Формула Рэлея — Джинса

Теперь оценим возможный вид универсальной функции Кирхгофа (спектральной лучеиспускательной способности черного тела) r_{v т}. Эту функцию можно строго найти, рассмотрев стоячие волны теплового равновесного излучения в замкнутой полости. Но для упрощения оценки будем исходить из соображений размерности. С одной стороны, _Т — это энергия, излучаемая в секунду в единичном интервале частот с квадратного метра поверхности тела. Поэтому ее размерность равна.

С другой стороны, r_{v т} является функцией температуры (которую в данном случае логично определять средней энергией молекул с размерностью [kT = Дж) и частоты ([v] = с '). Из этих величин нельзя составить комбинацию с требуемой размерностью Дж/м². Однако для описания светового излучения естественным добавлением в формулу может являться скорость света с с размерностью м/с. Из этих трех величин можно составить единственную комбинацию с требуемой размерностью, что позволяет получить из соображений размерности оценку вида универсальной функции Кирхгофа:

Строгий вывод показывает, что полученная оценка должна быть дополнена безразмерным коэффициентом 2л:. В результате имеем для универсальной функции Кирхгофа (спектральной лучеиспускательной способности черного тела) формулу Рэлея — Джинса

Эта формула хорошо согласуется с экспериментом при малых частотах п больших температурах. Однако при больших частотах эта формула не может быть верной, поскольку в соответствии с формулой (31.13) для энергетической светимости дает бесконечную интегральную лучеиспускательную способность:

Таким образом, полученная в рамках классической физики формула Рэлея — Джинса дает парадоксальный результат: мощность теплового излучения любого нагретого тела должна быть бесконечной. Этот парадокс физики назвали ультрафиолетовой катастрофой.

Парадокс излучения черного тела был решен Максом Планком с помощью гипотезы о том, что в соответствии с теорией вынужденных колебаний тело излучает и поглощает энергию не непрерывно, а квантами. Он представил тело как совокупность осцилляторов, которые совершают колебания с частотой и могут получать или отдавать энергию квантами величиной hv. Каждому осциллятору соответствует колебательная степень свободы, причем на эту степень в квантовой теории может приходиться средняя энергия, существенно меньшая kT (которая приходится на колебательную степень свободы в классической теории).

Рассмотрим эту задачу подробнее. Энергия осциллятора в квантовой физике может принимать дискретные значения:

где п = 0, 1, 2, 3,… Распределение энергий по осцилляторам определяется распределением Больцмана.

Это распределение позволяет найти среднюю энергию, приходящуюся на осциллятор:

hv.

Здесь введено обозначение а = —. Выражение иод логарифмом — это, а 1.

сумма членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем ехр (-а), равная.

• 1
• 1 — ехр (-й)

В результате средняя энергия осциллятора равна.

Заменив в формуле Рэлея — Джинса классическую среднюю энергию осциллятора kT на полученную квантовую, получим закон Планка для спектральной лучеиспускательной способности черного тела

Этот закон в широком диапазоне параметров хорошо согласуется с экспериментом и позволяет получить частные законы излучения черного тела. Так,.

hv

разложение в ряд для — 1 экспоненты дает формулу Рэлея — Джинса.

R1

Для энергетической светимости черного тела табличный интеграл приводит к результату.

что дает для постоянной Стефана — Больцмана хорошо согласующееся с экспериментом выражение через фундаментальные физические константы.

Из закона Планка следует и закон смещения Вина, определяющий длину волны, на которую приходится максимум лучеиспускательной способности черного тела в зависимости от температуры. Приравнивание производной от уравнения закона Планка к нулю дает трансцендентное уравнение с получаемым методом последовательных приближений решением.