостого хода на выходе:

Подставляя в выражение (3.13) Z = R и Z₂ =ja>, получаем

Переходя в выражении (3.14) к показательной форме записи, находим аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи цепи по напряжению (рис. 3.16):

Годограф комплексного коэффициента передачи цепи по напряжению изображен на рис. 3.17.

На сравнительно низких частотах (со R, входное сопротивление цепи имеет характер, близкий к чисто резистивному, а входной ток цени 7] совпадает, но фазе с напряжением U. Распределение напряжения между плечами

Рис. 3.16. АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению цени, схема которой представлена на рис. 3.12, и

Рис. 3.17. Годограф Z_21x(/

делителя напряжения пропорционально сопротивлению этих плеч, поэтому напряжение на индуктивности 0₂ весьма мало, т. е. модуль коэффициента передачи по напряжению близок к нулю. Напряжение на индуктивности 0₂ опережает, но фазе ток индуктивности /), а следовательно, и входное напряжение Ъ на угол, близкий к л/2. С ростом частоты сопротивление индуктивности увеличивается и вследствие этого распределение напряжений между плечами делителя изменяется. На достаточно высоких частотах (ю S> 1) практически все входное напряжение оказывается приложенным к индуктивности, поэтому модуль коэффициента передачи по напряжению /^2ix (®) ^в этом случае близок к единице, а аргумент v|/₂i_x(cd) — к нулю.