Линейная модель производства

Мы подробно рассмотрели случай производства одного продукта и использования двух ресурсов. Однако обычно на практике предприятия производят несколько продуктов одновременно, используя при этом различные ресурсы. В связи с этим разберем случай производства двух продуктов, причем число используемых ресурсов может быть произвольным.

Предположим, что некоторое предприятие выпускает продукты X и Y, расходуя ресурсы Ми N. Введем обозначения: х — выпуск продукта X; у — выпуск продукта У; т — объем ресурса М(его запас); п — объем ресурса N (его запас);

а — расход ресурса Мпри производстве единицы продукта Х ^а2 ~~ расход ресурса Мпри производстве единицы продукта У д₂1 — расход ресурса N при производстве единицы продукта X, ^а22 ~ расход ресурса УУпри производстве единицы продукта У р_х — цена продукта X; р_у — цена продукта У.

В данном случае никакая обычная производственная функция не может описать процесс производства, поэтому роль производственной функции выполняет функция общего дохода (выручки):

Первое слагаемое в правой части данного равенства равно стоимости произведенного продукта X, а второе слагаемое — стоимости произведенного продукта У Отметим, что при заданных запасах ресурсов максимум прибыли достигается одновременно с максимумом выручки. Поскольку здесь прибыль равна разности переменной выручки и постоянной величины затрат на ресурсы, функция выручки является в данном случае целевой функцией производителя.

Изокванта целевой функции производителя есть множество наборов продуктов одинаковой стоимости. В линейной модели производства изокванта изображается отрезком прямой, наклон которого к осям координат определяется соотношением цен продуктов.

В стремлении максимизировать свою выручку производитель двух продуктов, как и производитель одного продукта, сталкивается с определенными ограничениями. Если в случае одного продукта ограничителем служила величина бюджета производителя, то в случае двух продуктов каждый используемый ресурс дает свое ограничение, связанное с ограниченностью запаса ресурса.

Получим первое ограничение. Расход ресурса М при производстве всего количества продукта X равен Я| _хх, а его расход при производстве всего количества продукта У равен а^. Поскольку суммарный расход не может превосходить запаса ресурса, первое ограничение запишется следующим образом:

Аналогично второе ограничение, отвечающее ресурсу N., запишется как:

Планом производства называют пару выпусков продуктов (х, у), которая удовлетворяет обоим ограничениям.

Равновесный (оптимальный) план производства — это такой план, который максимизирует функцию выручки при заданных двух ограничениях. С формальной точки зрения нахождение равновесного плана состоит в максимизации линейной функции выручки при линейных ограничениях. Эта задача линейного программирования для случая двух продуктов имеет достаточно простой и наглядный геометрический метод решения. Суть данного метода заключается в следующем. Каждое линейное ограничение задает некоторую полуплоскость, поэтому множество планов производства представляет собой многоугольник, образованный пересечением нескольких полуплоскостей (их число равно числу ресурсов). Поскольку функция выручки линейна, она достигает своего максимального значения в одной из вершин этого многоугольника.

Оптимальность или неоптимальность вершины многоугольника планов зависит от наклона изоквант функции выручки. Условие оптимальности плана производства состоит в том, что проходящая через него изокванта функции выручки не должна пересекать внутреннюю часть многоугольника. Иными словами, в точке равновесия производителя изокванта функции выручки касается многоугольника планов.

Пример 17. Запасы ресурсов, технологические коэффициенты и цены продуктов заданы в табл. 4.2. Найдем оптимальный план производства.

Линейная модель производства.

Таблица 4.2

Функция выручки: TR= 10х + 15у.

Ограничение для первого ресурса: 4х + 2у < 100.

Ограничение для второго ресурса: 2х + 5у < 90.

Пересечение полуплоскостей, задаваемых ограничениями, образует в области положительных значений выпусков четырехугольник.

ОАВС с вершинами 0(0,0), /1(0,18) и С (25,0). Чтобы найти координаты вершины В, решаем систему двух уравнений, отвечающих ограничениям, получаем:

На рис. 4.11 пунктирным отрезком изображена изокванта, которая касается множества планов в точке В. Поэтому Рис. 4.11. Равновесие в линейной _{данная То}чка изображает равновесный модели производства набор продуктов. Итак, оптимальный план производства В включает 20 единиц продукта Хи 10 единиц продукта У. Максимальная выручка равна 10×20 + 15×20 = 350.

Термины и понятия Бюджетное ограничение производителя Закон убывающей предельной производительности Изокванта Изокоста Капиталовооруженность труда Линейная модель производства Линия роста Однородная производственная функция Отдача от масштаба производства Парето-эффективность производства Предельная норма технологического замещения Предельная отдача денег Предельный продукт Прибыль производителя Производственная функция Равновесие производителя Совершенно дополняемые ресурсы Совершенно заменяемые ресурсы Спрос на ресурс Степень однородности Угловое равновесие производителя Функция Кобба—Дугласа Эластичность производственной функции.