Связь силы и потенциальной энергии. 
Условие равновесия

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией П. При перемещении тела в потенциальном поле работа совершается за счет убыли потенциальной энергии и поэтому имеет противоположный знак: dA = -dW, или.

Интегрируя это уравнение, получим где const — постоянная интегрирования.

Таким образом, потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Поскольку работа определяется разностью энергий начального и конечного состояний, то константа при этом уничтожается и вообще нс является существенной. Поэтому эту константу, определяющую точку нуля потенциальной энергии, выбирают из соображений удобства. Например, для поля силы упругости за нуль обычно принимают энергию в положении равновесия, а для гравитационных и электростатических полей — энергию тела в удаленной в бесконечность точке.

Выразим теперь силу через потенциальную энергию. Сделать это, поделив обе части равенства (3.8) на dr, нельзя, поскольку операция деления скаляра на вектор нами пока не определена. Чтобы решить проблему, воспользуемся математическим понятием градиента. По определению, гради;

тт, 1 гт И^{1 dU}

ент скаляра 11 (grad II) — это вектор с координатами —, —, —, т. е.

dx dy dz

Градиент показывает направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря в двумерном пространстве (долгота — широта), то ее градиент в каждой точке поверхности будет направлен в гору. Важно, что скалярное произведение градиента на бесконечно малый вектор перемещения дает полный дифференциал этой функции:

Сравнивая формулы (3.8) и (3.11), можно получить для консервативных сил.

или по координатам.

Вид функции П зависит от характера силового поля. Так, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h, находится из формулы (3.8) и равна.

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). В соответствии е законом Гука сила упругости i⁷ пропорциональна деформации т.

где k — коэффициент упругости. Таким образом, из формулы (3.8) получаем.

Сделаем еще одно очевидное замечание: полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

Поговорим теперь о равновесии тел (когда тело сохраняет состояние покоя) и связи равновесия с потенциальной энергией. Из второго закона Ньютона следует, что для равновесия невращающегося тела необходимо, чтобы геометрическая сумма всех приложенных внешних сил была равна нулю.

В потенциальном поле это условие сводится к следующему (см. формулу (3.12)). Тело находится в равновесии, если оно находится в точке, в которой градиент потенциальной энергии равен нулю. Так, в одномерном случае достаточным условием равновесия является локальный экстремум в исследуемой точке (условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю ее первой производной).

Различают три вида равновесия. Когда функция потенциальной энергии имеет локальный максимум или перегиб, то равновесие неустойчивое. В этом случае если слегка сместить тело, то оно продолжит свое движение за счет возникшей отклоняющей силы.

Когда функция потенциальной энергии имеет локальный минимум, то равновесие устойчивое. В этом случае если слегка сместить тело, то оно вернется назад в состояние равновесия за счет возникшей возвращающей силы.

Когда функция потенциальной энергии является константой, то равновесие безразличное. В этом случае если слегка сместить тело, то сила не возникнет и оно останется в новом положении.

Шар в верхней точке сферической поверхности — пример неустойчивого равновесия (рис. 3.3, а). Шар на дне сферической поверхности находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 3.3, б). А шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия (рис. 3.3, в).

Рис. 33.

Рассмотрим в качестве примера характерную зависимость потенциальной энергии, часто используемую при моделировании нанотехнологий. Это потенциал межмолекулярного взаимодействия, называемый потенциалом Леннарда — Джонса:

где А и В — положительные постоянные:

На больших расстояниях молекулы (в соответствии с рис. 3.4) притягиваются, на малых резко вступает в силу отталкивание, в промежутке — положение равновесия. Несложно через производную определить, что г₀ — равновесное расстояние между частицами, a U₀ — глубина потенциальной ямы. Очевидно, что это положение устойчивого равновесия.

Рис. 3.4.