Введение. 
Построение математической модели объекта управления в пространстве состояний и синтез формирующего фильтра

Целью курсовой работы является освоение математических методов теории систем, приобретение практических навыков анализа систем с применением современных программных и технических средств.

При моделировании системы S входные воздействия, воздействия внешней среды Е и внутренние параметры системы являются независимыми (экзогенными) переменными, которые в векторной форме имеют соответствующий вид.

; ,.

а выходные характеристики системы являются зависимыми (эндогенными) переменными и в векторной форме имеют вид:

.

Процесс функционирования системы S описывается во времени оператором F_S, который, в общем случае, преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношением вида.

(1).

Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени y_j(t) для всех видов называется выходной траекторией y_j(t). Зависимость (1) называется законом функционирования системы S и обозначается F_S. В общем случае закон функционирования системы F_S может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия. Весьма важным для описания и исследования системы S является понятие алгоритма функционирования A_S, под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий, воздействий внешней среды и собственных параметров системы. Очевидно, что один и тот же закон функционирования F_S системы S может быть реализован различными способами, т. е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования A_S.

Соотношение (1) является математическим описанием поведения объекта (системы) моделирования во времени t, т. е. отражает его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида принято называть динамическими моделями (системами). Для статических моделей математическая модель (1) представляет собой отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X, V, H}, что в векторной форме может быть записано так:

(2).

Соотношения (1) и (2) могут быть заданы различными способами: аналитически (с помощью формул), графически, таблично и т. д. Такие соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы S в конкретные моменты времени, называемые состояниями. Состояние системы S характеризуется векторами:

(3).

Если рассматривать процесс функционирования системы S как последовательную смену состояний z₁(t), z₂(t),… z_k(t), то они могут быть интерпретированы как координаты точки в k-мерном фазовом пространстве, причем каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория.

Таким образом, цепочка уравнений объекта «вход — состояние — выход» позволяет определить характеристики системы:

. (6).

Таким образом, под математической моделью объекта (реальной системы) понимают конечное подмножество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристиками выходной величины. Если математическое описание объекта моделирования не содержит элементов случайности или они не учитываются, если можно считать, что в этом случае стохастическое воздействие внешней среды и стохастические внутренние параметры отсутствуют, то модель называется детерминированной в том смысле, что характеристики однозначно определяются детерминированными входными сигналами:

. (7).

Очевидно, что детерминированная модель является частным случаем стохастической модели.